王鋒琴 錢建兵

片斷一：感受價(jià)值，建立關(guān)系

師：一個(gè)未知數(shù)，怎樣才能變成已知數(shù)呢？知道張老師今年多大嗎？

生：不知道。

師：既然不知道，那它就是個(gè)未知數(shù)，在座誰(shuí)的年齡是已知數(shù)？

一學(xué)生示意他的年齡是11歲，教師在已知數(shù)下面板書：11。

師：現(xiàn)在，如果我告訴大家，我的年齡和他的年齡之間的某種關(guān)系，你能不能知道我的年齡？

生：（很肯定地）能！

師：（神秘地）偷偷告訴大家，如果把我的年齡減去20歲，還要比他大，誰(shuí)知道，我今年多大？

生：不能確定。

師：看來(lái)，根據(jù)這一年齡關(guān)系，還沒(méi)法確定我的年齡，這樣吧，我再換一條試試：如果我的年齡減去30歲，就要比他小了。

生：還是沒(méi)法確定。

師：奇怪了，給你這樣的關(guān)系不行，那樣的關(guān)系也不行。那你們到底要知道怎樣的關(guān)系？

生：不能大也不能小，要正好相等。

師：好厲害的想法！那行，如果現(xiàn)在我告訴你們，把我的年齡減去25歲，正好和他的年齡相等。

生：36歲！

師：奇怪，三句話，同樣都告訴了“我的年齡”和“他的年齡”之間的關(guān)系，為什么前兩回都不行，而這回卻又行了呢？

生：因?yàn)榍皟苫刂徽f(shuō)了你的年齡減掉幾歲后，要么比他多，要么比他少，所以我們無(wú)法確定。但這一次直接告訴相差25歲。

師：說(shuō)得真好！不過(guò)，數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果用數(shù)學(xué)的方式來(lái)觀察和思考，或許會(huì)顯得更清楚、更簡(jiǎn)潔。張老師建議，下面我們?cè)囍堰@三組關(guān)系，用含有字母的式子表示出來(lái)，看看大家會(huì)有什么新發(fā)現(xiàn)。

生：我發(fā)現(xiàn)，只有有了等號(hào)，我們才能知道未知數(shù)是多少。

師：可別小看這個(gè)等號(hào)哦，正因?yàn)橛辛怂?，我們才能夠在未知?shù)x和已知數(shù)11之間建立起某種等量關(guān)系，并根據(jù)等量關(guān)系找到未知數(shù)的結(jié)果。像這樣，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的等量關(guān)系式，我們就把它叫做方程。

【賞析：方程是建立未知與已知之間等量關(guān)系的模型。張老師立足于這一本質(zhì)。以猜年齡的情境，引導(dǎo)學(xué)生將已知與未知建立聯(lián)系，在經(jīng)歷兩次不等關(guān)系的“失敗”之后，已知與未知之間的等量關(guān)系呼之欲出，從而凸顯了方程的價(jià)值。這正是這一設(shè)計(jì)的獨(dú)特之處，特別注重方程的價(jià)值，也就是在解決問(wèn)題的過(guò)程中建立等量關(guān)系，理解方程的意義，而不是為了方程而方程，方程的意義與解決問(wèn)題相分離，使方程的意義退化成一堆堆無(wú)用的符號(hào)碎片，造成對(duì)方程的認(rèn)識(shí)僵化。只有運(yùn)用知識(shí)，才能體現(xiàn)其價(jià)值，才能讓其生動(dòng)活潑起來(lái)。

學(xué)生在初步學(xué)習(xí)方程時(shí)，面臨最大的問(wèn)題是：長(zhǎng)期的算術(shù)思維困擾，總是將思維聚焦于如何去求得未知量，習(xí)慣于從問(wèn)題出發(fā)或條件出發(fā)進(jìn)行推理求解，而不是主要著眼于相應(yīng)的等量關(guān)系。張老師將方程的認(rèn)識(shí)立足于等量關(guān)系，突出等量關(guān)系在認(rèn)識(shí)方程中的地位，方程沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何運(yùn)算，只是闡述一個(gè)事實(shí)本身，一個(gè)沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何加工的事實(shí)本身?！?/p>

片斷二：豐富意義，深入認(rèn)識(shí)

出示蘋果、西紅柿、西瓜、梨、草莓。

師：它們的質(zhì)量都是未知數(shù)，有什么東西能使它們變成已知數(shù)嗎？

生：天平。

師：有了天平與砝碼就一定能知道它們的質(zhì)量嗎？出示下圖。

師：觀察，哪些水果的質(zhì)量已知，哪些未知？把你的想法在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)。

（學(xué)生交流）

師：2號(hào)也有天平與砝碼，為什么西瓜的質(zhì)量我們沒(méi)法知道？

生：因?yàn)樘炱經(jīng)]有平衡。

師：能不能說(shuō)得專業(yè)一點(diǎn)？

生：因?yàn)?號(hào)天平中，未知數(shù)和已知數(shù)之間沒(méi)有建立起等量關(guān)系。

師：可3號(hào)建立了等量關(guān)系??？

生：雖然建立了等量關(guān)系，但兩種水果的質(zhì)量都是未知數(shù)，沒(méi)有已知數(shù)。

生：這里的未知數(shù)沒(méi)有和已知數(shù)建立等量關(guān)系。

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，相信大家對(duì)方程已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)。這些式子中，有方程嗎？

根據(jù)學(xué)生的回答整理出板書：

【賞析：這一環(huán)節(jié)的重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握方程的形式化定義。定義在概念學(xué)習(xí)中是十分有用的，能夠減少學(xué)生通過(guò)正反例辨別概念相關(guān)屬性所付出的努力。重視方程的價(jià)值，并不是說(shuō)方程的形式化定義不重要，而是這種定義要讓學(xué)生感受到其價(jià)值，學(xué)生才有學(xué)習(xí)的意愿。承接第一環(huán)節(jié)對(duì)方程有了初步認(rèn)識(shí)之后，這里利用天平，再一次豐富學(xué)生對(duì)方程的認(rèn)識(shí)，因?yàn)樘炱绞堑攘筷P(guān)系最直觀形象的表達(dá)，直觀地表示出方程的實(shí)質(zhì)是建立已知與未知之間的等量關(guān)系。由于有了天平作為由直觀情境向抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)之間的一個(gè)過(guò)渡，利用純式子進(jìn)行辨析方程的形式化定義就不那么突兀，學(xué)生易于接受。烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的?！痹谝淮未蔚谋容^辨析中，自然剝離了方程的非本質(zhì)屬性，逼近了方程的本質(zhì)，方程的概念呼之欲出。設(shè)計(jì)的練習(xí)采用正反例強(qiáng)化策略，緊緊圍繞方程意義中的要素——未知量和等式，科學(xué)合理。最后兩個(gè)變式設(shè)計(jì)新穎，在對(duì)第7題的判斷中，強(qiáng)化了未知量，第8題則強(qiáng)化了等式?！?/p>

片斷三：體會(huì)模型思想

學(xué)生分別列出4x=320。

師：觀察三道題，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：列出的方程都一樣。

師：奇怪，三個(gè)問(wèn)題各不相同，怎么列出的方程是一樣的？

生：因?yàn)樗鼈冋f(shuō)的都是同一件事。

師：既然這樣，那你還能再找到一個(gè)問(wèn)題，也能列出這樣的方程嗎？

（學(xué)生交流，匯報(bào)）

師：這樣的問(wèn)題，能找到多少個(gè)？

生：無(wú)數(shù)個(gè)。

師：那這無(wú)數(shù)個(gè)問(wèn)題，為什么只需要一個(gè)方程就能表示出來(lái)？

生：因?yàn)樗鼈兊臄?shù)量關(guān)系是一樣的。

師：是啊，只要它們具有同樣的數(shù)量關(guān)系，無(wú)論多少個(gè)問(wèn)題，一個(gè)方程就能概括。這就是方程的魅力所在。

【賞析：方程即模型，方程背后是建模思想。在這一環(huán)節(jié)，張老師精心設(shè)計(jì)了三個(gè)不同的情境，抽象出同一個(gè)方程。在為什么的反思中，學(xué)生剝離了具體的情境，意識(shí)到“說(shuō)的是同一件事”，實(shí)質(zhì)就是讓學(xué)生“去情境化”的過(guò)程，學(xué)生意識(shí)到這是一個(gè)模型。走出情境，是為了讓學(xué)生建立模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過(guò)程。讓學(xué)生再找列出同樣方程的問(wèn)題是又進(jìn)入情境，是為了加深對(duì)模型的認(rèn)識(shí)，也是數(shù)學(xué)化的過(guò)程。在數(shù)學(xué)與生活之間轉(zhuǎn)化，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維，著力于思維的深刻性的培養(yǎng)】。