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        凸顯模型價(jià)值學(xué)習(xí)方程概念
        ——特級(jí)教師張齊華《認(rèn)識(shí)方程》片斷賞析

        2016-05-08 07:15:30王鋒琴錢建兵
        關(guān)鍵詞:情境學(xué)生

        王鋒琴 錢建兵

        片斷一:感受價(jià)值,建立關(guān)系

        師:一個(gè)未知數(shù),怎樣才能變成已知數(shù)呢?知道張老師今年多大嗎?

        生:不知道。

        師:既然不知道,那它就是個(gè)未知數(shù),在座誰(shuí)的年齡是已知數(shù)?

        一學(xué)生示意他的年齡是11歲,教師在已知數(shù)下面板書:11。

        師:現(xiàn)在,如果我告訴大家,我的年齡和他的年齡之間的某種關(guān)系,你能不能知道我的年齡?

        生:(很肯定地)能!

        師:(神秘地)偷偷告訴大家,如果把我的年齡減去20歲,還要比他大,誰(shuí)知道,我今年多大?

        生:不能確定。

        師:看來(lái),根據(jù)這一年齡關(guān)系,還沒(méi)法確定我的年齡,這樣吧,我再換一條試試:如果我的年齡減去30歲,就要比他小了。

        生:還是沒(méi)法確定。

        師:奇怪了,給你這樣的關(guān)系不行,那樣的關(guān)系也不行。那你們到底要知道怎樣的關(guān)系?

        生:不能大也不能小,要正好相等。

        師:好厲害的想法!那行,如果現(xiàn)在我告訴你們,把我的年齡減去25歲,正好和他的年齡相等。

        生:36歲!

        師:奇怪,三句話,同樣都告訴了“我的年齡”和“他的年齡”之間的關(guān)系,為什么前兩回都不行,而這回卻又行了呢?

        生:因?yàn)榍皟苫刂徽f(shuō)了你的年齡減掉幾歲后,要么比他多,要么比他少,所以我們無(wú)法確定。但這一次直接告訴相差25歲。

        師:說(shuō)得真好!不過(guò),數(shù)學(xué)問(wèn)題,如果用數(shù)學(xué)的方式來(lái)觀察和思考,或許會(huì)顯得更清楚、更簡(jiǎn)潔。張老師建議,下面我們?cè)囍堰@三組關(guān)系,用含有字母的式子表示出來(lái),看看大家會(huì)有什么新發(fā)現(xiàn)。

        生:我發(fā)現(xiàn),只有有了等號(hào),我們才能知道未知數(shù)是多少。

        師:可別小看這個(gè)等號(hào)哦,正因?yàn)橛辛怂?,我們才能夠在未知?shù)x和已知數(shù)11之間建立起某種等量關(guān)系,并根據(jù)等量關(guān)系找到未知數(shù)的結(jié)果。像這樣,在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的等量關(guān)系式,我們就把它叫做方程。

        【賞析:方程是建立未知與已知之間等量關(guān)系的模型。張老師立足于這一本質(zhì)。以猜年齡的情境,引導(dǎo)學(xué)生將已知與未知建立聯(lián)系,在經(jīng)歷兩次不等關(guān)系的“失敗”之后,已知與未知之間的等量關(guān)系呼之欲出,從而凸顯了方程的價(jià)值。這正是這一設(shè)計(jì)的獨(dú)特之處,特別注重方程的價(jià)值,也就是在解決問(wèn)題的過(guò)程中建立等量關(guān)系,理解方程的意義,而不是為了方程而方程,方程的意義與解決問(wèn)題相分離,使方程的意義退化成一堆堆無(wú)用的符號(hào)碎片,造成對(duì)方程的認(rèn)識(shí)僵化。只有運(yùn)用知識(shí),才能體現(xiàn)其價(jià)值,才能讓其生動(dòng)活潑起來(lái)。

        學(xué)生在初步學(xué)習(xí)方程時(shí),面臨最大的問(wèn)題是:長(zhǎng)期的算術(shù)思維困擾,總是將思維聚焦于如何去求得未知量,習(xí)慣于從問(wèn)題出發(fā)或條件出發(fā)進(jìn)行推理求解,而不是主要著眼于相應(yīng)的等量關(guān)系。張老師將方程的認(rèn)識(shí)立足于等量關(guān)系,突出等量關(guān)系在認(rèn)識(shí)方程中的地位,方程沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何運(yùn)算,只是闡述一個(gè)事實(shí)本身,一個(gè)沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何加工的事實(shí)本身?!?/p>

        片斷二:豐富意義,深入認(rèn)識(shí)

        出示蘋果、西紅柿、西瓜、梨、草莓。

        師:它們的質(zhì)量都是未知數(shù),有什么東西能使它們變成已知數(shù)嗎?

        生:天平。

        師:有了天平與砝碼就一定能知道它們的質(zhì)量嗎?出示下圖。

        師:觀察,哪些水果的質(zhì)量已知,哪些未知?把你的想法在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)。

        (學(xué)生交流)

        師:2號(hào)也有天平與砝碼,為什么西瓜的質(zhì)量我們沒(méi)法知道?

        生:因?yàn)樘炱經(jīng)]有平衡。

        師:能不能說(shuō)得專業(yè)一點(diǎn)?

        生:因?yàn)?號(hào)天平中,未知數(shù)和已知數(shù)之間沒(méi)有建立起等量關(guān)系。

        師:可3號(hào)建立了等量關(guān)系???

        生:雖然建立了等量關(guān)系,但兩種水果的質(zhì)量都是未知數(shù),沒(méi)有已知數(shù)。

        生:這里的未知數(shù)沒(méi)有和已知數(shù)建立等量關(guān)系。

        師:通過(guò)剛才的學(xué)習(xí),相信大家對(duì)方程已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)。這些式子中,有方程嗎?

        根據(jù)學(xué)生的回答整理出板書:

        【賞析:這一環(huán)節(jié)的重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握方程的形式化定義。定義在概念學(xué)習(xí)中是十分有用的,能夠減少學(xué)生通過(guò)正反例辨別概念相關(guān)屬性所付出的努力。重視方程的價(jià)值,并不是說(shuō)方程的形式化定義不重要,而是這種定義要讓學(xué)生感受到其價(jià)值,學(xué)生才有學(xué)習(xí)的意愿。承接第一環(huán)節(jié)對(duì)方程有了初步認(rèn)識(shí)之后,這里利用天平,再一次豐富學(xué)生對(duì)方程的認(rèn)識(shí),因?yàn)樘炱绞堑攘筷P(guān)系最直觀形象的表達(dá),直觀地表示出方程的實(shí)質(zhì)是建立已知與未知之間的等量關(guān)系。由于有了天平作為由直觀情境向抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)之間的一個(gè)過(guò)渡,利用純式子進(jìn)行辨析方程的形式化定義就不那么突兀,學(xué)生易于接受。烏申斯基認(rèn)為:“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ),我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的?!痹谝淮未蔚谋容^辨析中,自然剝離了方程的非本質(zhì)屬性,逼近了方程的本質(zhì),方程的概念呼之欲出。設(shè)計(jì)的練習(xí)采用正反例強(qiáng)化策略,緊緊圍繞方程意義中的要素——未知量和等式,科學(xué)合理。最后兩個(gè)變式設(shè)計(jì)新穎,在對(duì)第7題的判斷中,強(qiáng)化了未知量,第8題則強(qiáng)化了等式?!?/p>

        片斷三:體會(huì)模型思想

        學(xué)生分別列出4x=320。

        師:觀察三道題,你發(fā)現(xiàn)了什么?

        生:列出的方程都一樣。

        師:奇怪,三個(gè)問(wèn)題各不相同,怎么列出的方程是一樣的?

        生:因?yàn)樗鼈冋f(shuō)的都是同一件事。

        師:既然這樣,那你還能再找到一個(gè)問(wèn)題,也能列出這樣的方程嗎?

        (學(xué)生交流,匯報(bào))

        師:這樣的問(wèn)題,能找到多少個(gè)?

        生:無(wú)數(shù)個(gè)。

        師:那這無(wú)數(shù)個(gè)問(wèn)題,為什么只需要一個(gè)方程就能表示出來(lái)?

        生:因?yàn)樗鼈兊臄?shù)量關(guān)系是一樣的。

        師:是啊,只要它們具有同樣的數(shù)量關(guān)系,無(wú)論多少個(gè)問(wèn)題,一個(gè)方程就能概括。這就是方程的魅力所在。

        【賞析:方程即模型,方程背后是建模思想。在這一環(huán)節(jié),張老師精心設(shè)計(jì)了三個(gè)不同的情境,抽象出同一個(gè)方程。在為什么的反思中,學(xué)生剝離了具體的情境,意識(shí)到“說(shuō)的是同一件事”,實(shí)質(zhì)就是讓學(xué)生“去情境化”的過(guò)程,學(xué)生意識(shí)到這是一個(gè)模型。走出情境,是為了讓學(xué)生建立模型,進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過(guò)程。讓學(xué)生再找列出同樣方程的問(wèn)題是又進(jìn)入情境,是為了加深對(duì)模型的認(rèn)識(shí),也是數(shù)學(xué)化的過(guò)程。在數(shù)學(xué)與生活之間轉(zhuǎn)化,豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維,著力于思維的深刻性的培養(yǎng)】。

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