□陳德前

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一道課本習題的“變臉”

□陳德前

人教版八年級《數(shù)學》下冊第69頁第14題（以下簡稱“原題”）是：

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證：AE＝EF.（提示：取AB的中點G，連結(jié)EG）

根據(jù)題目中的提示，本題的證明并不困難，請同學們自己完成.這是一道知識內(nèi)涵豐富，思想方法獨特，具有較高的拓展價值的典型習題.以它為基礎，可以演變出許多新穎的試題.

例1數(shù)學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點.∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE＝EF.

經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM＝EC，易證△AME≌△ECF，所以AE＝EF.

圖1

在此基礎上，同學們作了進一步的研究：

（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”仍然成立.你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.

圖2

圖3

（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE＝EF”仍然成立.你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.

分析：題目中給出的基礎題就是上述原題，小明展示的解題思路具有一般性，是探索和證明后續(xù)問題的基礎，即在∠BAE＝∠FEG的條件下，只要構(gòu)造AM＝EC就可以得到∠AME＝∠ECF＝135°，進而有△AME≌△ECF，這樣即可得到結(jié)論.

解：（1）正確.證明：在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，如圖4，則BM＝BE.

∴∠BME＝45°，

∴∠AME＝135°.

∵CF是外角平分線，

∴∠DCF＝45°，

∴∠ECF＝135°，

∴∠AME＝∠ECF.

∵∠AEB＋∠BAE＝90°，

∠AEB＋∠CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF.

∴△AME≌△ECF（ASA），

圖4

圖5

∴AE＝EF.

（2）正確.證明：在BA的延長線上取一點N，使AN＝CE，連接NE，如圖5，則BN＝BE.

∴∠N＝∠FCE＝45°.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BE，

∴∠DAE＝∠BEA.

又∵∠NAD＝∠AEF＝90°，

∴∠NAE＝∠CEF.

∴△ANE≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF.

例2如圖6，一個含45°的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點作EF⊥AE交∠DCE的平分線于F點，試探究線段AE與EF的數(shù)量關系，并說明理由.

圖6

分析：本題將原題中的條件“點E是邊BC的中點”弱化為E為直線BC上的一點，但題目中增加了條件“一個含45°的三角板HBE”，可以得到HA＝CE，為解決問題提供了便利.

簡證：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠CEF可證△HAE≌△CEF，從而得到AE＝EF.

例3（1）如圖7，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點.若∠AMN＝90°，求證：AM＝MN.

圖7

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明.

證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC.

∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB

＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAE.

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖8），N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN＝60°時，結(jié)論AM＝MN是否還成立？請說明理由.

圖8

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當∠AMN＝_______時，結(jié)論AM＝MN仍然成立.（直接寫出答案，不需要證明）

分析：本題第（1）題給出了原題的解題思路，第（2）、（3）題將正方形變?yōu)檎切?、正n邊形，結(jié)論仍然成立，其分析思考過程滲透了猜想、類比、歸納等數(shù)學思想方法.

（2）仍然成立.在邊AB上截取AE＝MC，連接ME，如圖8.

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，

∴∠ACP＝120°.

∵AE＝MC，∴BE＝BM，

∴△BEM是等邊三角形，

∴∠BEM＝60°，

∴∠AEM＝120°.

∵CN平分∠ACP，

∴∠PCN＝60°，

∴∠MCN＝120°.

∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB

＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，

∴△AEM≌△MCN，

∴AM＝MN.

許多中考題都是由課本習題演變而來的，所以我們要重視對課本習題的學習、研究、變化、引申，這樣我們才能以不變應萬變，提高我們的應變能力.