戴又善， 宋孝同

(1.浙江大學(xué)城市學(xué)院， 浙江 杭州 310015； 2.浙江大學(xué) 物理系， 浙江 杭州 310027；3.弗吉尼亞大學(xué) 粒子與核物理研究所，弗吉尼亞州 夏洛茨維爾 22904)

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無需光速不變假設(shè)的狹義相對論新推導(dǎo)

戴又善1， 宋孝同2,3

(1.浙江大學(xué)城市學(xué)院， 浙江 杭州 310015； 2.浙江大學(xué) 物理系， 浙江 杭州 310027；3.弗吉尼亞大學(xué) 粒子與核物理研究所，弗吉尼亞州 夏洛茨維爾 22904)

摘要：傳統(tǒng)相對論依據(jù)光速不變原理可以推導(dǎo)出時(shí)空的洛倫茲變換公式，而在相對性原理的基礎(chǔ)上，利用洛倫茲變換公式和守恒定律又可建立起愛因斯坦的質(zhì)能關(guān)系式.不同于首先從運(yùn)動(dòng)學(xué)出發(fā)來完全確定洛倫茲變換的傳統(tǒng)方法,依據(jù)相對性原理以及動(dòng)量和能量守恒,通過討論粒子的兩體衰變過程,論證了相對論能量正比于動(dòng)質(zhì)量實(shí)際上并不依賴于洛倫茲變換或具體的時(shí)空變換特性.從而無須引進(jìn)光速不變假設(shè)和不依賴靜質(zhì)量為0的粒子,給出了一種更為普遍的狹義相對論的新推導(dǎo).新的相對論公式已不再需要依賴光速,取而代之的是與所有粒子相關(guān)的普適極限速度vm.

關(guān)鍵詞：狹義相對論; 相對論動(dòng)力學(xué); 光速不變原理; 質(zhì)速關(guān)系; 質(zhì)能關(guān)系

DAI Youshan1, SONG Xiaotong2,3

(1.ZhejiangUniversityCityCollege,Hangzhou310015,China; 2.DepartmentofPhysics,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China; 3.InstituteofNuclearandParticlePhysics,UniversityofVirginia,CharlottesvilleVA22904,USA)

愛因斯坦于1905年依據(jù)相對性原理和光速不變原理,創(chuàng)建了狹義相對論[1-2](以下簡稱相對論).100多年來,盡管相對論經(jīng)受了大量實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn),取得了巨大的成功,但是將相對論這一普遍適用的基礎(chǔ)理論建立在特殊物質(zhì)光的特性之上，存在明顯的理論局限性.雖然也有研究提出可以用物質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度存在上限的假設(shè)來替代光速不變的假設(shè)[3-4],以避免將普遍的相對論理論建立在具體的物質(zhì)特性之上,但這一假設(shè)實(shí)際上隱含了自然界必須存在以速度上限值運(yùn)動(dòng)的粒子的假定[5],即傳統(tǒng)相對論理論的建立必須依賴于某種以極限速度運(yùn)動(dòng)即靜質(zhì)量為0的粒子(例如光子).

不同于依據(jù)光速不變假設(shè)首先從運(yùn)動(dòng)學(xué)來完全確定洛倫茲變換的傳統(tǒng)方法,本文將從動(dòng)力學(xué)過程出發(fā)來建立相對論.首先，依據(jù)相對性原理以及動(dòng)量和能量守恒定律,通過討論粒子的兩體衰變過程,論證相對論能量正比于動(dòng)質(zhì)量實(shí)際上并不依賴于洛倫茲變換或具體的時(shí)空變換特性,對一般的線性時(shí)空變換都有E=mA,其中A為與粒子運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)的待定常量[10-11].在此關(guān)鍵性證明的基礎(chǔ)上,本文針對靜質(zhì)量不為0的粒子,無須引進(jìn)光速不變假設(shè),僅僅依據(jù)相對性原理就可建立起相對論動(dòng)力學(xué),進(jìn)一步可以完全確定線性時(shí)空變換的廣義洛倫茲變換公式,從而給出了一種適用范圍更廣的相對論理論的新推導(dǎo).新的相對論公式已不再與光速c直接相關(guān),取而代之的是在建立和求解粒子質(zhì)速關(guān)系的微分方程時(shí)自動(dòng)給出與所有粒子相關(guān)的普適極限速度vm.

1質(zhì)速關(guān)系和質(zhì)能關(guān)系的推導(dǎo)

p=m0γ(v2)v=mv.

(1)

上式中m可稱為動(dòng)質(zhì)量,而m=m0γ(v2)通常稱為質(zhì)速關(guān)系.對于m0>0粒子的能量E=E(m0,v),同樣可寫為

E=m0Γ(v2),

(2)

其中Γ(v2)為另一待定函數(shù).

(3)

由能量守恒可得

(4)

圖1　M0粒子兩體衰變過程的不同慣性系變換Fig.1　Two-body decay process of particle M0for inertial frames transformation

設(shè)S′系相對于S系沿X方向以速度V運(yùn)動(dòng)(見圖1).一般的線性時(shí)空變換關(guān)系為

(5)

(6)

對上式微分,即可求得一般的速度變換關(guān)系為

(7)

目前a01(V)和a00(V)還是未知的待定系數(shù),因而時(shí)空變換關(guān)系和速度變換關(guān)系還未完全確定[10-11].

即有

(8)

依據(jù)相對性原理在S′系中應(yīng)同樣滿足動(dòng)量守恒和能量守恒：

(9)

(10)

令

(11)

由式(10)可得

(12)

A(V2)=A(v′21)=A(v′22).

(13)

雖然上式是在m10=m20的特例下推得,但顯然在m10≠m20的一般情況下,式(13)也是方程式(12)的解.由于在速度允許取值范圍內(nèi),V和v1(或V和v2)都為獨(dú)立參量,因而由式(8)可知V2和v′21(或V2和v′22)均可獨(dú)立地變化,因此在速度允許的取值范圍內(nèi)A(v2)必須是與粒子運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)的常量,由此可知

(14)

即粒子能量和動(dòng)質(zhì)量之比是與參考系選取無關(guān)的待定常量,由此證明了粒子相對論能量應(yīng)正比于動(dòng)質(zhì)量而并不依賴于具體的線性時(shí)空變換形式.因此粒子能量E(v2)和靜能E0=E(0)可以分別寫為

E(v2)=m(v2)A,E0=m0A.

(15)

設(shè)粒子所受外力為F,在相對論力學(xué)中粒子的動(dòng)量和能量的變化分別為dp=Fdt，dE=F·dr，由此可得能量變化和動(dòng)量變化之間的關(guān)系:

(16)

則有

(17)

由此可建立微分方程

(18)

(19)

(20)

(21)

而粒子的質(zhì)能關(guān)系則為

(22)

2廣義洛倫茲變換公式的推導(dǎo)

利用已確定的質(zhì)速關(guān)系和質(zhì)能關(guān)系,代入S系的能量守恒關(guān)系式(4)得

(23)

代入S′系的能量守恒關(guān)系式(9)則可得

(24)

將S′系的粒子速度式(8)代入式(24)即有

(25)

比較式(25)與(23)則有

(26)

由此可求得(要求滿足a00(V=0)=1)

(27)

圖2　不同慣性系中M0粒子的相等靜質(zhì)量兩體衰變Fig.2　Two-body decay process of particle M0with same rest mass in different inertial frames

即有

(28)

由S′系X方向的動(dòng)量守恒以及能量守恒可得

(29)

即有

(30)

由此可得

(31)

(32)

代入式(31)后可得

(33)

(34)

由式(27)可得

(35)

需要說明的是,一般線性時(shí)空變換的a01(V)和a00(V)并不獨(dú)立,由相對論運(yùn)動(dòng)學(xué)可知兩者必須滿足關(guān)系[12]:

(36)

而上述推導(dǎo)則用動(dòng)力學(xué)過程再次證明了這一關(guān)系式.

確定了具體的a01(V)和a00(V)后,代入式(6)就可得到相對論的時(shí)空變換關(guān)系：

(37)

可將上式稱為廣義洛倫茲變換,其中vm代表了更具普遍性的粒子運(yùn)動(dòng)極限速度.若取極限速度為光速vm=c,即式(37)為傳統(tǒng)相對論的洛倫茲變換;若取vm→∞,則回到了經(jīng)典絕對時(shí)空觀的伽利略變換.

依據(jù)式(7)則可確定相對論的速度變換關(guān)系為

(38)

由式(38)可直接驗(yàn)證極限速度vm為廣義洛倫茲變換下的不變量，并可證明vm是對所有m0≠0粒子都適用的普適常量[11-12].若取vm=c,則光速不變就成了相對論的一個(gè)推論.

3結(jié)論

以上基于相對性原理以及動(dòng)力學(xué)的基本關(guān)系dE=v·dp,通過討論靜質(zhì)量不為0粒子的兩體衰變過程,依據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒定律，首先推導(dǎo)了相對論的質(zhì)速關(guān)系和質(zhì)能關(guān)系.由于在推導(dǎo)中無須事先確定運(yùn)動(dòng)學(xué)的時(shí)空變換和速度變換公式,因而相對論質(zhì)速關(guān)系和質(zhì)能關(guān)系在本質(zhì)上并不依賴于運(yùn)動(dòng)學(xué)具體的時(shí)空變換特性,完全可由相對論動(dòng)力學(xué)所確定[10-12].在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步完全確定相對論運(yùn)動(dòng)學(xué)的廣義洛倫茲變換公式,從而建立了相比于傳統(tǒng)相對論適用范圍更廣的相對論理論新框架.

需要指出的是,通過一般運(yùn)動(dòng)學(xué)的討論可以證明,對于m0>0的具有靜止參考系的粒子,伽利略變換是唯一允許粒子運(yùn)動(dòng)速度為任意大的線性時(shí)空變換,因而對于任何非伽利略型線性時(shí)空變換,必然要求粒子的運(yùn)動(dòng)速度存在上限[12].而本文則由動(dòng)力學(xué)過程通過建立和求解粒子質(zhì)速關(guān)系的微分方程,再次證明了對于m0>0粒子的運(yùn)動(dòng)速度必須存在上限.本文的推導(dǎo)說明,從動(dòng)力學(xué)角度出發(fā)來討論相對論,依據(jù)相對性原理將自動(dòng)導(dǎo)致m0>0粒子的運(yùn)動(dòng)速度具有上限,而無須通過額外的理論假設(shè)來引入極限速度,因而無須引進(jìn)光速不變的假設(shè)就可以給出廣義洛倫茲變換的推導(dǎo).

值得強(qiáng)調(diào)的是,在傳統(tǒng)相對論的建立過程中,必須事先在運(yùn)動(dòng)學(xué)中依賴以極限速度運(yùn)動(dòng)即靜質(zhì)量為0的粒子,才能推導(dǎo)出洛倫茲變換公式.而在本文的動(dòng)力學(xué)過程推導(dǎo)中則完全與靜質(zhì)量為0的粒子無關(guān),也不再需要光速不變的假設(shè).本文的研究結(jié)果說明相對論是一個(gè)并不依賴于任何特殊粒子具體特性而適用于所有物質(zhì)的普遍理論,即使自然界存在超光速現(xiàn)象，其與相對論理論也是可以相容的[13].在新的相對論公式中,由普適極限速度vm取代了光速c,而vm的具體取值可通過實(shí)驗(yàn)測量來確定.由于以極限速度vm運(yùn)動(dòng)的粒子不存在靜止參考系,則靜質(zhì)量不為0的粒子只能趨近極限速度而無法達(dá)到極限速度,因而粒子以極限速度運(yùn)動(dòng)等價(jià)于該粒子的靜質(zhì)量嚴(yán)格為0,即vm=c等價(jià)于光子的m0=0.但由于目前實(shí)驗(yàn)上還未能確定光子的靜質(zhì)量是否嚴(yán)格為0,因此極限速度是否嚴(yán)格等于光速也還未能確定.若vm≠c,則光速不變將不再成立;若vm=c(嚴(yán)格相等),則光速不變就成為相對論的一個(gè)推論而不再是原理假設(shè).因而無論自然界是否存在靜質(zhì)量為0的粒子,無論極限速度是否等于光速,也無論今后是否發(fā)現(xiàn)超光速現(xiàn)象,相對論都是成立與自洽的[14-16].由于本文證明了相對論的建立無須引進(jìn)光速不變假設(shè)且不依賴靜質(zhì)量為0的粒子,本文的研究結(jié)果將使得相對論的理論基礎(chǔ)更加穩(wěn)固,其應(yīng)用范圍也更為廣泛.

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New derivation of special relativity without assumption of constant speed of light. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):247-252

Abstract:Traditionally, special relativity is formulated through a derivation of the space-time Lorentz transformation based on the assumption that the speed of light is invariant. Einstein’s famous mass-energy relation can be deduced from the Lorentz transformation, combined with the principle of relativity as well as the relevant conservation laws. This work abandons the unnecessary assumption of a constant speed of light, and proves that the proportionality between the relativistic energy and the moving mass does not rely on Lorentz transformation or any other specific form of space-time transformation. We demonstrate with two-body particle decay following directly from the principle of relativity and the conservation of energy and momentum. Therefore, we present a novel and more general formulation of special relativity without assuming a constant speed of light and the existence of massless particles. In this new formulation, a universal speed limit vm naturally emerges with no specific regard to the propagation of light.

Key Words:special relativity; relativistic dynamics; principle of constant speed of light; mass-velocity relation; mass-energy relation

中圖分類號：O 412.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-247-06

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.022

作者簡介：戴又善(1957-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0003-2318-2196,男，博士，副教授，主要從事理論物理研究，E-mail:daiys@zucc.edu.cn.

收稿日期：2014-12-01.