朱煥然

【摘要】 本文以歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)為基礎(chǔ)，通過解決三次數(shù)學(xué)危機(jī)為何發(fā)生在西方、三次數(shù)學(xué)危機(jī)在不同數(shù)學(xué)分支中的推動作用、三次數(shù)學(xué)危機(jī)對我們的研究和教學(xué)的啟示這三個的問題，以此證實(shí)數(shù)學(xué)危機(jī)，其實(shí)不危機(jī)，它對數(shù)學(xué)的發(fā)展有很大的影響.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)危機(jī)；西方；數(shù)學(xué)分支；啟示

一、三次數(shù)學(xué)危機(jī)簡介

（一）第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

公元前580～568年之間的古希臘，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.這個學(xué)派所有發(fā)明創(chuàng)造都?xì)w于學(xué)派領(lǐng)袖.當(dāng)時人們對有理數(shù)的認(rèn)識還很有限，對于無理數(shù)的概念更是一無所知.該學(xué)派的成員希伯索斯根據(jù)勾股定理（西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理）通過邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示.希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是“荒謬”和違反常識的事.它不僅嚴(yán)重地違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，也沖擊了當(dāng)時希臘人的傳統(tǒng)見解.這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī).最后，這場危機(jī)通過在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決.只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制，所謂的數(shù)學(xué)危機(jī)也就不復(fù)存在了.

（二）第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī).微積分的主要創(chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過程中，第一步用了無窮小量作分母進(jìn)行除法，當(dāng)然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程卻在邏輯上自相矛盾.直到19世紀(jì)，柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論.柯西認(rèn)為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發(fā)生矛盾.無窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質(zhì)上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本解決.

（三）第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

1902年，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個數(shù)學(xué)界，號稱天衣無縫、絕對正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾.羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認(rèn)為是在樸素集合論中可以合法存在的集合.因?yàn)榧纫猂有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的.因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則，否則就是不合法的集合.數(shù)學(xué)家們就開始為這場危機(jī)尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論.德國數(shù)學(xué)家策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，又經(jīng)過德國的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進(jìn)，形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，這場數(shù)學(xué)危機(jī)到此緩和下來.

二、三次數(shù)學(xué)危機(jī)為何在西方

（一）西方人更注重邏輯思維

西方有一句話叫做“富人創(chuàng)造世界”，從這三次數(shù)學(xué)危機(jī)，我們知道西方人善于發(fā)現(xiàn)問題，主張去探究“這個東西是什么”，從邏輯和本質(zhì)出發(fā)思考問題，不斷地將問題呈現(xiàn)出來，不斷思考和挖掘，朝著困難進(jìn)發(fā)，不斷地思考事物的根源，而不是將理論推倒去重新建立，在此基礎(chǔ)上，通過人們逐漸地去深入，或者是變換一種思考問題的方式，都能使新的問題得到解決.西方人長期是以這種邏輯思維來做事情、搞研究的，那么此時西方的數(shù)學(xué)才會出現(xiàn)危機(jī).

（二）西方人更注重體系的完善

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由于實(shí)數(shù)系不完整，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是由于極限理論不完整，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是由于公理化體系不完整.當(dāng)西方人發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)之上，解決這些問題的理論不能夠得到落實(shí)，不能支撐起問題的解決，那么西方人會在此基礎(chǔ)上去完善數(shù)學(xué)理論，不斷地充實(shí)體系，使理論體系更加完善，以此來解決數(shù)學(xué)危機(jī).因此說，西方是先有理論，由理論來指導(dǎo)實(shí)踐，并且對于西方來說，建立起來的理論要達(dá)成一個完整的鏈條，使得它們完成整個數(shù)學(xué)界的連貫性和體系性.反之，東方人則不在意理論的完善，他們認(rèn)為只要將理論建立起來就可以了，即使一些理論是零敲碎打，只要不影響使用就可以.因此，我們可以發(fā)現(xiàn)歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在西方不是偶然的，而是必然的.

三、三次數(shù)學(xué)危機(jī)在不同數(shù)學(xué)分支中的推動作用

（一）三次數(shù)學(xué)危機(jī)的共同之處

通過對三次數(shù)學(xué)危機(jī)的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些危機(jī)都是在理論有缺陷的情況下發(fā)生的，數(shù)學(xué)家們研究不下去這些問題了，所以才將理論不斷地充實(shí)下去，使得解決問題的依據(jù)更加充足.學(xué)者們都擁有永無止境的研究欲望，勇于探索的精神，才能解決一次又一次的數(shù)學(xué)危機(jī)，從而引起深遠(yuǎn)的影響.

（二）對實(shí)數(shù)系的推動作用

從第一次數(shù)學(xué)危機(jī)中，我們可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致其發(fā)生的原因是由于當(dāng)時的人們只知道有理數(shù)，有理數(shù)就是整個實(shí)數(shù)系，而當(dāng)一個數(shù)不能用整數(shù)表示時，人們就發(fā)現(xiàn)了存在于有理數(shù)之外的數(shù)，即無理數(shù).所以說，無理數(shù)必須建立在有理數(shù)之上，有理數(shù)又是整數(shù)的擴(kuò)展，整數(shù)則是由自然擴(kuò)充而來，那么才能建立嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論.這樣而來，無理數(shù)的出現(xiàn)促進(jìn)了最根本的實(shí)數(shù)系的完善，并且為極限理論做下鋪墊.

（三）對分析學(xué)分支的推動作用

分析學(xué)是三大基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一大分支，其中數(shù)學(xué)分析則是以極限為工具來研究函數(shù)的學(xué)科.從第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，我們可以看出極限的思想就蘊(yùn)含在其中，無窮小量的出現(xiàn)引起了人們對極限的認(rèn)識.極限思想是人們從有限認(rèn)識無限、從近似認(rèn)識精確、從已知認(rèn)識未知、從量變認(rèn)識質(zhì)變，推動了數(shù)學(xué)哲學(xué)的形成和發(fā)展.如數(shù)理統(tǒng)計、圖論、模糊數(shù)學(xué)等等，都是由第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生而人們在充實(shí)理論中引出的新概念，這為現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ).

（四）對理論數(shù)學(xué)之外的分支的推動作用

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生引出公理化體系，那么公理化體系的出現(xiàn)就將游離在數(shù)學(xué)之外的一些分支視為數(shù)學(xué)范圍.如概率論， 概率論研究的是隨機(jī) 現(xiàn)象，而在第三次危機(jī)

之前，我們將數(shù)學(xué)的特點(diǎn)定義為嚴(yán)密和精確，因此我們沒有將概率論收入為數(shù)學(xué)的范疇，但是當(dāng)公理化體系出現(xiàn)后，承認(rèn)并證實(shí)了隨機(jī)現(xiàn)象，這時人們才認(rèn)可概率論.像應(yīng)用數(shù)學(xué)中的運(yùn)籌學(xué)，泛函分?jǐn)?shù)等等，都是公理化體系最直接的受益者.

四、三次危機(jī)的啟示

（一）堅持與信仰

人們在面對數(shù)學(xué)危機(jī)時，并沒有因?yàn)楹ε码y題而逃脫，而是克服困難，及時補(bǔ)充理論并改正錯誤.能夠用更大的麻煩來解決麻煩，危機(jī)促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，每一次數(shù)學(xué)危機(jī)都是一次傳統(tǒng)和新銳的斗爭.先覺者不斷挑戰(zhàn)這舊日的權(quán)威，頑固派不斷想要扼殺新生的火焰，但星星之火早已有了燎原之勢，燒盡腐朽落后的東西，隨大江的海浪一波一波滾滾向前.所以，我們應(yīng)該培養(yǎng)開拓創(chuàng)新、鉆研探究、不畏權(quán)威、追求真理的精神，在自己從事的領(lǐng)域上開創(chuàng)一片新的天地.給數(shù)學(xué)史帶來了深遠(yuǎn)影響.

（二）理論與實(shí)踐

通過這三次數(shù)學(xué)危機(jī)，我們發(fā)現(xiàn)在指導(dǎo)實(shí)踐的過程中，理論的空缺是很致命的，因此完整理論是很重要的，要在理論和實(shí)踐相結(jié)合的同時，逐漸完善理論.比如說，我們在小學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該多讓學(xué)生去親自體驗(yàn)和感知所學(xué)習(xí)的知識，踏實(shí)下來計算一下，也許會有更好地教學(xué)效果.

（三）數(shù)與形的結(jié)合

從三次危機(jī)中，我們發(fā)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性，“數(shù)”是抽象的，“形”是具體的，結(jié)合起來才能有更大的成就，這是重要的數(shù)學(xué)方法和思想.像第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，本質(zhì)就是數(shù)形結(jié)合，通過刻畫長短來形成對長度的感性認(rèn)識，深刻理解概念和性質(zhì).具體到小學(xué)教學(xué)中就是在講平均數(shù)的時候，“數(shù)”代表的就是計算平均數(shù)的公式，“形”的思想就是移多補(bǔ)少、齊平.

五、小 結(jié)

從公元前580的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)開始，西方人不斷思索，善于發(fā)現(xiàn)的品質(zhì)使得他們發(fā)現(xiàn)了前人的不足，敢于推翻過去，同時也努力追求真相.這就意味著數(shù)學(xué)在一次次危機(jī)中不斷完善，理論更加嚴(yán)密更加有據(jù)可循.所以西方的實(shí)數(shù)、分析學(xué)、數(shù)學(xué)之外的知識體系更加完整，成為了經(jīng)典的理論讓后人學(xué)習(xí).中國早期的數(shù)學(xué)發(fā)展的很好，但是卻滿足現(xiàn)狀，所以才讓西方反超.同時我們也發(fā)現(xiàn)，只有不斷的發(fā)現(xiàn)問題，才能想辦法去解決問題.這也成為了我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思路.當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個問題，然后想辦法用之前學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識去解決的時候，這時候我們便具備了數(shù)學(xué)思想，并可以再此基礎(chǔ)上獲得更上一層的數(shù)學(xué)理論.所以我們經(jīng)過這次研究也得到了巨大的收獲.在面對問題時，逃避是不能解決問題的，要敢于思考，不要被過去所束縛，才能有新的發(fā)現(xiàn).同時理論是建立在實(shí)踐的基礎(chǔ)上的，我們在教學(xué)中也可以去應(yīng)用這一點(diǎn)讓孩子們動手操作，化抽象數(shù)學(xué)知識為具體的數(shù)學(xué)模型，從而在腦海中建立數(shù)學(xué)知識的概念，這樣更有助于學(xué)生的接受，是課堂教學(xué)的一個好方法.

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