邱　寧

(青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院, 山東 青島　266106)

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時(shí)間分?jǐn)?shù)階延遲微分方程在流體力學(xué)中的應(yīng)用

邱寧

(青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院, 山東 青島266106)

摘要:利用一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程描述河灘形成過程中沙子運(yùn)動(dòng)的模型,將傳統(tǒng)刻畫該模型的對(duì)時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)用α(0<α<1)階導(dǎo)數(shù)代替,最后給出數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞:時(shí)間分?jǐn)?shù)階; 延遲; 河灘; 輸沙量; 數(shù)值模擬

在大河的拐彎處,由于水流的環(huán)流,彎的外側(cè)形成凹岸,內(nèi)側(cè)形成凸岸.兩岸泥沙運(yùn)輸率的空間差異導(dǎo)致凹岸和凸岸的形成演化,所以通過輸沙率與時(shí)間掛鉤來(lái)模擬河灘和河坎的形成演變[1].在相對(duì)理想的狀態(tài)下,利用時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程來(lái)描述河灘形成過程中的流沙運(yùn)動(dòng)過程,并給出數(shù)值模擬.

本文考慮如下河灘處泥沙輸沙量的方程:

(2)

(3)

1差分格式構(gòu)造

(4)

記

則式(4)整理得:

(5)

對(duì)式(2)離散后得:

進(jìn)一步整理成便于討論的形式:

(6)

(7)

2穩(wěn)定性證明

定理1差分格式(6)、式(7)無(wú)條件穩(wěn)定.

證明ωk=(k+1)1-α-k1-α,所以有

由差分格式(6)、式(7)得誤差方程:

(8)

(9)

(10)

考慮到ωk滿足的條件,所以上式等于

(11)

3收斂性證明

根據(jù)式(6)、式(7)和局部截?cái)嗾`差計(jì)算得:

(12)

(13)

定理2差分格式(6)、式(7)無(wú)條件收斂.

證明用數(shù)學(xué)歸納法.

此處 C1=ταΓ(2-α)(τ+h2).

4數(shù)值算例

考慮如下問題:

算例的精確解u(x,t)=t2ex,取延遲量τ=1[5-6],令空間步長(zhǎng)為0.1,時(shí)間步長(zhǎng)為0.01,數(shù)值模擬結(jié)果如下.

表1　數(shù)值解的相對(duì)誤差

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【責(zé)任編輯: 肖景魁】

Application of Time Fractional Delay Differential Equations in Fluid Dynamics

QiuNing

(Qindao College, Qingdao Technological University, Qingdao 266106, China)

Abstract:In this paper, by using a class of time fractional differential equations describing the motion of sand beach formation model. The time first derivative of the model is put into the model by a fractional derivative of order α(0<α<1), and numerical simulation is given in the end.

Key words:time fractional order; delay; benchland; sediment runoff; numerical simulation

中圖分類號(hào):O 241.82

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):2095-5456(2016)02-0170-03

作者簡(jiǎn)介:邱寧(1980-),女,山東煙臺(tái)人,青島理工大學(xué)講師.

基金項(xiàng)目:山東省高?？萍加?jì)劃資助項(xiàng)目(J15L157).

收稿日期:2015-10-29