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        “手拉手”

        2016-05-14 09:51:17鈕曉杰
        初中生世界·八年級 2016年9期

        鈕曉杰

        全等三角形這一章的學(xué)習(xí)全部結(jié)束后,周末在家復(fù)習(xí),我發(fā)現(xiàn)了一系列的問題,實(shí)在讓我興奮,于是便迫不及待地整理出來了,現(xiàn)和同學(xué)們分享!

        問題引子:如圖1,在△AEC、△ADB中,∠EAC=∠DAB=90°,AE=AC,AD=AB,連接BE、DC,請說明線段BE、DC的關(guān)系.

        思考過程:這題很特別,圖中有兩個(gè)等腰直角三角形,這兩個(gè)三角形很好玩,直角頂點(diǎn)是公共的,它們就像“手拉著手的好朋友”一樣,肯定會擦出火花. 老師在課上都是邊讀題邊在圖中標(biāo)注,我為了方便觀察,也把相等的邊和角用彩筆標(biāo)注出來(很遺憾,電子稿看不出來,說明一下:AE、AC用紅色標(biāo)注,AD、AB用藍(lán)色標(biāo)注),因?yàn)檠芯康氖荁E、CD的關(guān)系,所以我把目光落到△EAB、△CAD上,正好分別有紅邊、藍(lán)邊各一條,現(xiàn)在“邊”的條件用光了,就得挖掘“角”的功效了,而我只能證相等兩邊的夾角相等,因?yàn)槿绻疫x其余的角,那就是典型的“邊邊角”結(jié)構(gòu),這是不能證明三角形全等的. 怎么辦呢?還有兩個(gè)直角沒有用呀!兩個(gè)直角之間隔了個(gè)∠BAC,各自加上這個(gè)銳角,不就有兩個(gè)相等的鈍角了嘛,正好是“SAS”結(jié)構(gòu),可證出△BAE≌△DAC,所以BE=DC. 思考?xì)v程結(jié)束了嗎?并沒有. 題目問的是“BE和DC的關(guān)系”,應(yīng)該包括數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系(這是我們同學(xué)常常犯錯(cuò)的地方,考慮問題不全面),相等僅僅是數(shù)量關(guān)系. 我目前知道的特殊的位置關(guān)系無非是平行和垂直,觀察這幅圖,我猜想應(yīng)該是垂直. 所以,我需證∠DFB是直角,也就是證∠FBD+∠FDB=90°. 剛才的那對全等三角形是一把利器,要把它的價(jià)值發(fā)揮到最大,全等帶來的∠ABE=∠ADC讓我成功地把∠FBD“割開”,變成∠ADC+∠ABD,再加上∠FDB,就變成∠ADB+∠ABD=90°,所以BE、DC的位置關(guān)系是垂直,于是最終得出結(jié)論:BE、DC垂直且相等(當(dāng)然,我們也可以充分運(yùn)用“基本圖形”:對于△ADG、△BGF,結(jié)合全等三角形帶來的∠ABE=∠ADC,可以得到∠DAG=∠BFG=90°).

        更大發(fā)現(xiàn):我們不是為了做題而做題,更應(yīng)該發(fā)現(xiàn)問題背后的價(jià)值.本題從靜態(tài)的角度看,是兩個(gè)有著公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形組成了一對全等的三角形,而從動態(tài)的角度看,是△BAE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△DAC. 這是老師說過的基本圖形“手拉手”問題,我梳理了一下我目前遇到的問題,有些問題表面與它不一樣,其實(shí)本質(zhì)完全相同,我們只要會做一題,就會做很多類似的題目了,這可能就是老師常常說的舉一反三吧.下面來看兩個(gè)例子:

        例1 如圖2,在等邊三角形ACB、CDE中,連接AD、BE.

        (1) 求證:AD=BE;(2) 求∠AFB的度數(shù).

        例2 如圖3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°,得到△AED,連接BE、CD交于點(diǎn)F.

        (1) 求證:△ABE≌△ACD;(2) 求∠ACD的度數(shù).

        怎么樣,同學(xué)們,這兩個(gè)問題看著似乎與前面的不一樣,其實(shí)它們是一樣的哦!隨著學(xué)習(xí)的深入,“手拉手”的圖形肯定會有很多,其他基本圖形也將會很多,我很期待,你們呢?

        【教師點(diǎn)評】小作者能在剛剛結(jié)束全等三角形的學(xué)習(xí)之后,聯(lián)想到“手拉手”的圖形,如此觸類旁通的學(xué)習(xí)能力值得推崇. 另外,他能把課堂上學(xué)習(xí)標(biāo)注的習(xí)慣用好,這對他日后增強(qiáng)識圖能力,提供了有力的保障. 以上兩點(diǎn)真心希望其他小讀者也能做到!

        (指導(dǎo)教師:姜鴻雁)

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