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        變化多端的全等三角形

        2016-05-14 09:51:17萬廣磊
        初中生世界·八年級 2016年9期
        關(guān)鍵詞:平行線軸對稱本題

        萬廣磊

        全等三角形的魅力在于運動. 中考數(shù)學(xué)試題一般以平移、軸對稱(翻折)和旋轉(zhuǎn)為圖形變換方式,綜合考查全等三角形的判定與性質(zhì). 下面以2016年的中考數(shù)學(xué)題為例進行剖析.

        一、 平移

        例1 (2016·湖北武漢)如圖1,點B、E、C、F在同一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求證:AB∥DE.

        【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件結(jié)合圖形選擇合適的方法. 要證AB∥DE,需證∠ABC=∠DEF,因此考慮證明它們所在的兩個三角形全等.已知有兩組邊分別相等,再證明另一組邊分別相等,利用“SSS”證明即可. 具體步驟:

        證明:∵BE=CF,∴BC=EF;

        在△ABC和△DEF中,

        ∵BC=EF,AB=DE,AC=DF,

        ∴△ABC≌△DEF(SSS),

        ∴∠ABC=∠DEF,∴AB∥DE.

        【點評】縱觀本題,圖中的△DEF與△ABC是通過平移得到的,平移不改變圖形的形狀和大小,平移前后對應(yīng)線段相等且平行(或在同一直線上). 在有兩組對應(yīng)邊分別相等的前提下,可以求第三組對應(yīng)邊相等,或者求兩組對應(yīng)邊的夾角相等,注意必須是夾角;若有三組對應(yīng)邊分別相等,則可以直接根據(jù)“SSS”求解. 已知兩邊和其中一邊的對角分別相等,不能判定三角形全等,即不存在“SSA”判定三角形全等的方法. 如圖2所示,AB=DE,∠B=∠DEF,AC=DF,但是△ABC與△DEF不全等.

        二、 軸對稱(翻折)

        例2 (2016·江西)如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,將Rt△ABC向下翻折,使點A與點C重合,折痕為DE,求證:DE∥BC.

        【分析】本題考查了三角形的折疊和平行線的判定,解題的關(guān)鍵是運用軸對稱圖形的性質(zhì). 要證明DE∥BC,必須考慮到∠AED=∠ACB=90°,而如何得到∠AED=90°,就聯(lián)想到ED平分一個平角,這可以由折疊得到.

        證明:由折疊可知:△ADE≌△CDE,

        ∴∠AED=∠CED,

        又∵點A與點C重合,∴∠AEC為平角,

        ∴∠AED=∠CED=90°,

        ∵∠ACB=90°,

        ∴∠AED=∠ACB,∴DE∥BC.

        【點評】圖中的△ADE與△CDE是通過折疊得到的,折疊屬于軸對稱變換,根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,進而可以找出位置變化前后相應(yīng)的角相等,線段相等,進而轉(zhuǎn)化為全等判定的條件.

        三、 旋轉(zhuǎn)

        例3 (2016·湖北荊門)如圖4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D、E分別在AB、AC上,CE=BC,連接CD,將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CF,連接EF.

        (1) 補充完成圖形;

        (2) 若EF∥CD,求證:∠BDC=90°.

        【分析】本題是一道作圖與證明的綜合題,其中涉及直角三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)等,在解第(2)問時,關(guān)鍵是得到△BCD≌△ECF,結(jié)合條件推出∠F=90°,通過全等三角形對應(yīng)角相等,得到∠CFE=∠BDC=90°. 具體步驟:

        解:(1) 解:所補圖形,如圖5所示;

        (2) 證明:∵∠BCA=∠DCF=90°,

        ∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,

        即∠BCD=∠ECF. 又CB=CE,CD=CF,

        ∴△BCD≌△ECF(SAS),∴∠BDC=∠CFE,

        ∵CD∥EF,∴∠DCF+∠CFE=180°,

        ∵∠DCF=90°,∴∠BDC=∠CFE=90°.

        【點評】圖中的△CEF是通過旋轉(zhuǎn)△CBD得到的,旋轉(zhuǎn)不改變圖形形狀和大小,旋轉(zhuǎn)角相等,由此可以得到相應(yīng)的角相等,為全等三角形的判定和角度的計算提供了條件.

        四、 旋轉(zhuǎn)與平移的組合

        例4 (2016·河北)如圖6,點B、F、C、E在直線l上(F、C之間不能直接測量),點A、D在l異側(cè),測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.

        (1) 求證:△ABC≌△DEF;

        (2) 指出圖中所有平行的線段,并說明理由.

        【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是尋找全等三角形判定的條件. 第(1)問中,已知兩邊分別相等,再根據(jù)BF=EC得BC=EF,可根據(jù)“SSS”證得△ABC≌△DEF;(2)由△ABC≌△DEF可得∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,再根據(jù)“內(nèi)錯角相等兩直線平行”可證得AB∥DE,AC∥DF. 具體步驟:

        解:(1) 證明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,

        即BC=EF;又∵AB=DE,AC=DF,

        ∴△ABC≌△DEF.

        (2) 有AB∥DE,AC∥DF.

        理由:∵△ABC≌△DEF,

        ∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.

        ∴AB∥DE,AC∥DF.

        【點評】圖中的△DEF與△ABC是通過旋轉(zhuǎn)再平移得到的,其中的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并不會因為位置的變化而改變,這也為全等三角形和平行線的判定提供了條件.

        (作者單位:江蘇省揚州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校)

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