王宇紅，楊璞（中國石油大學(xué)（華東）信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266580）

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一種基于PWA模型的控制策略在連續(xù)攪拌反應(yīng)釜中的應(yīng)用

王宇紅，楊璞
（中國石油大學(xué)（華東）信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266580）

摘要：在化工系統(tǒng)實際運行過程中，常常會出現(xiàn)一些不正常的工作狀態(tài)，為了使系統(tǒng)運行狀態(tài)能夠避開這些不正常的工作狀態(tài)，往往需要對控制器進(jìn)行重構(gòu)。針對這種情況，本文闡述了一種基于分段仿射模型的控制策略，該控制策略采用顯式模型預(yù)測控制算法對系統(tǒng)進(jìn)行控制，當(dāng)檢測到系統(tǒng)出現(xiàn)異常工作點時，先對系統(tǒng)進(jìn)行形式驗證，根據(jù)驗證結(jié)果，再決定是否進(jìn)行控制器重構(gòu)，這樣，既大大節(jié)約了生產(chǎn)時間和成本，也提高了控制效率。將該控制策略應(yīng)用到連續(xù)攪拌反應(yīng)釜系統(tǒng)中，取得了顯著的應(yīng)用成效。

關(guān)鍵詞：分段仿射模型；顯式模型預(yù)測控制；形式驗證；連續(xù)攪拌反應(yīng)釜；動態(tài)仿真

2015-12-07收到初稿，2015-12-17收到修改稿。

聯(lián)系人及第一作者：王宇紅（1970—），男，博士研究生，教授。

引 言

化工裝置往往具有非線性特性和混雜特性，分段仿射（PWA）模型能夠很好地描述這類裝置的特性[1]?；どa(chǎn)對控制實時性要求較高，能否準(zhǔn)確及時地對生產(chǎn)過程進(jìn)行控制，將直接影響生產(chǎn)的效率和產(chǎn)品的質(zhì)量。目前，采用傳統(tǒng)的模型預(yù)測控制技術(shù)[2-4]、非線性預(yù)測控制技術(shù)[5-6]、自適應(yīng)控制技術(shù)[7-8]，均需要在線求取控制器，導(dǎo)致控制實時性不強。顯式模型預(yù)測控制[9-10]分為離線計算和在線計算兩部分，它通過離線計算得到系統(tǒng)狀態(tài)和最優(yōu)控制輸入的顯式關(guān)系，在線計算時，只需根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前時刻狀態(tài)，進(jìn)行簡單的線性運算，即可得到系統(tǒng)輸入，從而大大減少了在線計算量，節(jié)省了在線計算時間，若采用顯式模型預(yù)測控制技術(shù)對化工系統(tǒng)進(jìn)行控制，則能夠很好地滿足化工生產(chǎn)對控制實時性的要求。

在實際化工生產(chǎn)過程中，也常常會出現(xiàn)一些異?；虿焕硐氲墓ぷ鼽c，它們組成的集合稱為危險狀態(tài)集，為了使系統(tǒng)運行狀態(tài)能夠避開危險狀態(tài)集，往往需要重新設(shè)計控制器以滿足新的控制要求，這會導(dǎo)致控制的實時性變差，浪費大量生產(chǎn)時間，增加生產(chǎn)成本。如果先對系統(tǒng)進(jìn)行形式驗證[11-12]，即系統(tǒng)在給定時間內(nèi)，在當(dāng)前控制器的作用下，判斷初始狀態(tài)集中的狀態(tài)，是否可達(dá)不安全狀態(tài)集，根據(jù)判斷的結(jié)果，再決定是否需要重新設(shè)計控制器，這樣可以大大減少控制器重構(gòu)的次數(shù)，從而提高了生產(chǎn)效率。

本文首先介紹了PWA模型，然后分別對基于PWA模型的顯式模型預(yù)測控制算法和形式驗證進(jìn)行了詳細(xì)的研究，最后提出了一種基于PWA模型的控制策略，并將該控制策略應(yīng)用到連續(xù)攪拌反應(yīng)釜（CSTR）系統(tǒng)中，達(dá)到了期望的控制效果。

1 PWA模型

PWA模型的特點是包含有限個連續(xù)變量動態(tài)子模型，隨著系統(tǒng)狀態(tài)的不斷演化，系統(tǒng)根據(jù)切換律在不同模態(tài)之間進(jìn)行切換，其表達(dá)式為[13-14]

2 基于PWA模型的顯式模型預(yù)測控制

顯式模型預(yù)測控制分為離線計算和在線計算兩部分，它的基本思想是將模型預(yù)測控制算法與多參數(shù)規(guī)劃理論相結(jié)合，通過離線計算求取顯式控制律，那么在線計算過程就不需要復(fù)雜的優(yōu)化計算，控制的實時性高。

2.1 離線計算

考慮如下控制問題：

setN是權(quán)值矩陣，它們是滿秩矩陣。這是帶約束的有限時域最優(yōu)控制問題，本文采用一種將動態(tài)規(guī)劃理論與多參數(shù)線性規(guī)劃理論相結(jié)合的方法求解該問題。

根據(jù)貝爾曼最優(yōu)化原理，問題（2）可以表示為一個等價的動態(tài)規(guī)劃問題[15-16]

其中

是使問題（3）可行的所有狀態(tài)的集合。

對于動態(tài)規(guī)劃問題（3）、（4），若采用逆序解法求解，每一次迭代都可以將其轉(zhuǎn)化為如下形式

如果把x看作參數(shù)變量，u看作決策變量，那么式（6）可以看作多參數(shù)線性規(guī)劃問題，通過求解該問題，得到分段仿射形式的顯式控制率[15]

2.2 在線計算

在線計算過程只需檢測系統(tǒng)當(dāng)前時刻狀態(tài)，先確定該狀態(tài)所屬的控制器分區(qū)，這實質(zhì)上是一個“點定位”問題，采用文獻(xiàn)[17]的方法，能夠高效地解決該問題；再根據(jù)與該狀態(tài)所屬分區(qū)相對應(yīng)的控制率子函數(shù)，即可求得系統(tǒng)輸入，下一時刻，重復(fù)上述在線過程即可。

3 基于PWA模型的形式驗證

對系統(tǒng)進(jìn)行形式驗證，本質(zhì)是檢驗系統(tǒng)特定的行為屬性是否滿足控制要求。本文采用基于模型驗證的方法，其中，系統(tǒng)模型為PWA模型，系統(tǒng)可能的輸入通過顯式模型預(yù)測控制器直接得到，形式驗證算法如下所述。

（1）建立系統(tǒng)的形式驗證模型

已知系統(tǒng)的PWA模型如式（1）所示，顯式控制率如式（7）所示，依次求取與的交集為，得到系統(tǒng)的形式驗證模型

可以看出，該形式驗證模型為自治的PWA模型。（2）求取可達(dá)集定義1 對于自治系統(tǒng)其中，和均為多面體集，定義系統(tǒng)的一步可達(dá)集為。

代表P的第i個頂點，vP代表P的頂點總數(shù)。

假設(shè)X0為滿足系統(tǒng)狀態(tài)約束條件的初始狀態(tài)集，它是凸多面體集，根據(jù)建立的形式驗證模型，求取與X0的交集為， h=1,… , q。如果將交集χh，h=1,… , q分別用它的頂點組合表示，其中，代表的第i個頂點，代表的頂點總數(shù)；那么，系統(tǒng)的一步可達(dá)集為其中，。根據(jù)遞推關(guān)系，系統(tǒng)的N步可達(dá)集可通過，得到。

（3）給出驗證結(jié)果

假設(shè)系統(tǒng)不安全狀態(tài)集為Xf，要驗證系統(tǒng)在有限步長N≤ Nmax內(nèi)，是否可達(dá)Xf，其實只需要驗證與是否有交集，當(dāng)說明系統(tǒng)可達(dá)不安全狀態(tài)集Xf，否則，不可達(dá)。

將基于PWA模型的顯式模型預(yù)測控制與形式驗證相結(jié)合，即可得到全新的控制策略：建立系統(tǒng)的PWA模型，采用顯式模型預(yù)測控制算法對系統(tǒng)進(jìn)行控制，針對系統(tǒng)在實際運行過程中出現(xiàn)危險狀態(tài)集的情況，先對系統(tǒng)進(jìn)行形式驗證，再決定是否需要重新設(shè)計控制器，以期最終達(dá)到控制目標(biāo)。

4 仿真實例

4.1 CSTR系統(tǒng)的PWA模型

CSTR是化工生產(chǎn)過程中必不可少的生產(chǎn)工具，由于它具有高度非線性、多變量和多工作點的特點，采用簡單單一的模型往往不能很好地反映系統(tǒng)的特性，這里采用PWA模型對其進(jìn)行建模，一個標(biāo)準(zhǔn)兩狀態(tài)的CSTR系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 連續(xù)攪拌反應(yīng)釜Fig.1 Continuous stirred tank reactor

假設(shè)反應(yīng)釜中發(fā)生的化學(xué)反應(yīng)為不可逆放熱反應(yīng)A→ B，其中，CA為產(chǎn)物濃度，T為反應(yīng)釜內(nèi)溫度，qc為冷卻劑流量，Tcf為冷卻劑溫度。根據(jù)文獻(xiàn)[18-19]，令CA和T分別為系統(tǒng)的狀態(tài)變量x1, x2； Tcf為系統(tǒng)的輸入u；CB為系統(tǒng)的輸出y，則CSTR系統(tǒng)可由式（8）描述

其中κ(x2)λ=20.0，x1f= 1.0，，變量的取值范圍為。

在額定工作條件下，系統(tǒng)有3個穩(wěn)定工作點：xs1=(0.856,0.886)，xs2=(0.5528,2.7517)，xs3= (0.2353,4.7050)，其中，xs1, xs 3為漸近穩(wěn)定工作點，xs2為局部穩(wěn)定工作點。

若在穩(wěn)定工作點處先對式（8）進(jìn)行線性化，再離散化，即可建立CSTR系統(tǒng)的PWA模型為

4.2 仿真結(jié)果與分析

化工生產(chǎn)過程中，CSTR系統(tǒng)需要工作在不同的工作點（穩(wěn)態(tài)點）處，以便生產(chǎn)出所需要的產(chǎn)品，這里假設(shè)某一產(chǎn)品在點處產(chǎn)出，系統(tǒng)初始狀態(tài)集為控制目標(biāo)是使X0中的狀態(tài)點，在輸入作用下，都能夠達(dá)到期望的工作點xs1處。若選取任意一個符合要求的狀態(tài)點x0=( 0.35,0.4 )作為系統(tǒng)初始狀態(tài)，應(yīng)用上述控制策略進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 顯式模型預(yù)測控制器狀態(tài)分區(qū)Fig.2 Partitions of explicit model predictive controller

圖3 CSTR系統(tǒng)的狀態(tài)演化曲線Fig.3 State evolution of CSTR system

圖4 CSTR系統(tǒng)狀態(tài)演化過程的相平面圖Fig.4 Phase-plane diagram of state evolution of CSTR system

圖2中，顯式模型預(yù)測控制器共有26個不同的子控制率分布在162個狀態(tài)分區(qū)上，其中，不同顏色的分區(qū)對應(yīng)不同的子控制率。圖3中，在K =42時，系統(tǒng)達(dá)到并穩(wěn)定在期望的工作狀態(tài)，整個控制過程快速平穩(wěn)。圖4反映系統(tǒng)狀態(tài)在狀態(tài)空間演化過程及在不同采樣時間經(jīng)過的控制器分區(qū)。

在產(chǎn)品生產(chǎn)過程中，若檢測到危險狀態(tài)集時，假設(shè)兩種情況

其中Xf1和Xf2代表危險狀態(tài)集。

先對系統(tǒng)進(jìn)行形式驗證，在當(dāng)前控制器作用下，如果系統(tǒng)初始狀態(tài)集中所有狀態(tài)不可達(dá)危險狀態(tài)集，則不需要重構(gòu)控制器；反之，則需要重構(gòu)控制器。根據(jù)形式驗證算法，得到驗證結(jié)果如圖5～圖6所示。

圖5～圖6中，綠色區(qū)域代表初始狀態(tài)集，紅色區(qū)域代表危險狀態(tài)集，藍(lán)色區(qū)域代表可達(dá)集。圖5中，系統(tǒng)初始狀態(tài)集中的狀態(tài)不可達(dá)危險狀態(tài)集，所以針對情況一，不需要對控制器進(jìn)行重構(gòu)。圖6中，系統(tǒng)初始狀態(tài)集中的狀態(tài)可達(dá)危險狀態(tài)集，所以針對情況二，需要應(yīng)用顯式模型預(yù)測控制算法，重新設(shè)計滿足要求的控制器，仿真結(jié)果如圖7～圖8所示。

圖5 CSTR系統(tǒng)的形式驗證（情況一）Fig.5 Formal verification of CSTR system (Situation 1)

圖6 CSTR系統(tǒng)的形式驗證（情況二）Fig.6 Formal verification of CSTR system (Situation 2)

圖7 重構(gòu)后的顯式模型預(yù)測控制器狀態(tài)分區(qū)Fig.7 Partitions of controller after reconfiguration

圖7中，新的顯式模型預(yù)測控制器共有43個不同的子控制率分布在320個狀態(tài)分區(qū)上。圖8中，在新的控制器作用下，系統(tǒng)仍然能夠從初始狀態(tài)x0達(dá)到期望的工作狀態(tài)，整個控制過程快速平穩(wěn)且避開了不安全狀態(tài)。

圖8 重構(gòu)后系統(tǒng)狀態(tài)演化過程的相平面圖Fig.8 Phase-plane diagram of state evolution under new controller

由于模型預(yù)測控制方法[20-21]在化工生產(chǎn)中有較為廣泛的應(yīng)用，為了說明本文控制策略的高效性，與傳統(tǒng)的模型預(yù)測控制方法進(jìn)行比較。仍然在上述條件下，仿真結(jié)果表明，采用傳統(tǒng)的模型預(yù)測控制方法，在K =68時，系統(tǒng)從初始狀態(tài)到達(dá)期望工作狀態(tài)，平均完成一次在線過程的時間為3320 ms，當(dāng)出現(xiàn)危險狀態(tài)集時，均需要重新設(shè)計控制器；而采用本文控制策略，在K =42時，系統(tǒng)從初始狀態(tài)到達(dá)期望工作狀態(tài)，平均完成一次在線過程的時間為2.1 ms，當(dāng)出現(xiàn)危險狀態(tài)集時，控制器重構(gòu)的次數(shù)僅為1次。可以看出，本文控制策略在控制的實時性、所需的計算量和計算時間方面均優(yōu)于傳統(tǒng)的模型預(yù)測控制方法。

5 結(jié) 論

本文闡述了一種基于PWA模型的控制策略，并將其應(yīng)用到CSTR系統(tǒng)中進(jìn)行仿真研究。仿真結(jié)果表明，PWA模型很好地反應(yīng)了CSTR系統(tǒng)的特性，顯式模型預(yù)測控制可以使CSTR系統(tǒng)狀態(tài)快速平穩(wěn)地達(dá)到期望的狀態(tài)（如穩(wěn)定的工作點），在運行過程中，檢測到危險狀態(tài)集出現(xiàn)時，先對系統(tǒng)進(jìn)行形式驗證，再決定是否需要對控制器進(jìn)行重構(gòu)。情況一不需要進(jìn)行控制器重構(gòu)，繼續(xù)使用當(dāng)前控制器即可滿足控制要求；情況二則需要進(jìn)行控制器重構(gòu)，將重構(gòu)后的控制器作用于系統(tǒng)，可以看出系統(tǒng)狀態(tài)演變過程避開了不安全狀態(tài)，滿足了新的控制要求。最后，與傳統(tǒng)的模型預(yù)測控制方法進(jìn)行比較，說明了該控制策略的高效性。

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研究論文

Received date: 2015-12-07.

Foundation item: supported by the Natural Science Foundation of Shandong Province (2013ZRE28089).

Application of a control strategy based on PWA model in CSTR system

WANG Yuhong, YANG Pu
(College of Information and Control Engineering, China University of Petroleum (East China), Qingdao 266580, Shandong, China)

Abstract:There will be some abnormal working states in the process of chemical production, so the controller of the system often needs to be reconfigured in order to keep the system running normally. In view of this situation, a control strategy based on piecewise affine (PWA) model is proposed. In the strategy, a system is modeled in PWA form and an explicit model predictive control algorithm is applied to control the system. When abnormal operating points are detected, formal verification is first used to decide whether the controller needs to be reconfigured or not. By this way, it not only saves production time, but also improves the control efficiency. An application case study on CSTR system is given to illustrate the effectiveness of this strategy.

Key words:PWA model; explicit model predictive control; formal verification; CSTR; dynamic simulation

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151844

中圖分類號：TP 273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：0438—1157（2016）03—0865—06

基金項目：山東省自然科學(xué)基金項目（2013ZRE28089）。

Corresponding author:Prof. WANG Yuhong, y.h.wang@upc.edu.cn