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一個無理不等式的證明

福建省長樂華僑中學(350200)黃銀珠

這是安老師[1]所提40個優(yōu)美代數不等式中的第20個,本文驗證此不等式成立.

由(2)式的對稱性,不妨設a≥b≥c,記f(a)=25∑a4-52∑a3b-52∑ab3+54∑a2b2+340∑a2bc(a∈[b,+∞)),則f′(a)=100a3-156a2b-52c3-52b3-156ca2+108ab2+108c2a+680abc+340b2c+340c2b,f″(a)=300a2-312(b+c)a+(108c2+680bc+108b2)，因為Δ=[312(b+c)]2-4×300(108c2+680bc+108b2)=-768(42b2+809bc+42c2)≤0,由一元二次函數的相關知識可得f″(a)≥0,可得f′(a)關于a在[b,+)上單調遞增,得f′(a)≥f′(b)=864b2c+448c2b-52c3≥0,從而f(a)關于a在[b,+∞)上單調遞增,f(a)≥f(b)=576b3c+448b2c2-104bc3+25c4≥0,則(2)式成立,從而(1)式成立.

參考文獻

[1]安振平.優(yōu)美的代數不等式[J].中學數學教學參考(上旬),2015,3:71-72.