王　斌,胡遼林,曹京京,薛瑞洋,劉光飛

(西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院,陜西西安 710048)

?

基于小波域稀疏最優(yōu)的圖像修復(fù)方法

王斌,胡遼林,曹京京,薛瑞洋,劉光飛

(西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院,陜西西安 710048)

摘要：由模糊和噪聲引起的圖像退化屬于非線性病態(tài)逆問題,修復(fù)比較困難.由于小波的稀疏表示能力較強(qiáng),為提高修復(fù)質(zhì)量,提出利用正交小波作為稀疏基,以小波系數(shù)的稀疏性為先驗(yàn)構(gòu)造凸函數(shù),最小化后得到修復(fù)圖像;并提出將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為逼近算子形式,利用不動(dòng)點(diǎn)理論求解;證明了只需對(duì)構(gòu)造出來的迭代形式的解析解反復(fù)迭代就可以得到最優(yōu)解.對(duì)方法的構(gòu)造過程、收斂性和復(fù)雜度進(jìn)行了細(xì)致的分析,給出了迭代解,并結(jié)合加速方法提高了算法速度.仿真表明,本文方法具有較強(qiáng)的修復(fù)能力,收斂速度較快,能夠有效去除模糊和噪聲,保留圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息.

關(guān)鍵詞:模糊;小波;稀疏性;凸函數(shù);加速

1引言

圖像在拍攝、傳輸和儲(chǔ)存中會(huì)降低質(zhì)量,圖像修復(fù)很重要.圖像降質(zhì)的主要原因有模糊、噪聲、像素丟失、有損壓縮等.造成模糊的主要原因包括相機(jī)振動(dòng)(運(yùn)動(dòng)模糊)、對(duì)焦不準(zhǔn)(高斯模糊)、目標(biāo)高速運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)模糊)、大氣湍流(湍流模糊)、人為因素(均值模糊).目前,去模糊方法多種多樣,大致可以分為四大類:空域方法、概率類方法、變換域方法、空域與變換域相結(jié)合方法.

空域方法中常用的是三維塊匹配(BM3D,Block Matching 3D),首先把圖像分塊,利用塊之間的相似性,把結(jié)構(gòu)相似的塊組合起來形成三維數(shù)組,再用聯(lián)合濾波的方法處理三維數(shù)組,最后通過逆變換,把結(jié)果返回到原圖像中,得到修復(fù)圖像.該方法峰值信噪比較高,視覺效果也很好,但是,用三維模型處理二維問題,且中間含有圖像分塊、相似性檢測(cè)、聯(lián)合濾波等高復(fù)雜度運(yùn)算,因此總體復(fù)雜度很高,計(jì)算較慢.

概率類方法以貝葉斯推斷和最大后驗(yàn)概率(MAP,Maximum A Posterior)為基礎(chǔ),通過確立退化圖像和原始圖像的概率分布來恢復(fù)圖像,對(duì)退化過程的知識(shí)要求少,魯棒性強(qiáng).但是由于MAP需要較強(qiáng)的先驗(yàn)概率信息作為推斷基礎(chǔ),因此其適用范圍有限;貝葉斯推斷要假設(shè)圖像服從高斯分布,往往導(dǎo)致修復(fù)結(jié)果過于平滑,無法保持邊緣信息.此類方法中較有代表性的是Richardson-Lucy(RL)方法、最小均方差法(MMSE,Minimum Mean Square Error)、變分貝葉斯法,前兩種方法本質(zhì)上是等價(jià)的.

常用的變換域方法包括:小波與超小波域、訓(xùn)練字典域等.小波與超小波域方法以變換域系數(shù)的分布特點(diǎn)為先驗(yàn),對(duì)系數(shù)進(jìn)行操作[1,2],此類方法具有強(qiáng)大的多分辨特點(diǎn),但系數(shù)操作很復(fù)雜且存在“振鈴”現(xiàn)象,需要引入消除“振鈴”的輔助措施.字典學(xué)習(xí)是預(yù)先學(xué)習(xí)一個(gè)具有強(qiáng)稀疏表示能力的字典,尋找待修復(fù)圖像在字典域的最稀疏表示,從而去除模糊[3],其優(yōu)點(diǎn)在于學(xué)習(xí)得到的字典能夠克服小波的一些痼疾,缺點(diǎn)是準(zhǔn)備工作比較難,且目標(biāo)函數(shù)通常為非凸函數(shù),只有局部解,沒有全局解,對(duì)參數(shù)和初始條件的依賴較強(qiáng);此外,由于此類方法利用圖像分塊的思想確立像素點(diǎn)與其臨近點(diǎn)的信息關(guān)聯(lián),當(dāng)圖像塊重新拼接成完整圖像時(shí)存在信息不連貫、重疊等問題.

空域與變換域相結(jié)合方法的基本思路是尋找圖像在空域或變換域的先驗(yàn)信息,利用Tikhonov正則化方法建立能量泛函模型,然后利用優(yōu)化方法求解模型,得到修復(fù)后的圖像.常用的空域先驗(yàn)為全變差域的稀疏性,常用的變換域先驗(yàn)為圖像在變換域的稀疏性.空域先驗(yàn)常用的模型包括TV-l2模型[4],TV-l0模型[5],TV-mix norm模型[6],此類方法最大的優(yōu)點(diǎn)是可以有效保留邊緣細(xì)節(jié)信息.但是,由于模糊核與全變差范數(shù)很難分離,需引入特殊的分裂方法,如分裂-Bregman方法[7,8]、對(duì)偶范數(shù)分裂法[4]及Fermat’s rule分裂法[9],而且此類方法還會(huì)導(dǎo)致過度光滑.變換域先驗(yàn)常用的模型包括小波稀疏模型[10～12],Contourlet模型,Curvelet模型.文獻(xiàn)[12]提出分裂增廣拉格朗日收縮法求解小波稀疏模型,可以推廣到全變差模型.

針對(duì)各種方法存在的問題,本文提出了利用正交小波作為稀疏基,以小波系數(shù)的稀疏性作為先驗(yàn)約束項(xiàng),噪聲圖像和當(dāng)前值的差的l2范數(shù)作為保真項(xiàng),構(gòu)造凸函數(shù),最小化此凸函數(shù)就得到修復(fù)后的圖像;并將凸函數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為逼近算子形式,利用不動(dòng)點(diǎn)理論來求解;對(duì)方法的構(gòu)造過程、收斂性和復(fù)雜度進(jìn)行了細(xì)致的分析,給出了迭代解,并結(jié)合加速方法提高了算法速度[23].相比于其他方法,本文方法的突出優(yōu)點(diǎn)是:迭代流程清晰簡(jiǎn)單,對(duì)參數(shù)的依賴性小,容錯(cuò)性強(qiáng),收斂速度快.仿真表明,本文方法具有較強(qiáng)的修復(fù)能力,收斂速度較快,能夠保留圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息.此外,還比較了小波基和離散余弦變換(DCT)基的優(yōu)劣,并比較了其他方法.小波稀疏模型發(fā)源于稀疏表示,本文是對(duì)小波稀疏模型的深化和發(fā)展.由于小波對(duì)二維圖像的稀疏表示能力有限,修復(fù)質(zhì)量不是理論上的最優(yōu),下一步將結(jié)合更強(qiáng)的稀疏表示工具,構(gòu)造效果更好的方法.

2圖像修復(fù)模型及求解

2.1修復(fù)模型

圖像降質(zhì)模型可表述為

d*x+w=b

(1)

x為n×n的無噪聲圖像,d為模糊核,w和b為噪聲和退化圖像,*表示卷積.每種模糊核都對(duì)應(yīng)一個(gè)Toeplitz矩陣,式(1)可表示為

Dx+w=b

(2)

D為d對(duì)應(yīng)的Toeplitz矩陣.但Toeplitz矩陣太大,難以直接處理,故選擇文獻(xiàn)[24]中的方法構(gòu)造與圖像大小相同的模糊矩陣D.

正常圖像經(jīng)小波變換后,非零系數(shù)較少,而受到模糊和噪聲干擾的圖像則不是這樣.通過約束小波域的稀疏性,可得到清晰圖像,即求解l0范數(shù)最小化問題,但無法直接求解.文獻(xiàn)[13]中,Donoho證明了在字典冗余度較低的情況下,l0與l1范數(shù)最小化問題是等價(jià)的.本文采用正交小波作為字典,符合以上條件.所以圖像修復(fù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(3)

W()表示正交小波變換,WT( )表示反變換,F(x)為目標(biāo)函數(shù).上式的解x*為

(4)

設(shè)xw是x對(duì)應(yīng)的小波系數(shù),則問題(3)歸結(jié)為

(5)

易知式(3)和(5)兩種形式是等價(jià)的,第一項(xiàng)都是保真項(xiàng),第二項(xiàng)為約束項(xiàng),l1范數(shù)用于約束小波域的稀疏度.λ為正則化常數(shù),表示‖W(x)‖1或‖xw‖1所占權(quán)重,多采用人工調(diào)試的辦法選取λ,第一項(xiàng)都為可微凸函數(shù),第二項(xiàng)都為不可微凸函數(shù),無法直接求解.下面只針對(duì)式(5)求解.

2.2問題轉(zhuǎn)化

(6)

(7)

利用函數(shù)微分的性質(zhì),可推導(dǎo)出凸函數(shù)顯然還滿足

f(y)+〈▽f(y),x-y〉≤f(x)≤f(y)+〈▽f(y),

(8)

(9)

(10)

+‖xw‖1

(11)

定義逼近算子為

(12)

令P(xw)=xw-2(Lf)-1W(DT(DWT(xw)-b)),顯然式(11)可寫為

proxλ(Lf)-1‖xw‖1(P(xw))

(13)

將式(13)寫成迭代形式即

(14)

其中xw,k表示第xw經(jīng)第k次迭代得到的值.

2.3問題求解

正常的下半連續(xù)凸函數(shù)的次微分為對(duì)任意x,y∈domf都滿足

f(x)-f(y)-〈p,x-y〉≥0

(15)

0∈?(f(y)+g(y))∈▽f(y)+?g(y)

(16)

引理1穩(wěn)定非擴(kuò)張映射proxλ(Lf)-1‖xw‖1(P(xw))的不動(dòng)點(diǎn)也是令F(xw)取最小值的x值.

(17)

兩邊同乘ω變?yōu)?/p>

(18)

移項(xiàng)可得

(19)

由于proxωg(·)=(I+ω?g)-1(·)[14],則式(19)等價(jià)于

(20)

剩下的問題就是如何求解xw,k=proxλ(Lf)-1‖xw‖1(P(xw,k-1)).事實(shí)上利用shrinkage-operator[15]可得

(21)

3算法流程及復(fù)雜度分析

3.1算法流程

標(biāo)準(zhǔn)逼近迭代算法流程如算法1所示.

3.2加速

算法1雖然可以解決圖像修復(fù)問題,但是收斂速度較慢,處理較大尺寸的圖像時(shí)比較困難.因此有必要采用加速策略,以提高收斂速度.本文主要應(yīng)用文獻(xiàn)[15]中的加速方法,如算法2所示.該方法擁有O(1/k2)的總體收斂速度,接近一階算法的收斂速度極限,而且該方法魯棒性強(qiáng),迭代過程較簡(jiǎn)單.

3.3復(fù)雜度分析

算法1包括三大部分:初始化,迭代計(jì)算xw,m共k次,第k+1步做小波逆變換.對(duì)于式(21),根據(jù)文獻(xiàn)[15],其時(shí)間復(fù)雜度一般認(rèn)為是O(1/(k+1)),而本算法中的shrinkage-operator包含大量?jī)?nèi)部運(yùn)算,主要是小波變換、逆變換各一次和兩次矩陣相乘.設(shè)每次小波變換時(shí)間復(fù)雜度為O(n2),矩陣相乘的時(shí)間復(fù)雜度為O(n3),則本算法總時(shí)間復(fù)雜度為O(2n2(n+1)/(k+1)).算法2的收斂速度為O(1/(k+1)2).由于算法2的每次迭代也包含小波變換、逆變換各一次和兩次矩陣相乘,故其總時(shí)間復(fù)雜度為O(2n2(n+1)/(k+1)2).

4仿真及分析

仿真采用256×256標(biāo)準(zhǔn)PGM格式的cameraman圖像,稀疏基采用2維正交小波變換(Daubechie小波和Symlet小波),采用算法2.假設(shè)圖像先被模糊干擾,后被噪聲干擾.實(shí)際上,若圖像先被噪聲干擾,后被模糊干擾,也不會(huì)影響結(jié)論,因?yàn)榇蠖鄶?shù)模糊核,都對(duì)圖像有平滑作用.若圖像先被噪聲干擾,然后被模糊干擾,那么模糊會(huì)減輕噪聲的干擾,所以處理前一種情況的難度更大一些.首先,添加方差為0.001的弱高斯噪聲和掩膜為5×5、標(biāo)準(zhǔn)差Sigma=4的高斯模糊,如圖1所示.小波基為Haar小波,分解層數(shù)為2層,經(jīng)過100次迭代,峰值信噪比(PSNR)為32.47dB,從圖1(d)可以看出,人臉、相機(jī)、手套等細(xì)節(jié)恢復(fù)得很好,基本沒有模糊殘留.若噪聲方差增加到0.1,則修復(fù)圖像的PSNR為29.97dB.

然后,添加方差為0.001的弱高斯噪聲和掩膜為9×9、標(biāo)準(zhǔn)差Sigma=4的強(qiáng)高斯模糊,如圖2所示.顯然,隨著模糊的增強(qiáng),修復(fù)的質(zhì)量有所下降,PSNR為27.35dB.但本文算法依然能夠較好地修復(fù)圖像,并較好地保持局部細(xì)節(jié).若噪聲方差增加到0.1,其他條件不變,則修復(fù)圖像的PSNR為26.21dB.

接下來,驗(yàn)證離焦模糊.對(duì)原始圖像添加方差為0.001的高斯噪聲和掩膜為5×5、標(biāo)準(zhǔn)差Sigma=4的離焦模糊,如圖3所示,修復(fù)后圖像的PSNR為33.13dB.從圖3的(c)和(d)可以看出,無論是整體輪廓還是人臉、相機(jī)、手套等細(xì)節(jié)都恢復(fù)得很好,修復(fù)質(zhì)量較好.若噪聲方差增加到0.1,其他條件不變,則修復(fù)圖像的PSNR為30.14dB.再對(duì)原始圖像添加方差為0.001的高斯噪聲和掩膜為9×9、標(biāo)準(zhǔn)差Sigma=4的離焦模糊,如圖4所示,修復(fù)后圖像的PSNR為31.97dB,說明本文算法在去除離焦模糊時(shí)具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性.若噪聲方差增加到0.1,其他條件不變,則修復(fù)圖像的PSNR為29.88dB.由于圖像尺寸為256×256,選擇的掩膜尺寸都是奇數(shù),這是因?yàn)楦咚鼓：碗x焦模糊的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是高斯型曲線,選擇奇數(shù)尺寸比較合適.

圖5為不同掩膜尺寸下、不同類型模糊修復(fù)后的PSNR.可以看出,當(dāng)掩膜尺寸較小時(shí),四種模糊的修復(fù)效果相差無幾.隨著掩膜尺寸的增大,四種模糊中運(yùn)動(dòng)模糊的PSNR下降最平緩,修復(fù)效果最好;另外三種相差不大,高斯模糊修復(fù)效果最差.

圖6為不同稀疏基的修復(fù)效果比較,比較對(duì)象為小波和DCT.可以看出,無論是處理高斯模糊還是離焦模糊,小波都要優(yōu)于DCT,這是因?yàn)樾〔ǖ南∈枘芰?qiáng)于DCT.

本文提出的方法可以適用于高斯噪聲和模糊同時(shí)存在的情況,即便噪聲強(qiáng)度很大,也可以有效地修復(fù)圖像.之所以選取較小的噪聲方差,主要是因?yàn)槲覀兏鼈?cè)重于去模糊,因?yàn)槿ツ：碾y度更大,只要把模糊核去掉,本文方法就變成了一個(gè)去噪方法.

表1為使用不同小波基的PSNR與結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)比較,其中SSIM值越大表示效果越好,其最大值為1.統(tǒng)一添加5×5的高斯模糊.表1中Daub4和Sym4表示4層分解.一般來說,消失矩越高的小波效果越好,但事實(shí)并非如此.因?yàn)樾〔▽?duì)數(shù)據(jù)的稀疏能力,不僅與消失矩有關(guān),也與小波基的平滑性及待處理數(shù)據(jù)與小波基的相似性緊密相關(guān).例如Haar小波(即1階Daub小波),雖然平滑性欠佳,但是由結(jié)構(gòu)上的相似性,它對(duì)指紋圖像進(jìn)行稀疏表示時(shí)就強(qiáng)于其它小波.而且,消失矩越高,支撐長(zhǎng)度越大,會(huì)影響稀疏表示能力,所以表1中數(shù)據(jù)的起伏是正常的.

表1　不同小波基的PSNR(dB)/SSIM比較

由于圖像修復(fù)方法眾多,理論、速度、預(yù)設(shè)條件相差很多,選擇幾種新方法做比較,比較對(duì)象分別為GPRS-wavelet[16]、l0-abs[17]、PLMMSE[18]、ADMDU-DEB[3]、BM3D五種算法.其中,GPRS-wavelet和l0-abs屬于空域與變換域相結(jié)合的算法,是該方向比較有代表性的算法;PLMMSE屬于貝葉斯方法;ADMDU-DEB屬于字典學(xué)習(xí)類方法;BM3D屬于空域方法.這五個(gè)對(duì)比對(duì)象屬于較有代表性的算法,具有一定的說服力.表2中縱向?yàn)椴煌瑘D像,分別為標(biāo)準(zhǔn)格式的cameraman、pepper、barbara和lena,橫向?yàn)椴煌惴?統(tǒng)一添加9×9的高斯模糊后得到的PSNR/SSIM.可以看出,本文算法與ADMDU-DEB和BM3D較為接近,明顯強(qiáng)于其它三種算法.在具體指標(biāo)上,本文算法與ADMDU-DEB和BM3D互有高低,但差距很小,說明修復(fù)能力相當(dāng).但是,ADMDU-DEB和BM3D復(fù)雜度很高,ADMDU-DEB需要預(yù)先采集大量樣本圖片訓(xùn)練字典,訓(xùn)練過程較復(fù)雜,參數(shù)選取也需要相當(dāng)?shù)募记?而BM3D以三維模型來處理二維問題,算法復(fù)雜度很高.本文算法對(duì)比ADMDU-DEB的優(yōu)勢(shì)在于簡(jiǎn)易性,因?yàn)楸疚乃惴ㄖ恍枰〔ɑ纯?在計(jì)算方面,推導(dǎo)過程看似繁瑣,但迭代過程很簡(jiǎn)單,只包含基本運(yùn)算如矩陣相乘和相加,且迭代時(shí)沒有圖像分塊(ADMDU-DEB)、相似性檢測(cè)(BM3D)等高復(fù)雜度運(yùn)算,因此在簡(jiǎn)單性上優(yōu)于ADMDU-DEB和BM3D.

表2　不同算法的PSNR(dB)/SSIM比較

5結(jié)論

為解決圖像修復(fù)問題,提出了利用優(yōu)化后的正交小波作為稀疏基,以小波變換系數(shù)的稀疏性作為先驗(yàn)信息,再選擇當(dāng)前值與原始值之差的l2范數(shù)作為保真項(xiàng),從而構(gòu)造出一個(gè)凸函數(shù),最小化此凸函數(shù)可以得到修復(fù)后的圖像.此凸函數(shù)具有proximal 算子的形式,可以利用不動(dòng)點(diǎn)理論求解.對(duì)方法的構(gòu)造過程、收斂性和算法復(fù)雜度進(jìn)行了細(xì)致分析.由于算法1收斂速度不夠快,為了獲得較高的收斂速度,利用加速方法對(duì)算法進(jìn)行加速.仿真表明,此方法具有較強(qiáng)的修復(fù)能力,廣泛適用于不同的模糊模型,且收斂速度較快,能較好地保留高頻細(xì)節(jié)和輪廓,峰值信噪比(PSNR)較高.今后的工作是更深入的研究不同稀疏基的稀疏性能,包括超小波基、冗余字典基、學(xué)習(xí)得到的冗余字典基,并將其引入本文方法中.

參考文獻(xiàn)

[1]RAM I,COHEN I,ELAD M.Patch-ordering-based wavelet frame its use in inverse problem[J].IEEE Transactions on Image Processing,2014,23(7):2779-2792.

[2]ZHANG Yan,HIRAKAWA K.Blur processing using double discrete wavelet transform[A].Proceedings of the 2013 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition[C].Portland,Oregon,USA:IEEE,2013.1091-1098.

[3]LIU Qie-gen,LIANG Dong,SONG Ying,LUO Jian-hua,ZHU Yue-min,LI Wen-shu.Augmented lagrangian-based sparse representation method with dictionary updating for image deblurring[J].Siam Journal on Imaging Sciences,2013,6(3):1689-1718.

[4]BECK A,TEBOULLE M.Fast gradient-based algorithms for constrained total variation image denoising and deblurring problems[J].IEEE Transactions on Image Processing,2009,18(11):2419-2434.

[5]XU Li,ZHENG Shi-cheng,JIA Jia-ya.Unnaturall0sparse representation for natural image deblurring[A].Proceedings of the 2013 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition[C].Portland,Oregon,USA:IEEE,2013.1107-1114.

[6]LEFKIMMIATIS S,BOURQUARD A,UNSER M.Hessian-based norm regularization for image restoration with biomedical applications[J].IEEE Transactions on Image Processing,2012,21(3):983-995.

[7]王靜,呂科,何寧,王茜.基于分裂Bregman方法的全變差圖像去模糊[J].電子學(xué)報(bào),2012,40(8):1503-1508.

WANG Jing,LV Ke,HE Ning,WANG Qian.Total variation image deblurring based on split Bregman method[J].Acta Electronica Sinica,2012,40(8):1503-1508.(in Chinese)

[8]徐煥宇,孫權(quán)森,李大禹,宣麗.基于投影的稀疏表示與非局部正則化圖像復(fù)原方法[J].電子學(xué)報(bào),2013,2014,42(7):1299-1304.

XU Huan-yu,SUN Quan-sen,LI Da-yu,XUAN Li.Projection-based image restoration via sparse representation and non-local regularization[J].Acta Electronica Sinica,2014,42(7):1299-1304.(in Chinese)

[9]LI Qia,MICCHELLI C A,SHEN Li-xin,XU Yue-sheng.A proximity algorithm accelerated by Gauss-Seidel iterations for L1/TV de-noising models[J].Inverse Problem,2012,28(9):095003.

[10]FIGUEIREDO M A,NOWAK R,WRIGHT S J.Gradient projection for sparse reconstruction:Application to compressed sensing and other inverse problems[J].IEEE Journal on Selected Topics Signal Process,2007(1):586-597.

[11]BIOUCAS-DIAS J M,FIGUEIREDO M A.A new twist:two-step iterative shrinkage/thresholding algorithms for image restoration[J].IEEE Transactions on Image Processing,2007,16(12):2992-3004.

[12]AFONSO M V,BIOUCAS-DIAS J M,FIGUEIREDO M A.Fast image recovery using variable splitting and constrained optimization[J].IEEE Transactions on Image Processing,2010,19(9):2345-2356.

[13]DONOHO D.For most large underdetermined systems of linear equations the minimall1-norm solution is also the sparsest solution[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2006,59(6):797-829.

[14]MOREAU J J.Proximité et dualité dans un espace hilbertien[J].Bulletin de la Société Mathématique de France,1965,93:273-299.

[15]BECK A,TEBOULLE M.A fast iterative shrinkage-thresholding algorithm for linear inverse problems [J].SIAM Journal on Imaging Sciences,2009,2 (1):183-202.

[16]FIGUEIREDO M A,NOWAK R,WRIGHT S J.Gradient projection for sparse reconstruction:Application to compressed sensing and other inverse problems[J].IEEE Journal on Selected Topics Signal Process,2007,1(4):586-597.

[17]PORTILLA J.Image restoration through l0analysis-based sparse optimization in tight frames[A].Proceedings of the 16th IEEE International Conference on Image Processing[C].Cairo,Egypt:IEEE,2009.3909-3912.

[18]MICHAELI T,SIGALOV,ELDAR Y C.Partially linear estimation with application to sparse signal recovery from measurement pairs[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2012,60(5):2125-2137.

王斌男,1989年10月生于陜西銅川市.現(xiàn)為西安理工大學(xué)研究生.研究方向?yàn)橄∈璞硎九c壓縮感知.

E-mail:1208030272@stu.xaut.edu.cn

胡遼林男,1968年5月生于四川岳池縣.現(xiàn)為西安理工大學(xué)副教授、博士.主要從事信號(hào)處理方面的研究.

E-mail:huliaolin@163.com

Image Restoration Based on Sparse-Optimal Strategy in Wavelet Domain

WANG Bin,HU Liao-lin,CAO Jing-jing,XUE Rui-yang,LIU Guang-fei

(FacultyofMechanicalandPrecisionInstrumentEngineering,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an,Shaanxi710048,China)

Abstract:Due to the nonlinear ill-posing characteristic of image degradation caused by blur and noise,image restoration is generally difficult.To improve image quality,orthogonal wavelet was taken as sparse basis and the sparsity of wavelet coefficients as prior.By constructing a convex function and minimizing this function,we obtained the recovered image.The minimization problem was transferred into a proximal operator which is solved by the fixed point theory.We proved that the optimal solution can be obtained through repeatedly iterating an analytical formula.The construction process,convergence rate and complexity of the method were discussed,and an accelerated algorithm was presented.Simulation results indicate that our method can remove blur and noise,and keep detail information meanwhile.

Key words:blur;wavelet;sparsity;convex function;acceleration

作者簡(jiǎn)介

DOI:電子學(xué)報(bào)URL:http://www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.03.016

中圖分類號(hào):TP391.4;TP751.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：0372-2112 (2016)03-0600-07

基金項(xiàng)目:陜西省自然科學(xué)基金(No.2014JM7273)

收稿日期:2014-09-03;修回日期:2015-01-04;責(zé)任編輯:覃懷銀