李云霞

(楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 云南 楚雄 675000)

?

全平面上q-級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的Borel線

李云霞

(楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 云南 楚雄 675000)

摘要：研究由全平面上收斂的q-級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)表示的整函數(shù)F(s,ω)的值分布性質(zhì),得到了q-級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)表示的整函數(shù)幾乎必然(a.s.)每條水平直線是F(s,ω)的沒(méi)有有限例外值的q-級(jí)Borel線.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù); q-級(jí); Borel線

1預(yù)備知識(shí)與主要結(jié)果

Dirichlet級(jí)數(shù)表示的整函數(shù)的增長(zhǎng)性和值分布是復(fù)分析的重要研究方向之一,是由S. Mandelbrojt[1]及G. Valiron[2]首先研究的.相關(guān)的研究被推廣到更一般的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的情形,文獻(xiàn)[3-5]在這方面做了重要工作.對(duì)于隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)表示的整函數(shù),在文獻(xiàn)[1-5]中介紹了一些關(guān)于整函數(shù)的系數(shù)、級(jí)及值分布的有趣結(jié)果,文獻(xiàn)[6-8]中分別討論了隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)表示的整函數(shù)的無(wú)窮級(jí)和零級(jí)的Borel線.本文在文獻(xiàn)[9-17]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善他們的結(jié)果,討論對(duì)于獨(dú)立、非同分布的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)表示的整函數(shù)F(s,ω)的值分布問(wèn)題,獲得了幾乎必然(a.s.)每條水平直線是F(s,ω)的沒(méi)有有限例外值的q-級(jí)Borel線,推廣了文獻(xiàn)[6-8]中隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)表示的整函數(shù)的值分布的結(jié)果.

考慮輔助Dirichlet級(jí)數(shù)

(1)

其中,{an}?C,0<λn↑∞,s=σ+it(σ,t為實(shí)變量).另外,設(shè)級(jí)數(shù)(1)滿足

(2)

由條件(2)和Valiron公式[2],Dirichlet級(jí)數(shù)(1)的一致收斂橫坐標(biāo)為-∞,則F(s)定義了一個(gè)全平面收斂的整函數(shù).

令

表示F(s)的最大模.另記exp[0]x=ln[0]x=x;當(dāng)k>1,

ln[k]x=ln(ln[k-1]x).

Dirichlet級(jí)數(shù)q-級(jí)ρ的定義為

(3)

其中,q=2,3,4,….

設(shè)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)

(4)

令

表示F(s,ω)的最大模,其中{Xn(ω)}是概率空間(Ω,A,P)中獨(dú)立、一致非退化隨機(jī)變量序列,且不一定是同分布的序列,且滿足下列條件:E{Xn(ω)}=0,

(5)

(6)

其中,d>0是常數(shù).記σn為E|Xn|2,因此條件(5)和下面的條件等價(jià)

(7)

本文涉及到的值分布的記號(hào)均與文獻(xiàn)[5,12]相同.

引理 1[8]設(shè)隨機(jī)變量{Xn(ω)}是非退化,系統(tǒng)和非獨(dú)立的復(fù)隨機(jī)變量,滿足條件(6)及(7)式,那么:

(i) 對(duì)任何Ω∈ω,a.s.,存在N(ω)∈N,

(ii) 對(duì){Xn}的任何子列{Xnk},

其中,d和σnk滿足條件(6);

(iii) 存在β∈(0,1)使得

引理 2[9]設(shè)Dirichlet級(jí)數(shù)(1)是滿足條件(2)的整函數(shù),其中ρ由(3)式定義,則有

(8)

其中q=2,3,….

定理 1設(shè)由(4)式定義的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)

滿足引理1的條件及

那么F(s,ω)a.s.是ρ級(jí)整函數(shù),且a.s.每條水平直線{s:Ims=t0(t0∈R)}是F(s,ω)的沒(méi)有有限例外值的q-級(jí)Borel線,即?t0∈R,a∈C,η>0有

(9)

其中

為了證明定理,需要給出一些引理.

引理 3[5]設(shè){Xn(ω)}是概率空間(Ω,A,P)中的復(fù)隨機(jī)變量列,它們的數(shù)學(xué)期望E(Xn(ω))=0,且方差

(10)

則對(duì)任意H∈Λ,P(H)>0,存在正數(shù)B=B(d,H),K=K(H,{Xn})∈N,使得對(duì)任何復(fù)數(shù)列{bn}∈C,及任何自然數(shù)p與q,p>q≥K恒有

(11)

引理 4設(shè)由(4)式定義的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)

滿足引理3的條件及

則?t∈R有

證明由(3)式知隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的級(jí)為

令

故有m0和n0使P(H′)>0,其中

記

(12)

由引理3,存在自然數(shù)N=N(H′,{Xn}),正數(shù)B=B(d,H′)使得

由(12)式

所以

其中C為一正常數(shù).

因此對(duì)任意n有

于是

令

則有

于是

與條件(ii)矛盾.故引理4得證.

系在引理4的條件下,?E∈λ,P(E)=1,?ω∈E,及任何實(shí)數(shù)β<γ有

仿照引理4可以證明.

為了討論由(4)式所表示的隨機(jī)整函數(shù)F(s,w)的值分布問(wèn)題,需要將帶形上的解析函數(shù)轉(zhuǎn)化為單位圓盤上的解析函數(shù).

引理 5[5]設(shè){Xn(ω)}是滿足引理1的隨機(jī)變量,設(shè)它及函數(shù)列

定義{z:|argz-θ|

eiθa.s.是gω(z)的一個(gè)ρ(ρ>1)級(jí)Borel點(diǎn),那么eiθa.s.是gω(z)的沒(méi)有有窮例外值的Borel點(diǎn).

由引理4的系知,?E∈A,P(E)=1,對(duì)?ω∈E,t0∈R,η>0有

(13)

考慮單射

和

(14)

記其逆映射為s=φ1(z)和z=φ2(W),

令

那么

(15)

和

(16)

引理 7[5]設(shè)函數(shù)f(z)、f1(z)、f2(z)在單位圓內(nèi)亞純、兩兩互異,并且

那么對(duì)于任意給定的常數(shù)m>0,

其中,A是絕對(duì)常數(shù),B是賴于函數(shù)f(z)、f1(z)、f2(z)的常數(shù).

在引理4的條件下,由映射(14)把級(jí)數(shù)

變成D(1)上隨機(jī)級(jí)數(shù)

(17)

引理 8關(guān)于在D(1)內(nèi)的級(jí)數(shù)ψ(W,ω)有

(18)

表明ψ級(jí)為ρa(bǔ).s.,并且對(duì)所有a∈C有

(19)

從而

其中

R0是(0,1)中一個(gè)固定的數(shù).引理8根據(jù)文獻(xiàn)[10]的引理4可以證明.

2定理1的證明

證明(i) 首先證明F(s,ω)a.s.是整函數(shù),根據(jù)引理1的(i)及(ii)容易證得.

(ii) 其次證明(9)式成立.由引理4及系,得(13)式成立.又由

結(jié)合(15)及(16)式有

故(18)式成立,即

由Navalinna第二定律

對(duì)任何a∈C(至多有一個(gè)例外)成立.由引理8知

那么

(20)

是D(1))上q-級(jí)為ρ的解析函數(shù).

(21)

其中

令E∞={c:c∈C∞},記

記(c,B,μn)為Xn(ω)產(chǎn)生的概率空間,令

由引理1得

故P(S)=0,這就證明了對(duì)所有的a∈C,(19)式成立.又

其中

因此由上式及引理8可得(9)式成立.

致謝楚雄師范學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目(2012)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

參考文獻(xiàn)

[1] MANDELBROJT S. Series Adherentes Regularisation des Suites Application[M]. Paris:Gauthier-Villars,1952.

[2] VALIRON G. Entire function and Borel’s directions[J]. Proc Nat Acad Sci,1934,20:211-215.

[3] PALEY R E A C, ZYGMUND A. On some series of functions[J]. Proc Cambridge Phil Soc,1930,26:337-357.

[4] LITTLEWOOD J E, OFFORD A C. On the distribution of zeros and a values of a random integral function[J]. Ann Math,1948,49:885-952.

[5] 余家榮,丁曉慶,田范基. Dirichlet級(jí)數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布[M]. 武漢:武漢大學(xué)出版社,2004:134-146.

[6] YU J R. Julia lines of random Dirichlet series[J]. Bull Sci Math,2004,128:341-353.

[7] YU J R. Borel lines of random Dirichlet series[J]. Acta Math Scientia,2002,B22:1-8.

[8] JIN Q Y, SUN D Ch. Julia lines of general randaom dirichlet[J]. Czechoslovak Math J,2012,137(62):919-936.

[9] 孔蔭瑩. Dirichlet-Hadamard乘積的q-級(jí)和q-型[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2009,52(6):1165-1172.

[10] KONG Y Y. Borel radius andT-radius of the Algebroidal function in the unit disk[J]. Acta Math Sinica,2012,B32(5):1805-1812.

[11] KONG Y Y, GAN H l. On orders and types of Dirichlet series of slow growth[J]. Turk J Math,2010,34:1-11.

[12] 楊樂(lè). 值分布理論及其新研究[M]. 北京:科學(xué)出版社,1982:7-31.

[13] 鄭建華. 亞純函數(shù)值分布理論[M]. 北京:清華大學(xué)出版社,2011:163-180.

[14] 孔蔭瑩,霍穎瑩. 慢增長(zhǎng)的隨機(jī)Dirichlet 級(jí)數(shù)[J]. 數(shù)學(xué)年刊,2012,A33(3):323-328.

[15] HUO Y Y, KONG Y Y. On filling discs in the strong Borel direction of algebroid function with finite order[J]. Bull Korean Math Soc,2010,47(6):1213-1224.

[16] 金其余,孫道椿. 全平面上的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2009,A29(4):1044-1050.

[17] 張洪申,孫道椿. 右半平面上Laplace-Stieltjes變換的Picard點(diǎn)[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,36(2):226-228.

[18] 譚洋. 全平面內(nèi)隨機(jī) Dirichlet 級(jí)數(shù)的幾個(gè)定理[J]. 純碎數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2014,30(15):512-519.

[19] 張毅,熊維玲. 關(guān)于f- [f′]的值分布[J]. 西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,34(6):1-5.

2010 MSC：30B50

(編輯李德華)

Borel Lines of the Random Dirichlet Series ofq-order on the Whole Plane

LI Yunxia

(SchoolofMathematicsandStatistics,ChuxiongNormalCollege,Chuxiong67500,Yunnan)

Abstract：In this paper, the value distribution of the random entire function F(s,ω) defined by some random Dirichlet series of q-order on the whole plane is obtained. It is proved that, for some random Dirichlet series of q-order, almost surely every horizontal line is a Borel line of q-order without finite exceptional values.

Key words：random Dirichlet series; q-order; Borel line

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.017

中圖分類號(hào)：O174.52

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-8395(2016)01-0098-05

作者簡(jiǎn)介：李云霞(1970—),女,教授,主要從事復(fù)分析的研究,E-mail:cxliyunx@126.com

基金項(xiàng)目：云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究面上項(xiàng)目(2007A229M)

收稿日期:2014-09-07