王立松 李 偉

一、教學(xué)前思

《封閉圖形中的植樹(shù)問(wèn)題》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)（2014版）五年級(jí)上冊(cè)新增加的內(nèi)容，它是在教學(xué)沿著一定的線段路線植樹(shù)（兩端都植和一端植一端不植）之后的封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題。對(duì)于新課改中增加的教學(xué)內(nèi)容，我們?cè)诮虒W(xué)中要理解增加背后的意圖，把握教學(xué)的整體目標(biāo)，在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)中尋找興趣點(diǎn)、提升點(diǎn)。

本單元《數(shù)學(xué)廣角》主要滲透有關(guān)植樹(shù)問(wèn)題的一些思想方法，通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中一些常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題，借助線段圖等手段讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，然后用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解決生活中的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)比較讓學(xué)生理解在封閉曲線上植樹(shù)與一端植一端不植中的植樹(shù)問(wèn)題的聯(lián)系。

與原實(shí)驗(yàn)教材相比，本次修訂后的《植樹(shù)問(wèn)題》新增了《封閉圖形中的植樹(shù)問(wèn)題》（新教材例3），將原來(lái)的“圍棋盤(pán)”（原實(shí)驗(yàn)教材例3）移至練習(xí)二十四的第14題。另外，教材在“做一做”和練習(xí)中增加了“圓形滑冰場(chǎng)安裝路燈”和“項(xiàng)鏈上的水晶”等生活實(shí)際問(wèn)題，一方面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望；另一方面幫助學(xué)生多角度、有效地體會(huì)和運(yùn)用植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和方法。

二、教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入問(wèn)題。

師：同學(xué)們喜歡玩游戲嗎？

生：（齊）喜歡。

師：你們喜歡玩“搶凳子”的游戲嗎？（喜歡）

（6人和5張凳子，每次淘汰1人，誰(shuí)最后還能坐到凳子誰(shuí)就是冠軍）

師：從這個(gè)游戲中你了解到了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：6個(gè)人搶5張凳子，就像我們前面學(xué)過(guò)的兩端都植樹(shù)的問(wèn)題。

師：它們有什么相同之處和不同之處？

生：相同之處就是6人就相當(dāng)于6棵數(shù)，5張凳子就相當(dāng)于5個(gè)間隔數(shù)；不同之處兩端都植樹(shù)是一條線段，而搶凳子是首尾相接的曲線，如果從一張凳子拿開(kāi)并拉直就是一條線段的植樹(shù)問(wèn)題。

師：說(shuō)得太好了，今天這節(jié)課我們就來(lái)研究《封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題》。（板書(shū)課題）

2.多元表征，感知模型。

（1）出示例 3：

張伯伯準(zhǔn)備在圓形池塘周圍栽樹(shù)。池塘的周長(zhǎng)是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵樹(shù)？

你從題中知道了哪些信息？

這個(gè)植樹(shù)問(wèn)題和以往的問(wèn)題有什么不同？

（一個(gè)是線段，一個(gè)是封閉圖形）

師：就是這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)用你喜歡的方法進(jìn)行研究。

（2）借助操作，探究規(guī)律。

①初步體驗(yàn)，化繁為簡(jiǎn)。

師：我們用一個(gè)圓表示120米的池塘，每隔10米栽一棵樹(shù)，大家可以用自己喜歡的圖案表示樹(shù)，每隔10米栽一棵樹(shù)，照這樣一棵一棵栽下去……是不是很麻煩？

生：很麻煩。

師：為什么覺(jué)得麻煩？

生：因?yàn)?20米里面有12個(gè)10米，畫(huà)起來(lái)比較麻煩。

師：我們可以先選取120米中一小段來(lái)研究。

②教師演示，直觀感知。

教師邊演示邊說(shuō)明。

師：我們選取120米中的40米來(lái)研究。

用一個(gè)圓表示40米，每隔10米栽一棵樹(shù)。

如圖，我們把這個(gè)圓平均分成幾份？

也就是幾個(gè)間隔數(shù)？栽了幾棵樹(shù)？

③化曲為直，再度感知。

師：如果把圓拉直成線段，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（發(fā)現(xiàn)封閉圖形和在不封閉圖形中的“一端栽一端不栽”中棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系是一樣的，都是棵數(shù)等于間隔數(shù)。）

（3）借助表格，驗(yàn)證規(guī)律。

師：不用畫(huà)圖，如果這個(gè)池塘是 10米、20米、30米、40米……又應(yīng)該栽幾棵樹(shù)呢？請(qǐng)同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)紙，填寫(xiě)表格。

（4）比較歸納，理解規(guī)律。

師：比較這兩種方法，你發(fā)現(xiàn)“封閉圖形中的植樹(shù)問(wèn)題”中的間隔數(shù)和棵數(shù)有什么關(guān)系？

生：間隔數(shù)=棵樹(shù)。

（5）及時(shí)鞏固，強(qiáng)化規(guī)律。

師：同學(xué)們明白了封閉圖形中的植樹(shù)問(wèn)題的間隔數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系，老師出幾道題考考大家：6個(gè)間隔數(shù)種了幾棵樹(shù)？10棵數(shù)有幾個(gè)間隔數(shù)？操場(chǎng)周圍栽了8棵數(shù)，每?jī)煽脴?shù)之間的距離是25米，這個(gè)操場(chǎng)的周長(zhǎng)是多少米？

3.回歸生活，實(shí)際應(yīng)用。

（1）完成“做一做”。

出示“做一做”：圓形滑冰場(chǎng)的一周全長(zhǎng)是150m。如果沿著這一圈每隔15m安裝一盞燈，一共需要裝幾盞燈？

師：用你喜歡的方法，解決這個(gè)問(wèn)題。

（2）完成“練習(xí)二十四”第12題。

出示題目：一條項(xiàng)鏈長(zhǎng)60cm，每隔5cm有一顆水晶。這條項(xiàng)鏈上共有多少顆水晶？

（3）張大爺在正方形魚(yú)塘邊上植樹(shù)，每邊等距離植樹(shù)10棵（四個(gè)角都植樹(shù)），每?jī)煽脴?shù)之間距離4米。魚(yú)塘的周長(zhǎng)是多少米？

（4）20名同學(xué)在老師畫(huà)好的圓形場(chǎng)地周圍玩“丟手絹”游戲。開(kāi)始的時(shí)候，他們每?jī)扇碎g的間隔是2米。玩了一會(huì)兒，有12名同學(xué)被淘汰，剩下的同學(xué)繼續(xù)玩，間隔應(yīng)改為多少米才公平？

（5）完成“練習(xí)二十四”第14題。

課件出示圍棋棋盤(pán)，并將最外層分別放3枚、4枚、5枚……學(xué)生畫(huà)圖填表并理解。

4.對(duì)比小結(jié)，暢談收獲。

（1）暢談收獲。

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

（2）對(duì)比小結(jié)。

師：回憶一下，“植樹(shù)問(wèn)題”有幾種類型？每種類型中棵數(shù)與間隔數(shù)之間有什么關(guān)系？

三、教后思考

學(xué)生在學(xué)習(xí)本課前已經(jīng)接觸了植樹(shù)問(wèn)題，會(huì)解決在一條線段中的植樹(shù)問(wèn)題（兩端都栽、只栽一端或兩端都不栽），了解了栽的棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系。本課主要研究封閉圖形上的植樹(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)是讓學(xué)生在頭腦中建立解決此類問(wèn)題的模型，如何讓學(xué)生建立起封閉植樹(shù)和線段植樹(shù)的聯(lián)系是教學(xué)的關(guān)鍵。因此在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，主要通過(guò)學(xué)生課前預(yù)習(xí)，課上采用生活游戲引入、演示感官探索規(guī)律等，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)態(tài)反饋學(xué)生思維，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，有效地突破教學(xué)難點(diǎn)，主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：

1.關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的方式與方法。

學(xué)生在學(xué)習(xí)了例1和例2后，對(duì)植樹(shù)問(wèn)題有了一定的經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)。在教學(xué)例3時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察發(fā)現(xiàn)與前面植樹(shù)問(wèn)題的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，再通過(guò)小組合作交流，自主探究，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)封閉圖形中植樹(shù)問(wèn)題就相當(dāng)于一端栽一端不栽的情況。

2.注重建立模型的對(duì)比與溝通。

學(xué)生學(xué)習(xí)植樹(shù)問(wèn)題的難點(diǎn)之一就是容易將兩端都栽、一端栽另一端不栽和兩端都不栽三種情況混淆。在學(xué)習(xí)完例3后，教師引導(dǎo)學(xué)生將這三種情況進(jìn)行了對(duì)比與溝通，把只有一端栽作為基本的模型，再與兩端栽或兩端都不栽的實(shí)際情況進(jìn)行比較，便于學(xué)生理解和記憶。

3.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用的意識(shí)與能力。

通過(guò)基本練習(xí)（“做一做”和練習(xí)二十四的第12題）和變式練習(xí)（求魚(yú)塘周長(zhǎng)、“丟手絹”游戲和練習(xí)二十四的第14題），培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)和能力。求魚(yú)塘的周長(zhǎng)是將封閉圖形中的圓形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形；“丟手絹”游戲則是植樹(shù)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的逆向應(yīng)用，是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解植樹(shù)問(wèn)題中的“總長(zhǎng)”、“間隔數(shù)長(zhǎng)度”、“間隔數(shù)”和“棵數(shù)”之間的聯(lián)系；而棋盤(pán)中的植樹(shù)問(wèn)題是從封閉圖形中的曲線到正方形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)填表格，讓學(xué)生認(rèn)真觀察、分析、思考，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律，即“每邊放的棋子數(shù)”、“每邊間隔數(shù)”和“最外層總數(shù)”之間的關(guān)聯(lián)。