李軍成, 謝　煒

(1. 湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 湖南 婁底 417000; 2. 桂林理工大學(xué) 理學(xué)院, 廣西 桂林 541004)

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自動(dòng)滿足C2連續(xù)的帶參數(shù)五次Hermite插值樣條

李軍成1, 謝煒2

(1. 湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 湖南 婁底 417000; 2. 桂林理工大學(xué) 理學(xué)院, 廣西 桂林 541004)

摘要：為了克服已有的帶形狀參數(shù)的三次或四次Hermite型插值樣條不能自動(dòng)滿足C2連續(xù)這一不足,提出了一類新的五次Hermite插值樣條.該樣條除了具有帶形狀參數(shù)Hermite型插值樣條的特性外,在插值條件保持不變的情形下可自動(dòng)滿足C2連續(xù)且其形狀還可通過所帶的形狀參數(shù)進(jìn)行調(diào)控.進(jìn)一步,給出了一種確定形狀參數(shù)最優(yōu)取值的方法,該法可使得五次Hermite插值樣條曲線具有最優(yōu)插值效果.

關(guān)鍵詞：Hermite插值;五次Hermite插值樣條;C2連續(xù);形狀調(diào)控

LI Juncheng1, XIE Wei2

(1.DepartmentofMathematics,HunanUniversityofHumanities,ScienceandTechnology,Loudi417000,HunanProvince,China; 2.CollegeofScience,GuilinUniversityofTechnology,Guilin541004,GuangxiZhuangAutonomousRegion,China)

在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、幾何造型、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等實(shí)際工程技術(shù)問題中,人們往往需要對曲線曲面的形狀進(jìn)行靈活調(diào)控.因此,構(gòu)造帶形狀參數(shù)的曲線曲面逐漸成為幾何造型與計(jì)算中的一個(gè)研究熱點(diǎn).例如,帶形狀參數(shù)的Bézier曲線曲面[1-4]以及B樣條曲線曲面[5-8]等.這些帶有形狀參數(shù)的曲線曲面不但保留了原曲線曲面的性質(zhì),而且其形狀可通過所帶的形狀參數(shù)進(jìn)行靈活調(diào)控.由于三次Hermite插值樣條是工程中常見的一種插值模型,但當(dāng)插值條件固定時(shí),傳統(tǒng)三次Hermite插值樣條的形狀卻無法調(diào)控,因此也有一些學(xué)者構(gòu)造了帶形狀參數(shù)的Hermite型插值樣條.例如,帶形狀參數(shù)的有理三次三角Hermite插值樣條[9]、有理三次Hermite插值樣條[10]、四次Hermite插值樣條[11]、三次三角Hermite插值樣條[12]等.這些帶形狀參數(shù)的Hermite型插值樣條除了具有傳統(tǒng)三次Hermite插值樣條的插值性與C1連續(xù)性外,在插值條件保持不變的情況下可利用形狀參數(shù)靈活調(diào)控其形狀.

注意到,為了使插值樣條滿足C2連續(xù),上述帶形狀參數(shù)的Hermite型插值樣條[9-12]均是通過對形狀參數(shù)施加C2連續(xù)性約束條件后,再通過迭代計(jì)算所有形狀參數(shù)值.這種方法不但增大了計(jì)算量,而 且通過迭代計(jì)算得到的形狀參數(shù)值均為近似值,當(dāng)樣條的分段較多時(shí),隨著誤差的累積，靠后相鄰的樣條段的C2連續(xù)性就無法保證.為此,本文構(gòu)造了一種帶形狀參數(shù)的五次Hermite插值樣條,該樣條除了具有帶形狀參數(shù)的Hermite型插值樣條的特性外,在插值條件保持不變時(shí)還可自動(dòng)滿足C2連續(xù),同時(shí)可利用形狀參數(shù)對其形狀進(jìn)行調(diào)控.為了方便應(yīng)用,本文給出了一種確定形狀參數(shù)最優(yōu)取值的方法,以使得五次Hermite插值樣條具有最優(yōu)插值效果.

1基函數(shù)的定義及性質(zhì)

定義1對?λ,μ∈R,0≤t≤1,稱

(1)

為帶形狀參數(shù)λ與μ的五次Hermite基函數(shù).

定理1五次Hermite基函數(shù)具有如下性質(zhì)：

(i)五次Hermite基函數(shù)在端點(diǎn)處滿足：

(2)

(3)

(4)

(ii)固定t∈[0,1],αi(t)(i=0,1)關(guān)于參數(shù)λ單調(diào)遞增,βi(t)(i=0,1)關(guān)于參數(shù)μ單調(diào)遞增.

證明(i)將式(1)改寫成矩陣形式：

(5)

式中

對式(5)兩端分別求關(guān)于t的一階與二階導(dǎo)數(shù)，有

將t=0與t=1分別代入式(5)并經(jīng)簡單計(jì)算可知式(2)成立.同理可知式(3)與(4)成立.

(ii)固定t∈[0,1],經(jīng)簡單計(jì)算可得

故αi(t)(i=0,1)關(guān)于參數(shù)λ單調(diào)遞增,βi(t)(i=0,1)關(guān)于參數(shù)μ單調(diào)遞增.

注1定理1表明,五次Hermite基函數(shù)不僅與傳統(tǒng)三次Hermite基函數(shù)在端點(diǎn)處具有相同的性質(zhì),而且由于帶形狀參數(shù)λ與μ,故當(dāng)形狀參數(shù)取不同值時(shí)可得到不同形狀的五次Hermite基函數(shù)圖形,見圖1.

圖1　形狀參數(shù)取不同值時(shí)的五次Hermite基函數(shù) Fig.1　Quintic Hermite basis functions with different shape parameters

其中，短虛線對應(yīng)的形狀參數(shù)為λ=-1與β=2,實(shí)線對應(yīng)的形狀參數(shù)為λ=β=0,長虛線對應(yīng)的形狀參數(shù)為λ=2與β=-1.

2樣條曲線

2.1樣條曲線的定義與特性

由于在實(shí)際工程技術(shù)問題中經(jīng)常會遇到節(jié)點(diǎn)等距分布的情形,同時(shí)也為了使得所構(gòu)造的五次Hermite插值樣條曲線具有更好的特性,下面僅討論節(jié)點(diǎn)等距分布情形下的Hermite型插值樣條曲線.

si(x)=α0(t)yi+α1(t)yi+1+β0(t)hdi+β1(t)hdi+1

(6)

為區(qū)間[a,b]上帶形狀參數(shù)λ與μ的五次Hermite插值樣條曲線,其中αj(t)與βj(t)(j=0,1)為式(1)定義的五次Hermite基函數(shù).

定理2五次Hermite插值樣條插值于給定的數(shù)據(jù)且滿足C2連續(xù),即有

(7)

其中，i=0,1,2,…,n-1；

(8)

其中，i=0,1,2,…,n-2.

證明由式(2)、(3)與(6)，有

(9)

(10)

由式(9)與(10)可得式(7)成立,且有

(11)

又由式(4)與(7),有

(12)

由式(12)可知

s″i(xi+1)=s″i+1(xi+1),i=0,1,2,…,n-2.

(13)

由式(12)與(13)可得式(8)成立.

注2定理2表明,五次Hermite插值樣條曲線不僅繼承了傳統(tǒng)三次Hermite插值樣條曲線的插值性與連續(xù)性,而且還具有如下特性:

(1)當(dāng)數(shù)據(jù)保持不變時(shí),傳統(tǒng)三次Hermite插值樣條曲線的形狀無法靈活調(diào)控,而帶有形狀參數(shù)λ與μ后,便可通過這2個(gè)形狀參數(shù)對五次Hermite插值樣條曲線的形狀進(jìn)行調(diào)控.

(2)傳統(tǒng)三次Hermite插值樣條僅滿足C1連續(xù),而五次Hermite插值樣條不僅可自動(dòng)滿足C2連續(xù),而且還可通過修改形狀參數(shù)λ與μ的值對其形狀進(jìn)行調(diào)控.

例1給定數(shù)據(jù)點(diǎn)如表1所示.

表1　給定的插值條件

傳統(tǒng)三次Hermite插值樣條曲線及形狀參數(shù)λ與μ取不同值時(shí)五次Hermite插值樣條曲線如圖2所示.

圖2　形狀參數(shù)取不同值時(shí)的五次Hermite插值樣條曲線Fig.2　Quintic Hermite interpolating spline curves with different shape parameters

其中短虛線為傳統(tǒng)三次Hermite插值樣條曲線,實(shí)線與長虛線分別為形狀參數(shù)取(λ,μ)=(-3,2)與(λ,μ)=(1,-2)時(shí)的五次Hermite插值樣條曲線.

注3雖然文獻(xiàn)[9-12]也構(gòu)造了幾類與傳統(tǒng)三次Hermite插值樣條曲線具有相同性質(zhì)的Hermite型插值樣條曲線,而且這些曲線的形狀均可通過所帶的形狀參數(shù)進(jìn)行調(diào)控.但是,無論節(jié)點(diǎn)是否為等距分布,為了使所構(gòu)造的樣條曲線滿足C2連續(xù),這些樣條曲線均需通過對形狀參數(shù)施加C2連續(xù)性約束條件后再迭代計(jì)算所有的形狀參數(shù)值.這樣,一方面會增加計(jì)算量,另一方面由于形狀參數(shù)的值均由迭代方式計(jì)算所得,因此當(dāng)給定的數(shù)據(jù)較多時(shí),靠后相鄰曲線段的C2連續(xù)性會因累積誤差的增大而無法保證.當(dāng)節(jié)點(diǎn)為等距分布時(shí),本文所構(gòu)造的五次Hermite插值樣條即可自動(dòng)滿足C2連續(xù),且其形狀還可通過形狀參數(shù)λ與μ進(jìn)行調(diào)控,從而使其在實(shí)際應(yīng)用中更具優(yōu)勢.

2.2形狀參數(shù)的最優(yōu)取值

由前文可知,當(dāng)數(shù)據(jù)(xi,yi,di)(i=0,1,2,…,n)給定時(shí),五次Hermite插值樣條曲線si(x)(i=0,1,…,n-1)的形狀由形狀參數(shù)λ與μ決定.在實(shí)際應(yīng)用中,若形狀參數(shù)λ與μ的值選取不當(dāng)時(shí),會導(dǎo)致五次Hermite插值樣條曲線的插值效果較差.

例2給定函數(shù)

y=r(x)=3+2cosx(0≤x≤5π),

圖3　形狀參數(shù)對五次Hermite插值樣條曲線的影響Fig.3　Effect of the shape parameters on quintic Hermite interpolating spline curves

其中實(shí)線對應(yīng)的參數(shù)為(α,β)=(-1,-2),長虛線對應(yīng)的參數(shù)為(α,β)=(3,2),短虛線為函數(shù)y=f(x)的曲線圖.

由圖3可知,形狀參數(shù)(α,β)=(-1,-2)時(shí)比(α,β)=(3,2)時(shí)的五次Hermite插值樣條曲線具有更為滿意的插值效果.

當(dāng)給定函數(shù)y=r(x)(a≤x≤b)時(shí),設(shè)xi=a+hi(常數(shù)h>0)為區(qū)間[a,b]的一個(gè)等距劃分,yi=r(xi),di=r′(xi)(i=0,1,…,n),如何選取合適的形狀參數(shù)λ與μ,使得插值于函數(shù)y=f(x)的五次Hermite插值樣條具有最佳插值效果？為解決這一問題，下面給出一種確定五次Hermite插值樣條曲線最優(yōu)形狀參數(shù)取值的方法.

插值于函數(shù)y=r(x)的五次Hermite插值樣條曲線的整體插值誤差可表示為

(14)

記

M0(t)=t2-3t3+3t4-t5,

N0(t)=1-10t3+15t4-6t5,

M1(t)=t3-2t4+t5,

N1(t)=10t3-15t4+6t5,

N2(t)=t-6t3+8t4-3t5,

N3(t)=-4t3+7t4-3t5.

則式(6)可改寫為

si(x)=L0(x)λ+L1(x)μ+L2(x)，

(15)

其中，

由式(15),式(14)可改寫為

C0λ2+C1μ2+2C2λμ+2C3λ+2C4μ+C5.

(16)

其中,

要使得式(16)取最小值,則必有

(17)

由式(16)可知,式(17)可改寫為

(18)

(19)

由式(19)計(jì)算形狀參數(shù)λ與μ的最優(yōu)取值后,便可獲得插值于函數(shù)y=r(x)的最優(yōu)五次Hermite插值樣條曲線.

例3對于例2中給定的插值條件,由式(19)計(jì)算可得五次Hermite插值樣條曲線形狀參數(shù)的最優(yōu)取值為λ=-0.137 2與μ=-0.480 4.函數(shù)y=f(x)的曲線圖(短虛線)與五次Hermite插值樣條曲線(實(shí)線)如圖4所示.

圖4　最優(yōu)五次Hermite插值樣條曲線Fig. 4　The optimal quintic interpolating spline curve

由圖4可知,當(dāng)形狀參數(shù)取最優(yōu)值時(shí),五次Hermite插值樣條曲線與原曲線幾乎重合,即能獲得滿意的插值效果.

3樣條曲面

利用張量積,可類似定義帶形狀參數(shù)的五次Hermite插值樣條曲面.

定義3設(shè)r(x,y)為定義在區(qū)域[a,b]×[c,d]的二元函數(shù),且存在二階偏導(dǎo)數(shù).

Δ:a=x0

c=y0

是區(qū)域[a,b]×[c,d]的一個(gè)等距劃分網(wǎng)格,記

對于(x,y)∈[xi,xi+1]×[yj,yj+1],i=0,1,2,…,m-1;j=0,1,2,…,n-1,

稱

sij(x,y)=

為區(qū)域[a,b]×[c,d]上插值于函數(shù)r(x,y)的帶形狀參數(shù)的五次Hermite插值樣條曲面,其中，

M=

αi(t)與βi(t)，t=u,v;i=0,1為參照式(1)定義的五次Hermite基函數(shù),且u向與v向的形狀參數(shù)分別為λj與μj(j=1,2).

易知,五次Hermite插值樣條曲面除了具有插值性外,在插值條件保持不變時(shí),不僅自動(dòng)滿足C2連續(xù),而且其形狀還可通過形狀參數(shù)λj與μj(j=1,2)進(jìn)行調(diào)控.當(dāng)形狀參數(shù)取最優(yōu)值時(shí),可利用五次Hermite插值樣條曲面獲得滿意的插值效果.

例4給定函數(shù)

取xi=i,yj=j.當(dāng)形狀參數(shù)λj與μj(j=1,2)取不同值時(shí)，五次Hermite插值樣條曲面片如圖5所示.

圖5　形狀參數(shù)取不同值時(shí)的五次Hermite插值樣條曲面片F(xiàn)ig.5　Quintic Hermite interpolating spline patches with different shape parameters

由圖5可知,當(dāng)插值條件保持不變時(shí),通過調(diào)整形狀參數(shù)λj與μj,j=1,2，實(shí)現(xiàn)了對五次Hermite插值樣條曲面片形狀的調(diào)控.

4結(jié)語

提出了一類帶形狀參數(shù)的Hermite型插值樣條,該樣條不僅繼承了傳統(tǒng)三次Hermite插值樣條的性質(zhì),而且可自動(dòng)滿足C2連續(xù).固定插值條件時(shí),C2連續(xù)的五次Hermite插值樣條曲線可利用所帶的形狀參數(shù)對其形狀進(jìn)行調(diào)控.為了方便實(shí)際應(yīng)用,本文還給出了一種確定五次Hermite插值樣條曲線最優(yōu)形狀參數(shù)取值的方法,實(shí)例結(jié)果表明,利用該方法確定的形狀參數(shù)可使得五次Hermite插值樣條曲線具有較好的插值效果.最后,將樣條推廣到曲面形式,給出了帶形狀參數(shù)的五次Hermite插值樣條曲面的定義及性質(zhì).由于本文提出的五次Hermite插值樣條是多項(xiàng)式模型,方程結(jié)構(gòu)較為簡潔,為插值曲線曲面的構(gòu)造提供了新選擇.

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The automatic C2continuous quintic Hermite interpolating spline with parameters. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):175-180

Abstract:In order to solve the problem that the cubic or quartic Hermite-type interpolating splines with shape parameters can not automatically satisfy C2 continuity, a new class of quintic Hermite interpolating spline with shape parameters is presented. The proposed spline not only has the same characteristics as the Hermite-type interpolating spline with shape parameters, but also automatically satisfies C2 continuity and can be controlled by the shape parameters when the interpolation conditions remain unchanged. Furthermore, a method for determining the optimal value of the shape parameters is given, which can make the quintic Hermite interpolating spline curve with the optimal interpolation effects.

Key Words:Hermite interpolation; quintic Hermite interpolating spline; C2 continuity; shape adjustment

中圖分類號：O 241.5；TP 391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-175-06

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.009

作者簡介：李軍成(1982-),ORCID:http:/orcid.org/0000-0002-1904-4068，男，博士，副教授，主要從事計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究,E-mail: lijuncheng82@126.com.

基金項(xiàng)目：湖南省教育廳資助科研項(xiàng)目(14B099);湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13JJ6081).

收稿日期：2015-08-19.