竇劍眉
在高中階段的數(shù)學學習中,練習題目的數(shù)量大幅增加。很多教師和學生都熱衷于通過加大練習數(shù)量來鞏固知識學習效果,使課業(yè)負擔成倍增加。然而,大量做習題并不一定能使學習效果得到提高。即使教師在每一次課堂教學后都為學生布置很多練習,仍然會有不少學生頻繁出錯。究其原因,問題并不是出在教師所布置的習題本身,而是解題之后對于習題的處理。解題之后的反思不足,會使數(shù)學習題的訓練效果大打折扣。
一、尋找題中陷阱,促進查缺補漏
什么樣的題目應在解答后進行反思?錯題必然是首選。很多情況下,學生之所以會做錯題,并不是知識點不清楚,而是沒有注意到題目中所設置的陷阱。這需要引起教師的重視。學生總是無法發(fā)現(xiàn)題中陷阱,表面看來是解題過程中疏忽了、馬虎了,實則是由于對一些容易出現(xiàn)錯誤的內(nèi)容不敏感、不清晰所導致的。因此,怎樣發(fā)現(xiàn)和識別題中陷阱,是解題后反思一個重要內(nèi)容。
例如,在運用排列組合的知識進行解題時,很多學生在這個問題的解答上都出現(xiàn)了問題:5個人分別編號為1,2,3,4,5,他們分別坐在編號為1,2,3,4,5的椅子上。那么,至多有兩個號碼一致的坐法有多少種?大多數(shù)學生都從對立事件的角度進行考慮,認為求出3個或4個號碼一致的情況,再做減法就可以了,于是有了A55-C35A22-1=99的答案。這道題出現(xiàn)錯誤的原因在于審題不清。當3個號碼一致時,另兩個號便不能一致。即若選擇了1、2、3號一致,則4、5號人的坐法是唯一的,即A22種。正確解法應為A55-C35-1=109。透過這個題設陷阱,學生清楚地看到了思考中的疏漏。
二、推廣一題多變,強化綜合能力
對所解題目進行反思,其范圍不應僅僅局限于該題目本身,而是要對之進行最大限度的拓展,將每道習題的探究價值擴充到最大。推廣一題多變,可以同時觸發(fā)一道題目中的多種可能性。在一題多變的過程中,一道題以不同形式予以展現(xiàn),學生得以從多個側(cè)面與角度對知識內(nèi)容進行理解,能夠提高學習效果。
例如,我曾經(jīng)對這樣一道題目進行拓展變化:已知x、y≥0且x+y=1,求x2+y2的取值范圍。學生運用函數(shù)思想進行常規(guī)解答的比較多。在此基礎上,我繼續(xù)開辟思路,引導學生從換元、不等式和數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā),又分別通過三角換元、基本不等式及圓等方法順利求解。學生的知識體系一下子被打通了。隨后,我又將題目進行改編,成為“已知x、y非負,M=a4+b4,a+b=1,求M的值”、“已知x、y≥0且x+y=1,求x8+y8的值”等形式,請學生繼續(xù)嘗試解答。
在落實一題多變過程中,教師可以突破變化題目本身這一界限,將觸角延伸至對于解題過程進行變化上,也就是“一題多解”。對于比較典型、靈活的題目,即使學生已經(jīng)得出了正確解答,教師仍然應將其他解答方法呈現(xiàn)給學生。每種不同的解法,都能開啟學生不同的思維角度,這對于提高數(shù)學學習效果來講是具有積極意義的。
三、總結(jié)解題規(guī)律,提升學習效率
高中數(shù)學中出現(xiàn)的習題數(shù)量和種類都是相當龐大的。如果要求學生對之面面俱到地分別掌握,對于時間和精力都是一個極大的挑戰(zhàn)。為了提升解題效率,教師要將一些巧妙方法傳授給學生,從具體習題出發(fā),總結(jié)解題規(guī)律。
例如,在學習數(shù)列時,出現(xiàn)了這樣一道習題:{an}是正項等比數(shù)列,且a1a5+2a3a5+a3a7=25,那么,a3+a5的值是多少?為了快速準確求解,解答時需要運用等比數(shù)列中am-pam+p=am2的性質(zhì),將等式配方成為(a3+a5)2的形式便可輕松得到答案。由此,我?guī)ьI學生從中提煉出配方法的解題規(guī)律,并請學生運用這一方法解答如下問題:已知,sin4α+cos4α=1,那么,sinα+cosα的值是多少?學生感到,配方這一解題規(guī)律的出現(xiàn),使類似問題的解答難度明顯降低了。
經(jīng)過多次解題之后總結(jié)規(guī)律,學生深切感受到,一直以來的“點”式學習被串連成為了“線”式學習。知識點是具體的、零散的,而規(guī)律卻是系統(tǒng)的、普適的。在總結(jié)規(guī)律的同時,本身就是對解題過程的回顧與提煉,將得出的規(guī)律運用到更多類似的數(shù)學題目中,能夠縮短思考時間,降低解題難度。因此,解題完成后,學生不要急于繼續(xù)解題,而是要回過頭來看一看,也許能夠從中發(fā)現(xiàn)更有價值的問題,從而提高學習效果。
總之,從某種意義上來講,解題后反思的過程要比解題過程本身更重要。如果在每一次解題之后都進行深入到位的反思,不僅能從根本上夯實基礎,更能從中發(fā)現(xiàn)深化探索的入口,在反思的過程中,實現(xiàn)知識學習的升華。