◇ 山東 李 去

(作者單位：山東省鄒平縣長(zhǎng)山中學(xué))

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等差數(shù)列中等比子數(shù)列的探究

◇ 山東 李 去

1 問(wèn)題背景

從數(shù)列{an}中取出部分項(xiàng),并將它們按原來(lái)的順序組成一個(gè)新數(shù)列,稱之為數(shù)列{an}的一個(gè)子數(shù)列.在等差數(shù)列中探究等比子數(shù)列是常考問(wèn)題之一,本文力求給出解決此類問(wèn)題的一般思路和方法,供讀者參考.

2 問(wèn)題解決

思路分析 寫(xiě)出數(shù)列的一些項(xiàng):1,4,7,10,13,16,19,…,觀察可以發(fā)現(xiàn),其中1、4、16成等比數(shù)列,即a1、a2、a6成等比數(shù)列,且公比為4.是否存在無(wú)窮等比子數(shù)列,只要判斷首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都是等差數(shù)列的項(xiàng).

解 由an=3n-2,得a1=1,a2=4,a6=16,所以存在不同的3項(xiàng)成等比數(shù)列,且公比為4.

下證等比數(shù)列的第4項(xiàng)也是等差數(shù)列中的項(xiàng).

所以n1=6+4×(6-2).

同理,可以算得等比數(shù)列的第5項(xiàng)an2,其中n2=n1+4(n1-6),…,依次可以得到下一項(xiàng),從而一定存在無(wú)窮等比子數(shù)列.

2) 說(shuō)明等差數(shù)列中存在無(wú)窮等比子數(shù)列是先找出3項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列,再證明等比數(shù)列中的任意一項(xiàng)都在等差數(shù)列中;

3) 從構(gòu)造等比數(shù)列的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn),只要等差數(shù)列中存在2項(xiàng)且后項(xiàng)與前項(xiàng)的比為整數(shù),則一定存在無(wú)窮等比子數(shù)列.

思路分析 數(shù)列{an}的每一項(xiàng)都是正整數(shù)且是遞增數(shù)列,所以先確定其等比數(shù)列子數(shù)列的公比一定是不小于2的整數(shù),再運(yùn)用子數(shù)列中項(xiàng)的雙重性建立等量關(guān)系,確定公比的最小值.

解 由an=3n-2,n∈N*知an∈N*,an+1>an.記其等比子數(shù)列{akn}的公比為q,首項(xiàng)為ak1,則q≥2且q∈N*,否則,一定存在n∈N*,使ak1qn-1?N*.

由akn是等差數(shù)列的第kn項(xiàng),同時(shí)又是等比數(shù)列的第n項(xiàng),得

akn=ak1+(kn-k1)×3,akn=ak1qn-1,

所以

.

由于ak1不是3的倍數(shù),所以當(dāng)n∈N*時(shí),qn-1-1必是3的倍數(shù).

當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),

qn-1-1=(q-1)(qn-2+qn-3+…+q+1),

其中qn-2,qn-3,…,q,1的最大公約數(shù)為1,從而q-1必是3的倍數(shù),所以公比q的最小值為4.

2) 本題中等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù),易得等比子數(shù)列的公比為正整數(shù),實(shí)際上,一個(gè)等差數(shù)列中若存在等比數(shù)列子數(shù)列,其公比也是正整數(shù).

總結(jié)提煉 一個(gè)等差數(shù)列的公差為非零,如果存在等比子數(shù)列,則其公比是大于1的整數(shù).

3 變式演練

(1) 若a1=4, 求正整數(shù)m，使an1、an2、am成等比數(shù)列.

(2) 若a1=4,那么{an}是否存在無(wú)窮等比子數(shù)列{ank}？請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案 (1)m=6.

(2) 不存在(理由略).

(作者單位：山東省鄒平縣長(zhǎng)山中學(xué))