付釗，賈立（上海大學機電工程與自動化學院自動化系，上海市電站自動化重點實驗室，上海 200072）

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基于改進PDF技術的間歇過程NFM模型

付釗，賈立
（上海大學機電工程與自動化學院自動化系，上海市電站自動化重點實驗室，上海 200072）

摘要：間歇過程是一類具有典型復雜非線性特性的生產(chǎn)過程，可以利用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(NFM)建立其輸入輸出的非線性映射關系。在前期的研究中曾提出過基于概率密度函數(shù)（PDF）技術的模型訓練方法，成功解決了傳統(tǒng)的基于MSE準則訓練方法模型泛化能力弱的問題，但又產(chǎn)生了概率密度難以估計及目標PDF未知時模型性能不穩(wěn)定的問題。針對這兩個問題，引入了新的概率密度窗寬估計方法，并提出了在目標PDF未知時采用PDF預估器及其收縮策略的算法。仿真實驗表明：該方法能夠保證足夠的概率密度估計精度和模型預測性能。

關鍵詞：間歇過程；神經(jīng)模糊模型；概率密度函數(shù)；收縮策略；算法；預測

2015-12-17收到初稿，2015-12-19收到修改稿。

聯(lián)系人：賈立。第一作者：付釗（1987—），男，碩士研究生。

引 言

間歇過程（batch process）是精細化工、生物制藥和食品飲料等生產(chǎn)行業(yè)的主要生產(chǎn)方式[1]。由于其機理異常復雜且具有極強的非線性，想要建立其機理模型需要耗費大量的時間與資源[2]。在以信息化為導向的現(xiàn)代工業(yè)企業(yè)中每天都在產(chǎn)生海量的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)在一定程度上隱藏著工業(yè)生產(chǎn)的過程信息。如何通過數(shù)據(jù)模型來有效利用這些離、在線數(shù)據(jù)為工業(yè)生產(chǎn)的優(yōu)化與控制服務是非常有意義的一個研究課題[3]。

作為數(shù)據(jù)模型領域的兩種代表性的理論方法：模糊理論通過構建模糊集、隸屬度函數(shù)以及包含專家經(jīng)驗的模糊規(guī)則來完成對難以描述的復雜系統(tǒng)的建模；而神經(jīng)網(wǎng)絡則通過其自身強大分布式并行非線性映射能力和學習能力來對系統(tǒng)的非線性進行擬合[4]。而將這兩種技術結合所形成的神經(jīng)模糊系統(tǒng)能夠在利用神經(jīng)網(wǎng)絡的自學習與非線性映射能力優(yōu)糊規(guī)則和隸屬度函數(shù)的同時，利用模糊部分加強神經(jīng)網(wǎng)絡的自控能力以減少人們主觀因素的影響，因而具有更為優(yōu)異的性能[5-7]。

傳統(tǒng)的模型訓練中往往采用的是以統(tǒng)計指標均方差（MSE）為準則的參數(shù)辨識方法。該方法并未考慮輸出誤差序列的空間分布狀態(tài)，因而只能算作對理想模型的一種局部逼近，并不能保證所訓練出模型的泛化能力。1996年，捷克學者Karny[8]首次提出了概率密度函數(shù)（PDF）控制的概念。2007年王宏等[9]針對模型參數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)隨機變化的系統(tǒng)，提出了基于平方根B樣條模型的輸出PDF跟蹤控制策略，并將其成功應用于造紙過程的控制之中。2012年，賈立等[10]在間歇過程的數(shù)據(jù)驅(qū)動建模方法中引入PDF控制的概念，在保證建模精度的同時有效提高了模型的魯棒性與泛化能力。但是，該方法在應用過程中遇到了兩個問題：①概率密度估計的準確度不夠高；②當目標PDF信息不能給定時，采用基于最小熵準則進行參數(shù)辨識容易出現(xiàn)性能不穩(wěn)定的情況。能否解決上述問題，直接關系到PDF技術是否能夠順利應用到間歇過程建模之中。為此，本文在前期研究的基礎上引入新的概率密度窗寬確定方法。該方法能夠自動根據(jù)樣本分布情況確定窗寬以進行準確的概率密度估計。此外，針對目標PDF信息未知的情況，在構建目標PDF估計器的基礎上，采用收縮策略來動態(tài)地指導模型的訓練過程。

1 基于PDF技術的間歇過程NFM模型

基于PDF技術的模型訓練方法將間歇過程數(shù)據(jù)模型的可調(diào)參數(shù)作為控制系統(tǒng)的輸入，將模型誤差的PDF作為控制系統(tǒng)的輸出，從而成功地將模型開環(huán)辨識問題轉(zhuǎn)化為輸出PDF控制問題。通過可調(diào)參數(shù)控制模型誤差的空間分布狀態(tài)，不僅能夠保障模型精度，而且可以控制模型誤差的空間分布狀態(tài)，使建模誤差的分布趨近于正態(tài)分布，從而避免了采用MSE準則訓練模型可能引發(fā)的模型誤差空間分布不規(guī)則的情況[11]。

1.1 NFM模型結構

本文所采用的NFM模型由5層前向網(wǎng)絡構成：第1層為模型輸入層，共包含ny+nu個節(jié)點，且每個輸入信號分別對應一個節(jié)點，該節(jié)點將輸入信號傳遞到下一層；第2層為模糊化層，包括(ny+nu)×N個節(jié)點組成（式中N為模糊規(guī)則IF-THEN數(shù)量），每個節(jié)點對應一個隸屬度函數(shù)，表示一個語言變量值；第3層為模糊條件層，每個節(jié)點表示一條模糊規(guī)則，計算出每條規(guī)則的使用度，由N個節(jié)點構成；第4層為模糊決策層，由兩個節(jié)點組成；最后1層為輸出層，由1個節(jié)點組成。模型輸出可以用式（1）表達

式中，μj(xi)表示高斯型隸屬度函數(shù)；wj表示第j條模糊規(guī)則子集；cji和θj分別為隸屬度函數(shù)的中心和寬度[12]。此外，為了提高模型精度，模糊規(guī)則后件參數(shù)可以采用常量形式[式（2）]、線性函數(shù)形式[式（3）]或者非線性函數(shù)形式[式（4）]來表示。

利用PDF技術對NFM系統(tǒng)的參數(shù)wj實現(xiàn)辨識，需要采集模型預測輸出序列? { ( )} y k，并結合過程實際輸出序列{ ( )}

t y k來獲取模型的輸出誤差序列

t

圖1 窗寬對概率密度估計的影響Fig.1 Influence of window width on PDF estimation

因此，在實際應用中hP需要根據(jù)經(jīng)驗謹慎選擇。如在前期研究中，選擇的窗寬函數(shù)為hP=，其中N為樣本序列長度，sig為根據(jù)經(jīng)驗選取的窗寬參數(shù)（一般取0.25）。然而該窗寬在實際使用中并不能非常好地適應樣本分布的變化。為此，采用新的窗寬對樣本進行概率密度估計，具體表達式如下

式中，median(x)函數(shù)表示序列x的中位數(shù)[13]。上述窗寬的選擇考慮了樣本的分布特性，能夠更好地針對樣本進行概率密度估計。在獲得模型輸出誤差的PDF之后，就可以通過極小化下述目標函數(shù)實現(xiàn)對模型參數(shù)wj的求解

通過PDF技術訓練出的模型不僅擁有足夠高的精度，還可以使建模誤差的分布趨近于正態(tài)分布，從而避免采用MSE準則可能引發(fā)的模型誤差空間分布不規(guī)則的情況，保證了模型的泛化能力。

1.2 NFM模型參數(shù)辨識

間歇過程NFM模型前件參數(shù)的作用是根據(jù)訓練數(shù)據(jù)來靈活地劃分模糊集合，即將間歇過程的非線性模型在空間中分成幾個不同的區(qū)域以達到減少模糊規(guī)則數(shù)，增強區(qū)域分布合理性的目的。通過改進的最近鄰聚類算法對模型的前件參數(shù)cji和θj進行辨識[14-15]。對模型后件參數(shù)的辨識將采用PDF技術來進行。由于在實際工業(yè)生產(chǎn)過程中，目標PDF的信息經(jīng)常是無法預先獲取的，因此在NFM模型后件參數(shù)的辨識中就需要分別考慮目標PDF信息能否給定這兩種不同的前提條件來設計不同的策略來進行辨識（圖2）。

此外，考慮到目標函數(shù)式（8）的求解屬于復雜的非線性優(yōu)化問題，而以遺傳算法（GA）、模擬退火算法（SA）、粒子群算法（PSO）等為代表的智能優(yōu)化算法在處理該類問題時能夠有效避免傳統(tǒng)優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)的問題，且具有較快的收斂速度[16-19]。因此，采用遺傳算法對目標函數(shù)進行優(yōu)化求解。

圖2 基于PDF技術的間歇過程NFM模型Fig.2 PDF based NFM of batch process

1.2.1 目標PDF已知時NFM后件參數(shù)辨識 當目標PDF信息能夠被明確給定時，利用PDF技術可以非常方便地通過調(diào)節(jié)參數(shù)wj來實現(xiàn)模型輸出誤差概率密度函數(shù)p(e(kt))對目標ptarget的跟蹤?？紤]到概率密度函數(shù)的圖形特性，對目標ptarget和模型輸出誤差p(e(kt))這兩個概率密度函數(shù)的差值絕對值進行積分，即通過最小化下述目標函數(shù)來調(diào)節(jié)模型的參數(shù)，使兩條概率密度曲線之間的差異最小化。

算法的具體操作步驟如下。

（1）采集間歇過程K個批次上的輸入輸出數(shù)據(jù)，并將這些數(shù)據(jù)在時間軸上展開，作為訓練的樣本數(shù)據(jù)；

（2）確定核估計的窗函數(shù)?，窗寬hP及目標ptarget；

（3）采用聚類算法計算前件參數(shù)cji和θj，隨機初始化NFM后件參數(shù)wj并計算模型的預測輸出；

（5）將模型輸出誤差PDF代入目標函數(shù)式（9）中，使用遺傳算法通過調(diào)節(jié)wj值來極小化目標函數(shù)。

1.2.2 目標PDF未知時NFM后件參數(shù)辨識 考慮到在實際生產(chǎn)過程中經(jīng)常會存在目標概率密度函數(shù)信息未知的情況，在前期的研究中曾提出了一種基于最小熵的模型參數(shù)辨識方法。該方法采用信息熵來度量模型誤差分布的不確定性，并通過最小化模型輸出誤差序列的熵值來調(diào)節(jié)模型參數(shù)。如果用p(e(kt))表示模型誤差的概率密度函數(shù)，則相應的熵值可以表示為

依此可建立下述目標函數(shù)的表達式以指導NFM后件參數(shù)的調(diào)整

由于基于最小熵的PDF技術在應用中存在性能不穩(wěn)定的缺點，本節(jié)擬采用線性ARX模型來搭建一個簡易的PDF預估器，然后通過應用PDF收縮策略來求解模型參數(shù)。利用間歇過程數(shù)據(jù)所建立的ARX模型可以表示如下

相應的模型輸出誤差序列為

式中，yi表示間歇過程實際輸出，表示ARX模型輸出。利用該誤差序列ek, i估計出NFM模型的一個概略目標PDF（該PDF估計值僅使用標準差σ信息，均值μ取為0）

由于間歇過程具有很強的非線性，利用其生產(chǎn)數(shù)據(jù)所建立的線性ARX模型在估計性能上相對于訓練好的非線性NFM模型更弱一些，具體表現(xiàn)為在模型輸出誤差帶上前者的分布表現(xiàn)得更為離散（圖3），且概率密度曲線更加矮、寬（圖4）[20]。

因此，可以考慮在所建立的ARX預估值基礎之上再設定一個PDF收縮策略指導算法更新所跟蹤的目標PDF值

圖3 ARX和NFM模型輸出誤差帶示意圖Fig.3 Output error band of ARX and NFM

圖4 ARX和NFM模型輸出誤差PDFFig.4 Output error PDF of ARX and NFM

因此，可以考慮設定下述收縮策略的停止條件對收縮過程進行限定

式中，Diff為跟蹤偏移率；DiffRatio為預先設置的收縮策略終止閾值（需要根據(jù)實際情況設定）。如果模型的跟蹤偏移率大于DiffRatio，則判定該算法達到性能極限從而停止PDF收縮并跳出優(yōu)化進程，輸出所保存的上一輪優(yōu)化的結果。目標PDF的收縮過程大致可以用圖5表示，圖中高度最低PDF曲線為PDF預估器獲得的初始目標PDF；中間層的PDF曲線為應用收縮策略時的目標PDF；高度最高的曲線為達到停止條件時的目標PDF。圖中曲線高度由低變高的過程則表示收縮策略的運行情況。

圖5 目標PDF收縮效果Fig.5 Contraction of target PDF

（1）采集間歇過程K個批次上的輸入輸出數(shù)據(jù)，并將這些數(shù)據(jù)在時間軸上展開，作為訓練的樣本數(shù)據(jù)；

（2）確定核估計的窗函數(shù)?，窗寬hP；

（3）利用ARX預估器獲取初始目標PDF；

（4）采用聚類算法獲取前件參數(shù)cji和θj，隨機初始化NFM后件參數(shù)wj并計算模型的預測輸出；

（6）將模型輸出誤差PDF代入目標函數(shù)式（9）中，使用遺傳算法通過調(diào)節(jié)wj值極小化目標函數(shù)；

（7）判斷是否達到收縮策略終止條件。若未達到終止條件，則應用收縮策略更新目標PDF并將當前最優(yōu)wj作為初始值重新開始優(yōu)化；若達到終止條件，則輸出系統(tǒng)所保存的上一次優(yōu)化結果最優(yōu)值及對應的目標PDF作為最終優(yōu)化結果。

2 仿真研究

為驗證本文提出的算法的有效性，仿真中采用一種典型的間歇生產(chǎn)過程反應器[21]。其反應過程為，表達式為

式中，x1和x2分別表示A和B的量綱1濃度；T為反應器溫度。仿真中取同時對T進行歸一化處理其中Tmin和Tmax分別為298 K和398 K，tf= 1.0 h。

稱取5.0 g的刺葡萄皮各3份，加入0.4%鹽酸溶液100 mL，于恒溫40℃下水浴浸提40 min后過濾。濾渣在相同浸提條件下再進行多次浸提。確定完全浸提花青素所需次數(shù)。

取初始條件為：x1(0) = 1，x2(0) = 0。Td為控制變量，且0≤Td≤1，x2( t )為輸出變量，控制優(yōu)化的性能指標是要最大化B的批次終點濃度x2( tf)。

2.1 基于改進窗寬PDF技術性能仿真

為驗證提出的改進窗寬估計對基于PDF技術的NFM模型的跟蹤性能的影響，仿真中將目標PDF的標準差分別選定為0.030、0.025和0.020。然后利用原始窗寬和改進窗寬對分別進行估計，并利用PDF技術來訓練NFM。在上述3種目標PDF下，模型的跟蹤效果如圖6～圖11所示。通過對比可發(fā)現(xiàn)，在使用改進窗寬之后，基于PDF技術的NFM系統(tǒng)對目標PDF的跟蹤性能得到了很大提升。在其跟蹤性能范圍之內(nèi)能夠使模型輸出誤差的PDF對目標PDF實現(xiàn)非常精準的跟蹤，進而說明了在PDF技術中引入改進窗寬的有效性與必要性。

圖6 目標PDF為0.03時原始估計跟蹤效果Fig.6 Original tracking effect of target PDF (0.03)

圖7 目標PDF為0.03時改進估計跟蹤效果Fig.7 Improved tracking effect of target PDF (0.03)

2.2 目標PDF已知時NFM模型辨識仿真

在本例仿真實驗中，已知間歇過程輸出誤差序列的目標PDF值為。首先根據(jù)經(jīng)驗選定模糊空間劃分數(shù)為8，并使用改進最近鄰聚類算法對前件參數(shù)cji和θj進行辨識；然后在獲得前件參數(shù)之后利用改進窗寬估計的PDF技術對后件參數(shù)wj進行辨識與優(yōu)化。

圖8 目標PDF為0.025時原始估計跟蹤效果Fig.8 Original tracking effect of target PDF (0.025)

圖9 目標PDF為0.025時改進估計跟蹤效果Fig.9 Improved tracking effect of target PDF (0.025)

圖10 目標PDF為0.02時原始估計跟蹤效果Fig.10 Original tracking effect of target PDF (0.02)

通過仿真，可知模型訓練的輸出誤差MSE= 6.79×10?4，模型測試的輸出誤差MSE= 7.49×10?4；此外，模型的訓練與測試的輸出效果如圖12～圖17所示，從圖中可以看到，經(jīng)過訓練后的模型輸出誤差PDF能夠非常好地跟蹤目標PDF，而且當其進行測試輸出時其輸出誤差PDF曲線也趨近于高斯分布。

圖11 目標PDF為0.02時改進估計跟蹤效果Fig.11 Improved tracking effect of target PDF (0.02)

圖12 模型的訓練輸出Fig.12 Output of model training

圖13 模型的訓練輸出誤差Fig.13 Output error of model training

2.3 目標PDF未知時NFM模型辨識仿真

在目標PDF信息未知時，同樣可以首先通過改進最近鄰聚類算法對前件參數(shù)進行辨識；然后利用PDF預估器來獲取初始目標PDF值；最后，采用PDF收縮策略來構建優(yōu)化算法對NFM后件參數(shù)進行辨識。

圖14 模型的訓練輸出誤差PDFFig.14 Output error PDF of model training

圖15 模型的測試輸出Fig.15 Output of model testing

圖16 模型的測試輸出誤差Fig.16 Output error of model testing

本次仿真中，PDF收縮策略的收縮系數(shù)β=0.9，跟蹤偏移率閾值選為DiffRatio= 0.05，即PDF收縮策略為

圖17 模型的測試輸出誤差PDFFig.17 Output error PDF of model testing

圖18 模型訓練時目標PDF收縮示意圖Fig.18 Contraction of target PDF in model training

圖19 模型的訓練輸出Fig.19 Output of model training

仿真結果如圖18～圖26所示，其中圖18為PDF收縮策略的運行結果，圖中高度最低的一條曲線為ARX預估器所估計的目標PDF，最高的一條曲線為滿足PDF收縮策略終止條件時的目標PDF。

圖20 模型的訓練輸出誤差Fig.20 Output error of model training

圖21 模型的訓練輸出誤差PDFFig.21 Output error PDF of model training

圖22 模型的測試輸出Fig.22 Output of model testing

基于收縮策略的PDF技術的NFM模型訓練輸出誤差MSE= 6.63×10?4，測試輸出誤差MSE= 8.40×10?4；而采用最小熵方法求解出的模型訓練輸出誤差MSE= 6.84×10?4，測試輸出誤差MSE=9.76×10?4。兩種算法在MSE指標上并沒有太大差異，但是從圖21和圖25以及圖24和圖26可以明顯看出，基于收縮策略的PDF技術所訓練出的模型，無論是訓練輸出誤差PDF曲線還是測試輸出誤差PDF曲線均更趨近于高斯分布，因此該模型具有更強的泛化能力。

圖23 模型的測試輸出誤差Fig.23 Output error of model testing

圖24 模型的測試輸出誤差PDFFig.24 Output error PDF of model testing

圖25 基于最小熵的模型訓練誤差PDFFig.25 Output error PDF of minimum entropy based model training

圖26 基于最小熵的模型測試誤差PDF圖Fig.26 Output error PDF of minimum entropy based model testing

3 結 論

針對PDF技術在間歇過程NFM模型應用中的不足之處提出了改進方法。在概率密度估計方法中引入全新的窗寬計算方法，從而在實現(xiàn)更為精準的概率密度估計的同時使NFM的訓練過程能夠更為精確地跟蹤目標PDF。此外，針對目標PDF未知的情況引入了PDF預估器和收縮策略來實現(xiàn)模型參數(shù)的辨識與優(yōu)化，提高了模型的預測性能與泛化能力。通過上述改進，使PDF技術在NFM模型中的應用更加成熟與穩(wěn)定，因而可以很方便地擴展到其他模型中進行應用。

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研究論文

Received date: 2015-12-17.

Foundation item: supported by the National Natural Science Foundation of China (61374044), the Shanghai Science Technology Commission (12510709400), the Shanghai Municipal Education Commission (14ZZ088) and the Shanghai Talent Development Plan 2013.

Improved PDF technology based NFM for batch process

FU Zhao, JIA Li
(Shanghai Key Laboratory of Power Station Automation Technology, Department of Automation, School of Mechatronic Engineering and Automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China)

Abstract:Batch process is an typical nolinear production process and can be simulated by a neuro-fuzzy model (NFM). In the previous research, a new model training method called PDF technology was proposed to successfully conquer the weak generalization ability which caused by the MSE rule based model training. But the density function is hard to estimate and the trained model are not stable when the target PDF can not given. To solve these problems, a new window width estimation method is introduced and also a contraction strategy with a PDF predictor is proposed when the target can not be given. Simulation results demonstrate that the proposed methods can get a more accurate density estimation and a more excellent model prediction ability.

Key words:batch process; neuro-fuzzy model; probability density function; contraction strategy; algorithm; prediction

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151922

中圖分類號：TP 273

文獻標志碼：A

文章編號：0438—1157（2016）03—0998—10

基金項目：國家自然科學基金項目（61374044）；上海市科委國際合作項目（12510709400)；上海市教委創(chuàng)新重點項目（14ZZ088）；2013年度上海市人才發(fā)展基金項目。

Corresponding author:Prof. JIA Li, jiali@staff.shu.edu.cn