潘小青 劉超飛 朱 云（江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西贛州 341000）

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扭擺法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及誤差討論

潘小青 劉超飛 朱 云
（江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西贛州 341000）

摘 要扭擺法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中一個(gè)重要的項(xiàng)目．現(xiàn)行物理實(shí)驗(yàn)教材中，其相對(duì)誤差分析通過對(duì)比轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值得到，這種處理方式值得商榷．本文針對(duì)這一問題，采用不確定度計(jì)算，分別討論了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值與實(shí)驗(yàn)值的不確定度公式，并比較了兩種轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果的差別，分析其產(chǎn)生的可能原因．并提出了用線性擬合作圖法驗(yàn)證平行軸定理的新思路，根據(jù)微擾理論提出了得到扭轉(zhuǎn)常數(shù)與擺幅相互關(guān)系的測(cè)量方案和減少誤差的處理途徑．最后用數(shù)值計(jì)算討論了同時(shí)考慮摩擦阻力和扭轉(zhuǎn)常數(shù)隨擺角變化對(duì)擺動(dòng)周期的影響．

關(guān)鍵詞扭擺；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；不確定度；數(shù)據(jù)處理；誤差

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表征物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量，是研究、設(shè)計(jì)、控制物體轉(zhuǎn)動(dòng)特性的重要技術(shù)參數(shù)．扭擺法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常見的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，這個(gè)實(shí)驗(yàn)涉及基本物理量——質(zhì)量、長(zhǎng)度、時(shí)間的測(cè)量，同時(shí)包含轉(zhuǎn)換測(cè)量的實(shí)驗(yàn)方法及數(shù)據(jù)處理方法，內(nèi)容頗為豐富．大部分教材在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理時(shí)都是用扭擺實(shí)驗(yàn)測(cè)量出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值與用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義計(jì)算的所謂理論值比較進(jìn)而計(jì)算相對(duì)誤差及驗(yàn)證平行軸定理［1、2］，這種數(shù)據(jù)處理方式值得討論．

1 通用實(shí)驗(yàn)教材中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

1．1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算

設(shè)K為彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)，I為物體繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，忽略各種摩擦和阻力，可推出扭擺運(yùn)動(dòng)具有角諧振動(dòng)的特性，此諧振動(dòng)的周期為

若已知K，通過測(cè)量擺動(dòng)周期T可得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I

在轉(zhuǎn)軸上裝上對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0的金屬載物圓盤，測(cè)出其擺動(dòng)周期T0，再在載物圓盤上放置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I1的塑料圓柱體（圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

進(jìn)一步可分別得到圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的所謂理論值和實(shí)驗(yàn)值如表1［3］．

表1中分別考慮球支架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量給定實(shí)驗(yàn)值I支，細(xì)桿夾具轉(zhuǎn)動(dòng)慣量給定實(shí)驗(yàn)值I夾．驗(yàn)證平行軸定理時(shí)在細(xì)桿上套入滑塊，測(cè)出組合系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，下式中I5為兩個(gè)滑塊繞通過滑塊質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可通過定義式計(jì)算：其中m為其質(zhì)量，D為其直徑），則系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（I1＋I(xiàn)0），此時(shí)擺動(dòng)周期為T1．推導(dǎo)得到彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)為

其中，m1，m2分別為兩滑塊質(zhì)量；D內(nèi)、D外分別為滑塊的內(nèi)徑和外徑；L1為滑塊的長(zhǎng)度．

表1　轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算式

1．2 誤差計(jì)算與存在問題

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析時(shí)，所有教材均采用理論值與實(shí)驗(yàn)值比較計(jì)算相對(duì)誤差，以此作為評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)結(jié)果好壞的依據(jù)，下面分析這種方法的問題所在．

首先，本實(shí)驗(yàn)中所謂的理論值實(shí)際只是按照轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義通過測(cè)量規(guī)則物體的質(zhì)量和幾何參量而計(jì)算出來的，它也是一個(gè)實(shí)驗(yàn)測(cè)量值，只是所用方法不同而已，并不足以作為公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)值．與用扭擺法測(cè)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值相比，不能主觀地判定誰優(yōu)誰劣，由此得出的所謂相對(duì)誤差并不能反映實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確度．

其次，上述數(shù)據(jù)計(jì)算和誤差處理過程從頭至尾采用單一一種計(jì)算模式，數(shù)據(jù)量大，計(jì)算過程冗長(zhǎng)，反反復(fù)復(fù)用同一公式計(jì)算，極易出錯(cuò)，學(xué)生容易產(chǎn)生厭煩心理，而對(duì)本實(shí)驗(yàn)所包含的實(shí)驗(yàn)原理、思路、方法卻茫然，不利于培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Γ?/p>

2 改進(jìn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

2．1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算

考慮到系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)常數(shù)是個(gè)中間量，不需要直接計(jì)算，而圓柱體按定義式測(cè)量出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是求解其他物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的基礎(chǔ)，將其他待測(cè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示成對(duì)應(yīng)擺動(dòng)周期和圓柱質(zhì)量、直徑的函數(shù)，無需中間計(jì)算環(huán)節(jié)，所得公式如下：

2．2 作圖法驗(yàn)證平行軸定理

由平行軸定理，滑塊對(duì)稱置于細(xì)桿上距離轉(zhuǎn)軸

另外由公式（2）知系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與擺動(dòng)周期

由式（4）可知只要在坐標(biāo)紙上作T2－x2圖，對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，則可驗(yàn)證平行軸定理．

2．3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量的準(zhǔn)確度主要由擺動(dòng)周期、圓柱體質(zhì)量和直徑3個(gè)量決定，結(jié)果的不確定度可推導(dǎo)出來［4，5］，對(duì)載物盤、球體、細(xì)桿系統(tǒng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量的不確定度為T的平方成正比，因而有

對(duì)圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量的不確定度為

2．4 不確定度計(jì)算及作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

根據(jù)一組實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)，按照上述方式進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，結(jié)果如表2所示．

對(duì)平行軸定理的驗(yàn)證可有不同的方法［6］，現(xiàn)采用作圖法進(jìn)行數(shù)據(jù)線性擬合，得到如圖1所示線性擬合圖形，并可由圖形得到擬合公式．由圖可知T2與x2成線性關(guān)系，說明平行軸定理成立．

表2　不同物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果

圖1　T2－x2圖

3 結(jié)果討論

由計(jì)算結(jié)果可知，用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論式通過稱量質(zhì)量和直徑得到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值較由扭擺實(shí)驗(yàn)得出的值略大，理論計(jì)算法與扭擺法相比較附加效應(yīng)少?gòu)睦碚撋隙砸鼫?zhǔn)確些．通過實(shí)驗(yàn)顯示兩組數(shù)據(jù)的測(cè)量不確定度相近，并沒有哪一個(gè)更優(yōu)．因而一些教材中將理論值作為標(biāo)準(zhǔn)來計(jì)算扭擺實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的相對(duì)誤差值得商榷．采用作圖法來驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理，避免了繁雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，而且給學(xué)生練習(xí)一種數(shù)據(jù)處理的新方法，有助于開拓學(xué)生思路．

4 系統(tǒng)誤差

4．1 阻力的影響

在扭擺實(shí)驗(yàn)中，理論上假定螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)為定值，且扭力矩與轉(zhuǎn)角成正比并忽略摩擦阻力，這些理想條件對(duì)實(shí)驗(yàn)環(huán)境提出了較高要求，在學(xué)生實(shí)驗(yàn)中不可避免會(huì)造成系統(tǒng)誤差［7］，下面分別對(duì)此作分析討論．

由于摩擦阻力的影響扭擺作阻尼振動(dòng)，擺幅隨時(shí)間而減小，考慮黏性阻尼，系統(tǒng)作準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，擺動(dòng)周期為［8］可見如果考慮阻尼因素，扭擺周期比無阻尼時(shí)變長(zhǎng)，但這時(shí)各待測(cè)物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算式不變，因而結(jié)果的準(zhǔn)確度主要由待測(cè)物、載物盤與標(biāo)準(zhǔn)物的質(zhì)量有關(guān)．質(zhì)量越大，由不確定度公式可知，相對(duì)不確定度更?。?dāng)然實(shí)際操作中由于待測(cè)物大小和形狀的不同，難于保持阻尼系數(shù)在實(shí)驗(yàn)過程中不變，這也會(huì)引起附加的誤差．

4．2 扭轉(zhuǎn)常數(shù)和擺角的影響

有實(shí)驗(yàn)研究表明［9］，螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)K與擺動(dòng)幅度有關(guān)，在小于70°時(shí)變化較大，在90°～

式中β為阻尼系數(shù)．從而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為150°范圍變化較小，由此要求在實(shí)驗(yàn)中同一組數(shù)據(jù)盡量保持從同一角度開始偏轉(zhuǎn)．

在此，根據(jù)微擾理論［10］先提出一套可以測(cè)量扭轉(zhuǎn)常數(shù)K與擺動(dòng)幅度測(cè)量相互關(guān)系的測(cè)量方案．用K（θ）來表示不同擺幅下的扭轉(zhuǎn)常數(shù)．當(dāng)然，在這種情況下，測(cè)量的周期也與擺動(dòng)幅度相關(guān)，用Ti（θ）表示．則式（3）可轉(zhuǎn)變?yōu)橐韵滦问?/p>

這樣，需要選擇至少3個(gè)不同的角度，就可以很好地確定扭擺實(shí)驗(yàn)中的扭擺常數(shù)與擺角的關(guān)系了．以最簡(jiǎn)單的3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，即選擇3個(gè)角度分別測(cè)量，有

所以，可以得到

所以，只需要選擇3個(gè)不同角度，分別測(cè)量載物圓盤與加載塑料圓柱的情況，就能得到扭擺實(shí)驗(yàn)中的扭轉(zhuǎn)常數(shù)與擺角的二階關(guān)系．

在實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，為了減小誤差的出現(xiàn)，以及盡可能將實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)化，整個(gè)實(shí)驗(yàn)的擺角如果固定，這時(shí)為一常數(shù)，同時(shí)，所測(cè)量的周期為這樣，擺幅對(duì)測(cè)量的影響就完全退化到表1中的測(cè)量公式可用的情況了．

若K隨著θ變化的情況為在不同的初始條件下，且K在同一個(gè)過程中都變化，則動(dòng)力學(xué)方程如下：

為了簡(jiǎn)便，我們只考慮一階項(xiàng)K（θ）＝K0（1＋αθ），理論分析就變得較為困難，我們進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算．如圖2所示，系統(tǒng)的周期基本不隨著α變化．

綜上所述，在小阻尼和大擺角的實(shí)驗(yàn)條件下，扭擺周期受扭轉(zhuǎn)常數(shù)變化和擺角的影響較小，在基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)階段可以不用過多考慮．

圖2　扭擺周期隨著α的變化規(guī)律

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DISCUSSION ON EXPERIMENTAL DATA PROCESSING AND
E
RROR IN ROTATIONAL INERTIA MEASUREMENT BY METHOD OF TORSION PENDULUM

Pan Xiaoqing Liu Chaofei Zhu Yun
（Science School，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou，Jiangxi 341000）

AbstractThe application of torsion pendulum to measure the rotational inertia is an important project in college physics experiment．In most of current experimental instructor book，the relative error calculation is obtained by comparing the theoretical value of rotational inertia and the experimental data．This approach is questionable．In this paper，the formula of uncertainty of torsion pendulum is given to calculate the theoretical uncertainty and the experimental ones，respectively．Differences between the theorical results and experimental data are compared with the analysis of the possible reason．A new way to verify the parallel axis theorem is provided through graphing method of linear fitting．Meanwhile，a new method is promoted to obtain the relationship between the coefficient of torsional pendulum and the rotational angle amplitude based on the perturbation theory，which leads to the possibility of reduction of errors in experiments．At last，numerical calculations are given to discuss how the oscillating period is affected by the frictional resistance and the changing torsional coefficient with the pendulum angle at the same time．

Key wordstorsional pendulum；rotational inertia；uncertainty；data processing；error

作者簡(jiǎn)介：潘小青，女，教授，主要從事大學(xué)物理和物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)，研究方向?yàn)橛?jì)算物理．xqpan＠jxust．edu．cn

收稿日期：2015－08－06