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2015年高考北京卷第19題的本質(zhì)探究

北京市陳經(jīng)綸中學(xué)(100020)張留杰

題目(2015年高考數(shù)學(xué)北京卷(理科)19)

(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N．問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

一、試題的分析與解答

本題從題目本身看屬于探究型問(wèn)題，并且和角度有關(guān)，立意新穎．從解決問(wèn)題的層面來(lái)看，雖然考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，但是打破了“聯(lián)立—消元—根與系數(shù)的關(guān)系等”定勢(shì)思維．突出考查了圖形中“位置關(guān)系”如何向“數(shù)量關(guān)系”的轉(zhuǎn)化，考查了橢圓的對(duì)稱性．

(2)假設(shè)存在y軸上點(diǎn)Q(0,t)，使得∠OQM=∠ONQ，如圖1．

圖1

二、試題的本質(zhì)探究

波利亞的《怎樣解題》中提出“回顧與反思”也許會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)和感受．回顧上述解題過(guò)程，發(fā)現(xiàn)|OM|·|ON|的值恰好為橢圓中的a2，是巧合還是必然？發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q滿足△QON和△MOQ相似，由于橢圓可以看做由圓壓縮變換而來(lái)，于是思考：該問(wèn)題在圓中是否有更本質(zhì)的幾何解釋呢？筆者帶著這些問(wèn)題做了如下探究．

探究1如圖2，圓O的半徑為R，PQ和CD是兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)A在圓O上，且點(diǎn)A關(guān)于直徑CD的對(duì)稱點(diǎn)為B，直線PA交直線CD于點(diǎn)M，PB交CD于N，則OM·ON=R2．

圖2 圖3

簡(jiǎn)證：依題意，易得四邊形APQB為等腰梯形，PA⊥AQ，AB⊥CD，所以 ∠QPB=∠QAB=∠AMN，即∠OPN=∠OMP，所以Rt△OPN∽R(shí)t△OMP，所以O(shè)P2=OM·ON=R2，證畢．

根據(jù)圓的對(duì)稱性及OM·ON的值，發(fā)現(xiàn)結(jié)論和點(diǎn)P在圓上的位置無(wú)關(guān)．于是得出:

探究2如圖3，圓O的半徑為R，CD為一條直徑，點(diǎn)P、A在圓O上，點(diǎn)A關(guān)于直徑CD的對(duì)稱點(diǎn)為B，直線PA交直線CD于點(diǎn)M，PB交CD于N，則OM·ON=R2．

簡(jiǎn)證：如圖3，作點(diǎn)P關(guān)于直徑CD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連PO并延長(zhǎng)交圓于H，連結(jié)BH，根據(jù)圓的對(duì)稱性，易得Q、B、M三點(diǎn)共線，且∠1=∠2．因?yàn)椤螿=∠H，∠Q+∠2=90°，∠H+∠3=90°，所以∠3=∠2，所以∠3=∠1，∠PON=∠MOP，所以△PON∽△MOP，所以得OP2=OM·ON=R2，證畢．

三、試題的一般性及推廣

根據(jù)探究2，大膽猜想在橢圓中結(jié)論|OM|·|ON|=a2也與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，于是有如下的一般性結(jié)論．

圖4

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，如果結(jié)論1中的點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，還不難得出：

圖5

由于雙曲線和橢圓都是有心圓錐曲線，能否將這些結(jié)論推廣到雙曲線呢？經(jīng)過(guò)進(jìn)一步探究得出：

圖6

(證明過(guò)程可參考結(jié)論1，這里從略)

通過(guò)探究與推廣，得出了這道高考試題背后蘊(yùn)藏的一般性結(jié)論，揭示了該問(wèn)題所體現(xiàn)的橢圓性質(zhì)的本質(zhì)，深感高考試題的內(nèi)涵豐富！