陳華忠

“雞兔同籠”這個(gè)數(shù)學(xué)問題，是一個(gè)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名題，是我國(guó)古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問題。針對(duì)這一問題，我們要深入分析與挖掘它蘊(yùn)含著獨(dú)特的數(shù)學(xué)思想和背景文化，通過學(xué)習(xí)“雞兔同籠”，不僅要讓學(xué)生感受祖先的聰明才智，更要讓學(xué)生體會(huì)到它的解題策略的多樣性以及其中蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力。

一、在分析解題中有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是教材先說明“雞兔同籠”問題是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)問題，再由生動(dòng)有趣的古代課堂情境引“雞兔同籠”原題，并對(duì)原題給予解釋，由小精靈提出“這個(gè)問題你能解決嗎？”但由于“雞兔同籠”原題的數(shù)據(jù)較大，不便于學(xué)生進(jìn)行探究，所以教材以化繁為簡(jiǎn)的思想為指導(dǎo)，先在例1中安排一道數(shù)據(jù)較小的“雞兔同籠”問題讓學(xué)生探究解決，還考慮到“雞兔同籠”對(duì)學(xué)生尤其是基礎(chǔ)不好的學(xué)生來說有一定的難度。為此，教學(xué)時(shí)主要借助教材上的列舉法同時(shí)結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生圖形結(jié)合（即畫圖法）的基本解題思路，再配合假設(shè)法，從中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些方法進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

1.列舉法。

通過列舉解決問題就是把符合問題的所有可能答案逐個(gè)找出，并用某種形式進(jìn)行整理，從而得到問題的答案。列舉是一種樸素的思想方法，又是一種實(shí)用的解決問題的策略。在學(xué)生剛接觸“雞兔同籠”問題時(shí)，學(xué)生要列式計(jì)算往往感到困難。但是，對(duì)于數(shù)據(jù)較小的問題，一些可能的答案卻很容易憑經(jīng)驗(yàn)或直覺得到，學(xué)生可以運(yùn)用猜測(cè)、驗(yàn)證的方法，實(shí)際上就是用列舉法（即一一列舉）來解決問題，學(xué)生一般用順序列舉法，按從大到小或從小到大依次列舉，可以有效避免疏漏或重復(fù)。列舉法常常借助于列表來及時(shí)記錄每一種可能的結(jié)果。如：逐一列舉法。

雞/只 8 7 6 5 4 3 2 1 0兔/只 0 1 2 3 4 5 6 7 8腳/只 16 18 20 22 24 26 28 30 32

當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)按一定的間隔或從中間數(shù)開始列舉，不斷優(yōu)化列舉法，靈活快捷地解決問題。但當(dāng)問題中的數(shù)據(jù)比較大的時(shí)候，列表的方法就會(huì)很繁瑣、復(fù)雜，這時(shí)列表法就有一定的局限性。

2.數(shù)形結(jié)合法。

利用“數(shù)形結(jié)合”，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)“雞兔同籠”問題時(shí)，根據(jù)上題中數(shù)據(jù)較小的特點(diǎn)讓學(xué)生用畫圖法解題：

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，借助于形象的圖形來解題，對(duì)于初次接觸此類問題的學(xué)生來說，不僅學(xué)得有趣、簡(jiǎn)單，而且能加深用假設(shè)法解題的思路的理解，發(fā)展學(xué)生的思維能力。但數(shù)字大的時(shí)候，畫圖也是比較麻煩的。

3.假設(shè)法。

假設(shè)法是根據(jù)題目中的已知條件或結(jié)論作出某種假設(shè)，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、明朗化，從而迅速找到解題思路。合理運(yùn)用假設(shè)法，往往可以使問題化難為易，使解題另辟蹊徑，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題技能，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。用假設(shè)法解答上題有多種思路，可以先假設(shè)全部都是雞或全部都是兔，再計(jì)算實(shí)際與假設(shè)情況下總腳數(shù)之差，最后推理出雞和兔的只數(shù)。比如假設(shè)8只都是雞，則腿的條數(shù)是 16條（8×2），比實(shí)際的少了 10條（26-16），那么就必須用兔子去換雞，一只兔換掉一只雞就會(huì)多出兩條腿（4-2），那么，少掉的10條腿就必須用5只兔子去換，即 10÷（4-2）=5（只）求出兔子的只數(shù)，最后8-5=3求的就是雞的只數(shù)。反之假設(shè)8只都是兔。

運(yùn)用假設(shè)法解題是教學(xué)的難點(diǎn)，借助之前的畫圖法使學(xué)生在直觀操作活動(dòng)中建立思維的表象，再進(jìn)一步抽象，最后又歸納總結(jié)成順口溜：“雞兔同籠并不難，設(shè)雞設(shè)兔全由你，設(shè)雞算出兔，設(shè)兔算出雞?！边@樣有助于學(xué)生真正理解“假設(shè)法”，形成有序地、嚴(yán)密地思考問題的意識(shí)。

“雞兔同籠”問題的解法非常之多，每種解法中都滲透著不同的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生從中在情感態(tài)度、思維能力與價(jià)值觀等方面得以提升,增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

二、在鞏固運(yùn)用時(shí)有機(jī)滲透數(shù)學(xué)建模思想

俗話說:“授人以魚不如授人以漁?！边@句話道出了培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型思想的重要性。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)歷史名題正是為數(shù)學(xué)模型的發(fā)展提供了這樣一個(gè)平臺(tái)。數(shù)學(xué)名題中滲透的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)名題本身的模型作用都可以讓學(xué)生在潛移默化中逐步感受、領(lǐng)悟和掌握數(shù)學(xué)思想。在解決了“雞兔同籠”問題后，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考，概括提煉出解題模型：兔數(shù)=（實(shí)際的腳數(shù)－雞兔總數(shù)×2）÷（4-2），雞數(shù) =（雞兔總數(shù)×4-實(shí)際的腳數(shù)）÷（4-2）。之后在應(yīng)用中引導(dǎo)學(xué)生鞏固、擴(kuò)展這個(gè)模型，把“雞”與“兔”換成烏龜和仙鶴等，變式為“龜鶴問題”、“坐船問題”、“植樹問題”、“答題問題”、“籃球賽中的得分問題”等問題，溝通這些問題與“雞兔同籠”問題的聯(lián)系，使“雞兔同籠”成為這些問題的模型，并應(yīng)用模型解決問題，不斷促進(jìn)模型的內(nèi)化，使數(shù)學(xué)建模成為學(xué)生思考問題與解決問題的一種思想和方法，從而強(qiáng)化學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)與生活密不可分，數(shù)學(xué)知識(shí)來源與生活，同樣也運(yùn)用于生活。

三、在教學(xué)過程中提升數(shù)學(xué)思想文化情感

“雞兔同籠”問題是《孫子算經(jīng)》中的一道名題，它流傳廣泛，影響深遠(yuǎn)，引起了許多國(guó)家眾多數(shù)學(xué)愛好者的廣泛關(guān)注。除學(xué)習(xí)它的解法外，更重要的要做好經(jīng)典數(shù)學(xué)文化遺產(chǎn)的傳承和弘揚(yáng)。在歷史悠久、繁花似錦、成就輝煌的數(shù)學(xué)百花園中，有一叢絢麗多姿引人入勝的瑰寶，這就是“世界名題”。它們以嚴(yán)密的邏輯推理使人嘆服，又以匠心獨(dú)具的構(gòu)思模式令人陶醉。有的題目歷經(jīng)幾代數(shù)學(xué)家的苦心求索，得出了一些精巧絕倫的解法，賞心悅目，極富誘惑力。如“哥德巴赫猜想”、“費(fèi)馬大定理”、“九點(diǎn)圓”、“哥斯尼堡七橋問題”等等。一個(gè)小小的六角幻方，竟花去亞當(dāng)斯52年的時(shí)間。馬克思以演算微積分為休息，蘇步青“演算萬題成才”傳為佳話，陳景潤(rùn)那傳奇式的“兩麻袋算題稿紙”則成了向數(shù)論頂峰攀登的路標(biāo)。如此的情境，讓學(xué)生在演繹數(shù)學(xué)歷史的過程中激發(fā)民族自豪感，在與數(shù)學(xué)家的對(duì)話中感悟探索的精神，在了解數(shù)學(xué)的現(xiàn)代文明成果中激起為社會(huì)服務(wù)的使命感，在挖掘數(shù)學(xué)美育功能的過程中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的奧秘，在應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的過程中培養(yǎng)發(fā)展意識(shí)與實(shí)踐能力，在探索數(shù)學(xué)思想方法的過程中形成實(shí)事求是的態(tài)度和科學(xué)求真的精神。