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例析函數中的恒成立問題與存在性問題

江西省贛州中學(341000)李金花

談及高中數學最重要的知識內容，無疑是函數，作為高中數學的核心內容，函數與導數的綜合是高考的熱點，多以壓軸題出現，難度較大，區(qū)分度較強，可見其在高中數學中的地位極其重要！而“恒成立”或“存在性”問題始終占據著函數最難最重要的位置，這些問題中，導數都是函數研究的重要工具，而將問題的思想方法準確地分析出來，這是問題的難點.筆者作為高中一線教師，通過對各省市試題及多種教輔資料分析，總結出了幾種非常常見，數學思想極其豐富的幾大題型，給廣大師生參考.

1變量相同，函數不同的恒成立與存在性問題

(1)對任意x∈[a,b]都有f(x)

(2)存在x0∈[a,b]使得f(x0)

(3)存在x0∈[a,b]使得f(x0)=g(x0)成立

解題思路：這類問題三大題型的解題思路基本一致，函數f(x)與g(x)中的變量是一樣的，故這兩個函數是同時變化的.其解題思路是首先考慮分離其中的參數，分離成m

例1設f(x)=ax+2,g(x)=a2x2-lnx+2,a∈R.

(1)若a=2，求曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程；

(2)是否存在負數a，使f(x)≤g(x)對一切正數x都成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解：(1)易得7x-y-1=0.

(2)令h(x)=g(x)-f(x)=a2x2-lnx-ax，則原題等價于h(x)min≥0,x∈(0,+∞).

2變量不同，函數不同的恒成立與存在性問題

(1)對任意x1∈[a,b]，任意x2∈[c,d]，都有f(x1)

解題思路：這類問題顯然與第一類問題不同，其函數f(x)與g(x)中的變量是不同的，變量之間沒有關聯，故這兩個函數是各自變化的.題意要求y=f(x),x∈[a,b]中的任意一個函數值均小于y=g(x),x∈[c,d]中的任意一個函數值，故問題可轉化為f(x)max(x∈[a,b])

(1)討論函數f(x)的單調區(qū)間；

(2)若對任意x1,x2∈(0,+∞),g(x1)

(2)對任意x1∈[a,b]，均存在x2∈[c,d]，使得f(x1)

解題思路:該題型與題型二相似，題意要求y=f(x),x∈[a,b]中的任意一個函數值均小于y=g(x),x∈[c,d]中的某一個函數值，故問題可轉化為f(x)max(x∈[a,b])

例3已知函數f(x)=ax+lnx.

(1)若a=2，求曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率；

(2)討論f(x)的單調區(qū)間；

(3)設g(x)=x2-2x+2，若對任意x1∈(0,+∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)

解：(1)易得k=3.

3變量不同，函數相同的恒成立與存在性問題

(1)對任意x1∈[a,b]，均存在x2∈[c,d]，使得f(x1)=g(x2)成立

解題思路：對于這類題型，題意是要求對于y=f(x),x∈[a,b]中的任意一個函數值，都在y=g(x),x∈[c,d]的函數值中.故原題可轉化為y=f(x),x∈[a,b]的值域A?y=g(x),x∈[c,d]的值域B.

例4已知f(x)=lnx-ax(a∈R).

(1)討論f(x)的單調區(qū)間；

(2)設y=f(x),x∈(1,2)的值域為A，y=g(x),x∈(1,2)的值域為B，由題意可知，A?B.

(2)對任意x1,x2∈[a,b]，|f(x1)-f(x2)|≤ξ(ξ>0)恒成立

解題思路：對于這類題型，題意是在y=f(x),x∈[a,b]中，任取兩個函數值，這兩個值之差不超過ξ，故原題可轉化為f(x)max-f(x)min≤ξ,x∈[a,b]，只需求出y=f(x),x∈[a,b]的最大值和最小值即可解決.

(1)求f(x)的解析式；

綜上，m的取值范圍為0≤m≤1.

以上幾道例題是函數“恒成立”和“存在性”問題中的常見題型，題目融合了很多知識點和數學思想方法，分離參數構造函數和作差構造函數都是解決這類問題的通法，結合了分類討論、轉化與化歸、數形結合等思想方法，導數是解決與函數有關問題的強有力的工具.我們在教學中要選擇典型題目并進行深層次的理解或延伸，把握好解題思路，將問題的條件和結論自然融合.當然，教學中要有針對性地進行綜合訓練，高考復習才能高效，學生才能有所進步.