江 瀾

2013人教版數(shù)學(xué)二年級下冊出現(xiàn)的《剪手拉手的四個小人》是修訂后的教材在解決問題方面關(guān)于“圖形與幾何”領(lǐng)域所作的又一突破——通過讓學(xué)生利用軸對稱圖形的知識解決剪出給定圖案的問題。在教學(xué)中，筆者確定了四次動手操作的時機(jī)，以建空間觀念，促合情推理為抓手，促進(jìn)學(xué)生對本課的學(xué)習(xí)。

【課前“動”：清晰概念，鞏固“軸對稱”表象】

師：昨天老師布置你們在家剪一個軸對稱圖形（一棵樹）。你們剪成功了嗎？

作業(yè)中老師設(shè)置了幾個問題，請你們在組內(nèi)交流一下。

1.為什么要把紙張對折？

2.要剪出一棵樹，為什么只要剪半棵就可以了？

3.圖案要畫在開口處，還是封口處（對折線上）,為什么？可以剪一剪，看看兩種情況有何不同。

組1：把紙張對折是為了找到對稱軸，保證剪出來的樹是對稱的。

組2：樹是對稱的，所以只要剪半棵，另一半是一樣的。

組3：圖案要畫在封口處，如果在開口處，剪出來就是分開的，沒有連在一起。

【設(shè)計(jì)說明：學(xué)生通過剪簡單的軸對稱圖形，以及對作業(yè)中問題的思考，對“軸對稱圖形”的認(rèn)識再次深入，對如何剪出簡單的軸對稱圖形有更清晰的認(rèn)知?！?/p>

【“第二動”:經(jīng)歷推理，體悟“幾次”與“幾份”的關(guān)系】

師：看來大家昨天在剪小樹時都非常用心，不僅會剪還知道為什么這么剪，真棒！看看今天我們要挑戰(zhàn)什么?。ㄕn件出示：課本主題圖）

師：你知道了什么？

生：要剪出4個小人，而且要手拉手；每一個小人都是軸對稱圖形。

師：要剪出這樣的4個小人好像有點(diǎn)難，你們打算怎么解決？

生：先剪2個小人試一試。

師：是啊，我們可以從2個小人研究起，由易到難。剪一個小人需把紙張對折一次，那剪兩個小人你們覺得要對折幾次？

生：兩次！

師：用什么辦法驗(yàn)證呢？

生：折折看。

師：請你們用紙張折一折，再打開紙張看一看、想一想，為什么？

（學(xué)生動手操作后，發(fā)現(xiàn)確實(shí)是對折兩次）

師：能說說為什么嗎？

生：剪一個小人，紙張對折一次，把紙張平均分成了兩份。我把紙張對折兩次，打開后發(fā)現(xiàn)紙張被平均分成了四份，四個半人合起來就是兩個小人。

師：那如果對折三次，你們覺得可以剪出幾個小人？

（學(xué)生有的說三個，有的說是四個）

師：如何驗(yàn)證？

生：再折折看。

師：好，開始吧?。ㄓ昧硗庖粡埣垼?/p>

生：對折三次是剪出四個小人，因?yàn)榧垙埍黄骄殖闪税朔荩?/p>

師：觀察板書，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：多對折一次，紙張平均分的份數(shù)就翻倍。剪出的人數(shù)也會翻倍。

（由于二年級未學(xué)習(xí)“倍”，故需教師的引導(dǎo)才能說出以上結(jié)論）

師：那么對折四次呢？

生：紙張平均分成16份，剪出8個小人！

【設(shè)計(jì)說明：根據(jù)對板書的觀察，引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理，體悟到對折幾次與均分幾份、得到幾個小人三者之間的聯(lián)系——即每增加對折一次，紙張均分的份數(shù)翻倍，能剪出的小人圖案數(shù)也隨之翻倍。引深思考對折四次、五次的情況。此時，學(xué)生已無需再動手驗(yàn)證，便能通過合情推理所得的結(jié)論得到答案。】

【“第三動”：暴露盲點(diǎn)，找到隱蔽的關(guān)鍵點(diǎn)】

師：現(xiàn)在請你們動手剪出手拉手的2個小人。

學(xué)生動手操作，教師巡視，收集正例和錯例。

交流時，教師展示錯例作品：

師：看，這件作品沒有成功。為什么會失敗呢？老師手上也有件成功的作品，我把它們都還原成剪之前的樣子。（展示時連同剪下的紙張部分一起呈現(xiàn)“場景還原”的效果，見下圖）：

師：仔細(xì)觀察，你們發(fā)現(xiàn)了兩種剪法的不同點(diǎn)在哪里？

生：失敗的那個沒有把小人的手畫到紙張邊緣，成功的那個有！

（教師打開兩個作品“廢紙”部分，讓學(xué)生進(jìn)行觀察：沒有把小人的手畫在邊緣處為什么會失?。?/p>

生：小人的手沒有畫到邊緣，剪下后會斷開。

師：看來我們要保證剪下來的2個小人是手拉手的，必須要？

生：把小人的手畫到邊緣！

師：請剛才沒有剪成功的小朋友再嘗試一下。

【設(shè)計(jì)說明：此次動手操作充分暴露學(xué)生的思維盲點(diǎn)，學(xué)生疑惑重重，再引導(dǎo)學(xué)生觀察復(fù)原的兩件作品，思考這兩種剪法的不同點(diǎn)在哪里？學(xué)生很快就觀察到：失敗的作品沒有將圖案畫至紙張邊緣處。再打開兩個作品“廢紙”部分，讓學(xué)生進(jìn)行觀察思考：為什么沒有把圖案畫在邊緣處會失??？學(xué)生通過討論，明確了導(dǎo)致剪下來的2個小人沒有“手拉手”的原因。隨后，筆者又讓嘗試失敗的學(xué)生再次動手，給他們以糾錯、強(qiáng)化正確認(rèn)知的機(jī)會。整個環(huán)節(jié)達(dá)到兩個目的：（1）讓學(xué)生充分暴露思維盲點(diǎn)，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知需求。（2）利用錯例資源促進(jìn)學(xué)生反思錯因，完善思維，引發(fā)學(xué)生逐步調(diào)整策略解決問題?！?/p>

【“第四動”：完整過程，獲得成功體驗(yàn)】

師：現(xiàn)在我們來理一理思路，你們覺得怎樣能保證成功地剪出4個手拉手的小人？

生：要對折三次；小人的圖案要畫在紙張的封口那側(cè)；小人的手要畫到紙張邊緣。

師：你們思路很清晰，好，現(xiàn)在開始動手吧！

（學(xué)生進(jìn)行操作，多數(shù)學(xué)生成功剪出作品，驚喜、興奮的心情溢于言表）

師：祝賀大家都成功剪出了4個小人，仔細(xì)觀察這4個小人，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：是通過把1個小人平移得到4個小人的。

師：你們真厲害，平移的4個手拉手小人我們會剪了，想挑戰(zhàn)一下下面的圖嗎？（出示旋轉(zhuǎn)的手拉手的4個小人圖）

（學(xué)生進(jìn)行拓展嘗試）

【設(shè)計(jì)說明：有了前面的三次動手操作，經(jīng)過幾次的解決問題策略調(diào)整，學(xué)生在頭腦里已能清晰地對如何剪出手拉手的四個小人有明確的理解，突出了對幾個關(guān)鍵點(diǎn)的認(rèn)知——對折三次，圖案要畫在對稱軸一側(cè)，且要畫至紙張邊緣處。學(xué)生對此了然于心，空間觀念搭建完善，此時，讓學(xué)生進(jìn)行第四次動手操作，增大了成功的幾率。學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上獲得了成功體驗(yàn)，達(dá)成了情感態(tài)度方面的教學(xué)目的?！?/p>

【教后思考】

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）將“空間與圖形”改為“圖形與幾何”，調(diào)整后的“圖形與幾何”以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心展開。修訂后的人教版教材關(guān)于“圖形與幾何”領(lǐng)域在解決問題方面突破了以往解決問題的例題多安排在“數(shù)與計(jì)算”領(lǐng)域的局限，使得培養(yǎng)學(xué)生的“四能”的素材和案例更為豐富，這一類課型通過讓學(xué)生利用圖形和幾何的知識解決相應(yīng)的問題。如何在這類課型中處理好動手操作與有效思考兩者之間的關(guān)系，達(dá)到建空間觀念，促合情推理的目的呢？

一、在知識發(fā)生連接時進(jìn)行動手操作

在新版教材里，很多“空間與幾何”領(lǐng)域的“解決問題”課型都需要一些已知知識作為基礎(chǔ)鋪墊，如本案例中的“剪手拉手的四個小人”。學(xué)生會剪簡單的軸對稱圖形，明白為什么這樣可以剪出軸對稱圖形，這便是與新知的連接處。再如，一年級下冊的《平面圖形的拼組》，學(xué)生對“拼組”的動作理解以及對各平面圖形的特征認(rèn)知便是與新知的連接處，可以讓學(xué)生先進(jìn)行動手操作：用同樣長的小棒拼出長方形。因此，需要教師通過解讀教學(xué)重難點(diǎn)，了解新知與舊知的連接點(diǎn)，考慮在課前階段讓學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的動手操作任務(wù)，教師還應(yīng)抓住新知與舊知的連接點(diǎn)，設(shè)置一些回顧反思性的問題，引導(dǎo)學(xué)生更好地回顧舊知，做好承前啟后的思維蟄伏和心理準(zhǔn)備，以促進(jìn)新知的遷移。

二、在關(guān)鍵處的推理時進(jìn)行動手操作

《課標(biāo)》中對空間觀念的要求是：由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物形狀，進(jìn)行幾何體與三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化。實(shí)際上，“圖形與幾何”問題解決過程中的關(guān)鍵處需要學(xué)生經(jīng)歷包括觀察、想象、比較、猜測、推理、驗(yàn)證的過程。低年級學(xué)生的思維處于具體形象思維階段，往往需要一定的具體直觀形象作支撐，單純的內(nèi)隱思維活動可能會使他們處于停滯不前的狀態(tài)，此時正需搭建起抽象性的數(shù)學(xué)知識和形象性的學(xué)生思維之間的“橋梁”——動手操作活動，使學(xué)生邊“思”邊“動”，以“動”促“悟”。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。此時的動手操作就是為了提供進(jìn)行合理推理所需的“事實(shí)”，如本課例中以動手操作輔助學(xué)生探尋對折“幾次”與均分“幾份”的關(guān)系，經(jīng)歷“操作感知——形成表象——抽象概括”這一過程，使動手操作成為促進(jìn)驗(yàn)證推理，有效建構(gòu)空間幾何表象的重要推手。

三、在思維盲區(qū)處進(jìn)行動手操作

由于“空間與幾何”知識領(lǐng)域的特殊性，一些關(guān)鍵點(diǎn)較為隱蔽，無法明顯地發(fā)現(xiàn)。此時，教師的直接揭示無法給學(xué)生帶來強(qiáng)烈的認(rèn)知沖擊，不動不明，學(xué)生永遠(yuǎn)停留在“要我學(xué)”的被動地位，沒有認(rèn)知需求，認(rèn)知欲望不強(qiáng)，對知識的印記也無法深刻、具體、形象。如本案例中，教師若直接提醒畫小人時要畫至紙張的邊緣處才能保證四個小人手拉手，學(xué)生無法透徹理解，“不憤不啟，不悱不發(fā)”，此時的動手操作活動才能使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，激起主動的探究欲望。通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生主動地通過自己的觀察尋找問題的原因，找到解決問題的關(guān)鍵，并逐步調(diào)整策略。在不斷的操作中領(lǐng)悟解決問題的方法，提高解決問題的能力，同時培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與挑戰(zhàn)意識。在這暴露學(xué)生思維的動手操作活動中，學(xué)生經(jīng)歷了“試誤—究因—調(diào)整策略”的解決問題過程，在數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積留中逐步建立了空間觀念，得到鮮明、清晰、正確的概念。

四、在脈絡(luò)清晰時進(jìn)行動手操作

很多數(shù)學(xué)問題的解決，一下子由學(xué)生自主探索，難度較大，學(xué)生一次性成功的幾率很小。在學(xué)習(xí)難點(diǎn)、問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)未清晰之前，貿(mào)然進(jìn)行動手操作活動，會出現(xiàn)許多的學(xué)習(xí)難題，而這些問題由于現(xiàn)實(shí)因素并無法一一在課堂上給予擊破，這樣勢必造成課堂教學(xué)節(jié)奏拖沓、層次凌亂，教師手忙腳亂，學(xué)生高耗低能。在前文所述的恰當(dāng)時機(jī)進(jìn)行動手操作后，學(xué)生對知識的來龍去脈有了具體清晰的認(rèn)識，空間觀念得到初步的構(gòu)建，問題解決的難點(diǎn)也得到了明朗，一切脈絡(luò)清晰時便是最好的操作時機(jī)，此時操作水到渠成，學(xué)生有意識也有能力避開失誤的礁區(qū)，能順利地解決問題，獲得成功的體驗(yàn)。

綜上所述，在“圖形與幾何”領(lǐng)域的問題解決中，學(xué)生動手操作的時機(jī)確定、決定了其學(xué)習(xí)是否有效，思維能力是否得到提升。因此，教師在研讀教材后，要站在學(xué)生認(rèn)知的角度，思索、確定好學(xué)習(xí)難點(diǎn)、解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，對全課教學(xué)過程進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃、整體部署，找準(zhǔn)“動”機(jī)，使學(xué)生的空間觀念和合情推理能力在充分感知、操作體驗(yàn)、解決問題的策略調(diào)整、實(shí)踐中逐步培養(yǎng)起來。