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面積法與極限思想的形成*

江西師大教育學(xué)院(330022)

胡細(xì)細(xì)江西師大數(shù)信學(xué)院(330022)劉詠梅

1.引言

高中數(shù)學(xué)有關(guān)極限的教學(xué)問(wèn)題引起了廣泛的討論和研究，極限思想是基本數(shù)學(xué)思想之一，在教學(xué)中，極限的符號(hào)廣泛使用，沒(méi)有極限的語(yǔ)言會(huì)使教學(xué)顯得很不自然．[1]而從現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材來(lái)看，對(duì)于極限我們主要是利用“趨于”、“逼近”、“無(wú)限接近”等進(jìn)行直觀描述，并沒(méi)有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹唉?δ定義”．學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微積分的時(shí)候往往會(huì)產(chǎn)生一種模糊的認(rèn)識(shí)，對(duì)于涉及極限思想的問(wèn)題也不能很好的解決．從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程來(lái)看，對(duì)曲面面積的探索正是極限思想形成的重要基礎(chǔ)．如圓的面積問(wèn)題一直是古代數(shù)學(xué)家孜孜不倦探索的數(shù)學(xué)問(wèn)題，公元3世紀(jì)，中國(guó)偉大數(shù)學(xué)家劉徽采用割圓術(shù)求圓面積；公元12世紀(jì)，印度人用“印度圓”求圓面積的方法，到后來(lái)開(kāi)普勒(Kepler，J．)用無(wú)限個(gè)微小三角形求圓面積的方法．[2]借助面積關(guān)系解決問(wèn)題的面積法不僅僅是一種古老的方法，也是個(gè)年輕的方法[3]，張景中先生通過(guò)“面積法”，為幾何開(kāi)啟了新的紀(jì)元．它為學(xué)生直接觀察問(wèn)題提供了很好的素材，給學(xué)生思考問(wèn)題提供了支點(diǎn)．在教學(xué)中能否利用面積法，提升學(xué)生對(duì)極限的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)極限思想形成，從而更有效的運(yùn)用極限思想解決問(wèn)題，是一個(gè)值得探索的問(wèn)題．

2.面積法對(duì)極限思想的意義

面積法是利用研究對(duì)象“形”的關(guān)系進(jìn)行思維的方法，是利用思維對(duì)象變化過(guò)程中面積不變性將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的，是辯證思維在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的運(yùn)用．任何幾何圖形，其面積是確定的，面積法是根據(jù)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積的相關(guān)問(wèn)題，從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為有關(guān)面積之間的關(guān)系，并通過(guò)圖形面積的等積變換對(duì)所論問(wèn)題進(jìn)行求解的方法．[4]面積法是形成數(shù)形轉(zhuǎn)化、有限無(wú)限轉(zhuǎn)化、化曲為直等重要思想的基礎(chǔ)之一，這些思想為極限的形成奠定了基礎(chǔ)，因而，將極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題，回歸問(wèn)題本源，是解決問(wèn)題的重要途徑，也是學(xué)生形成極限思想的重要途徑．

2.1建立“形”與“數(shù)”的聯(lián)系

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，“形”和“數(shù)”是構(gòu)成數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派很早就提出了有關(guān)“形數(shù)”的研究，并強(qiáng)烈地提出將數(shù)看作幾何思維元素．古希臘亞歷山大時(shí)期，運(yùn)用幾何的知識(shí)處理等價(jià)的代數(shù)問(wèn)題，如用線段代替數(shù)、兩數(shù)乘積的意義看成兩邊長(zhǎng)等于兩數(shù)的矩形面積等．很多時(shí)候代數(shù)問(wèn)題的解決往往需要借助面積，如用面積的關(guān)系來(lái)處理不等式問(wèn)題．極限思想的運(yùn)用之一，也是借助極限經(jīng)歷形與數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，借助面積關(guān)系，進(jìn)行面積分解和求和，這有助于幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)形轉(zhuǎn)換的過(guò)程，有利于極限思想的形成．其聯(lián)系可表示為以下關(guān)系.

2.2建立“無(wú)窮”與“有窮”的聯(lián)系

Hilbert指出“數(shù)學(xué)是處理無(wú)窮的科學(xué)”[5]，數(shù)學(xué)中無(wú)窮的研究往往轉(zhuǎn)化為有窮的問(wèn)題進(jìn)行思考．面積法是由“有窮”向“無(wú)窮”過(guò)渡的重要方法，利用面積法對(duì)“有窮”的直觀認(rèn)識(shí)，有利于人們接受“無(wú)限”思維，這也是創(chuàng)造極限和微積分的重要依據(jù)．

從度量最簡(jiǎn)單的矩形面積，到曲邊形面積，經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程，在割補(bǔ)變換中，思維也逐漸由“有窮”向“無(wú)窮”慢慢發(fā)展．由于面積守恒，面積的大小始終是“有限”的，圖形結(jié)構(gòu)的“割補(bǔ)移動(dòng)”不會(huì)引起面積的改變，但是可以將圖形“無(wú)限”的分割，如分割成若干個(gè)正方形、矩形、三角形等圖形，因此面積也是“有窮”和“無(wú)窮”結(jié)合的有效載體．在利用面積關(guān)系進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，人們對(duì)有窮和無(wú)窮的認(rèn)識(shí)也隨之不斷加深，逐漸萌芽了極限的思想，奠定了微積分的基礎(chǔ)．

2.3建立“直”與“曲”的聯(lián)系

古希臘三大著名幾何問(wèn)題之一有化圓為方，這一問(wèn)題的探索，是提出由直到曲解決問(wèn)題的重要依據(jù)．如從等腰直角三角形—正方形—圓—橢圓(如下圖)的面積的思考，經(jīng)歷了特殊到一般的過(guò)程．可以得到一般的圓和橢圓的面積為s=kab形式，其中a為“中位線段長(zhǎng)”，b為“高”，進(jìn)而提出曲邊梯形等面積的猜想，這正是微積分計(jì)算原理的基本思想之一.基于這一基本思想，極限思維在歷史的道路上也前進(jìn)了一大步．

通過(guò)無(wú)限逼近，借助已有的面積計(jì)算，推廣到一般的封閉的曲邊圖形面積，這是極限思想的重要體現(xiàn)，不僅孕育出了微積分，其本身也是解決問(wèn)題的重要方法．有了微積分這一重要思想和工具，可以講很多問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為面積之間關(guān)系，通過(guò)微積分得以解決．

2.4解決極限類函數(shù)不等式問(wèn)題

面積法的具體運(yùn)用是將需要研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題，借助面積之間關(guān)系來(lái)解決．極限類函數(shù)不等式問(wèn)題也是高中數(shù)學(xué)重要的一類問(wèn)題，面積法是解決這類問(wèn)題的一種有效方法．這一方法是通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積之間的關(guān)系，再將面積問(wèn)題借助微積分來(lái)解決，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的．

例(2012年天津高考題)已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a>0．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若對(duì)任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；

析解：(Ⅰ)(Ⅱ)略，下面討論(Ⅲ)．

步驟一：將原問(wèn)題借助函數(shù)轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題．

根據(jù)題目中的條件構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，正確繪制相應(yīng)的圖形，并使圖形能夠較為直觀地反映相應(yīng)的數(shù)量之間的關(guān)系，揭示出數(shù)與式的內(nèi)在屬性．在此過(guò)程中直觀思維是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，是由形的問(wèn)題向數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化的前提．

步驟二：建立面積之間的關(guān)系．

借助所作的圖形仔細(xì)觀察，探究圖形內(nèi)在的本質(zhì)屬性所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行較為合理、準(zhǔn)確的猜測(cè)，衍生出新的數(shù)與式．

由函數(shù)圖形(如右)可知矩形面積和曲邊梯形面積的關(guān)系，在區(qū)間[1,n]上的n-1個(gè)小矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積．

步驟三：面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系進(jìn)行判斷．

以上通過(guò)圖形與構(gòu)造代數(shù)式及將其進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)——形的相互轉(zhuǎn)化，形成了相應(yīng)的轉(zhuǎn)化思維，并通過(guò)必要的計(jì)算，從而判斷其較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系．

解決上述問(wèn)題的基本思路是將需要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系問(wèn)題，將面積關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分問(wèn)題．這也是借助面積法解決函數(shù)不等式的基本思路．

3.結(jié)語(yǔ)

華羅庚說(shuō)過(guò): “數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)可以結(jié)合形進(jìn)行直觀的解釋，在數(shù)—形的轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，思維也在不斷的發(fā)展．面積問(wèn)題的研究是極限思想的重要基礎(chǔ)，基于極限的微積分又為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供重要的思路．

當(dāng)然，在解決問(wèn)題的過(guò)程中可綜合運(yùn)用到函數(shù)、不等式、定積分、面積等數(shù)學(xué)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、化歸、割補(bǔ)等重要思想方法．并由數(shù)的特點(diǎn)通過(guò)類比、聯(lián)想、創(chuàng)造等思維活動(dòng)，構(gòu)造出相應(yīng)的面積，并經(jīng)歷觀察、猜想、頓悟，由特殊到一般的思維探究過(guò)程，從而逐漸形成正確的極限思想．

參考文獻(xiàn)

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江西省學(xué)位與研究生教育教學(xué)改革項(xiàng)目支助，課題編號(hào)JXYJG-2012-028；江西省高等學(xué)校教學(xué)改革課題，課題編號(hào)：JXJG-14-2-25.