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        時(shí)間分?jǐn)?shù)階延遲微分方程在流體力學(xué)中的應(yīng)用

        2016-05-09 01:18:32
        關(guān)鍵詞:輸沙量河灘數(shù)值模擬

        邱 寧

        (青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院, 山東 青島 266106)

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        時(shí)間分?jǐn)?shù)階延遲微分方程在流體力學(xué)中的應(yīng)用

        邱寧

        (青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院, 山東 青島266106)

        摘要:利用一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程描述河灘形成過程中沙子運(yùn)動(dòng)的模型,將傳統(tǒng)刻畫該模型的對(duì)時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)用α(0<α<1)階導(dǎo)數(shù)代替,最后給出數(shù)值模擬.

        關(guān)鍵詞:時(shí)間分?jǐn)?shù)階; 延遲; 河灘; 輸沙量; 數(shù)值模擬

        在大河的拐彎處,由于水流的環(huán)流,彎的外側(cè)形成凹岸,內(nèi)側(cè)形成凸岸.兩岸泥沙運(yùn)輸率的空間差異導(dǎo)致凹岸和凸岸的形成演化,所以通過輸沙率與時(shí)間掛鉤來(lái)模擬河灘和河坎的形成演變[1].在相對(duì)理想的狀態(tài)下,利用時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程來(lái)描述河灘形成過程中的流沙運(yùn)動(dòng)過程,并給出數(shù)值模擬.

        本文考慮如下河灘處泥沙輸沙量的方程:

        (2)

        (3)

        1差分格式構(gòu)造

        (4)

        則式(4)整理得:

        (5)

        對(duì)式(2)離散后得:

        進(jìn)一步整理成便于討論的形式:

        (6)

        (7)

        2穩(wěn)定性證明

        定理1差分格式(6)、式(7)無(wú)條件穩(wěn)定.

        證明ωk=(k+1)1-α-k1-α,所以有

        由差分格式(6)、式(7)得誤差方程:

        (8)

        (9)

        (10)

        考慮到ωk滿足的條件,所以上式等于

        (11)

        3收斂性證明

        根據(jù)式(6)、式(7)和局部截?cái)嗾`差計(jì)算得:

        (12)

        (13)

        定理2差分格式(6)、式(7)無(wú)條件收斂.

        證明用數(shù)學(xué)歸納法.

        此處 C1=ταΓ(2-α)(τ+h2).

        4數(shù)值算例

        考慮如下問題:

        算例的精確解u(x,t)=t2ex,取延遲量τ=1[5-6],令空間步長(zhǎng)為0.1,時(shí)間步長(zhǎng)為0.01,數(shù)值模擬結(jié)果如下.

        表1 數(shù)值解的相對(duì)誤差

        參考文獻(xiàn):

        [1] 杜曉琴,高抒. 水下沙丘形態(tài)演化的數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)[J]. 海洋學(xué)報(bào), 2012,134(4):121-134.

        ( DU X Q, GAO S. An evolution of subaqueous dune morphology numerical experiments[J]. Acta Oceanologica Sinica, 2012,134(4):121-134.)

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        [4] 張艷敏,郭萍,段素芳. 一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階延遲微分方程的數(shù)值解法[J]. 沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014,26(4):342-344.

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        (HUANG D G. Unified convection diffusion equations based on weakly compressible liquid[J]. Journal of Engineering Thermophysics, 2007(S1):153-156.)

        【責(zé)任編輯: 肖景魁】

        Application of Time Fractional Delay Differential Equations in Fluid Dynamics

        QiuNing

        (Qindao College, Qingdao Technological University, Qingdao 266106, China)

        Abstract:In this paper, by using a class of time fractional differential equations describing the motion of sand beach formation model. The time first derivative of the model is put into the model by a fractional derivative of order α(0<α<1), and numerical simulation is given in the end.

        Key words:time fractional order; delay; benchland; sediment runoff; numerical simulation

        中圖分類號(hào):O 241.82

        文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

        文章編號(hào):2095-5456(2016)02-0170-03

        作者簡(jiǎn)介:邱寧(1980-),女,山東煙臺(tái)人,青島理工大學(xué)講師.

        基金項(xiàng)目:山東省高??萍加?jì)劃資助項(xiàng)目(J15L157).

        收稿日期:2015-10-29

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