趙傲，苗林，陳德偉

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092）

斜拉橋π型梁橋面板剪力滯效應(yīng)的優(yōu)化計(jì)算方法

趙傲，苗林，陳德偉

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092）

用能量變分法分析剪力滯作用時(shí)，一般認(rèn)為截面腹板部分符合初等梁理論的平截面假定，截面的中性軸過(guò)形心軸，這種假定在箱型梁中基本適用，然而在π型梁超寬橋面板中，由于剪力滯的影響，橋面板被大大削弱，截面中性軸相對(duì)形心軸有較大偏移，在理論分析中無(wú)法忽略。文章考慮π型梁截面中性軸偏移，通過(guò)對(duì)辰塔大橋π型梁懸臂施工過(guò)程進(jìn)行有限元模擬，解析解與數(shù)值解吻合良好，證實(shí)了該文的分析方法和假設(shè)是正確的，對(duì)T型梁及π型梁剪力滯效應(yīng)研究提供參考。

混凝土斜拉橋；剪力滯效應(yīng)；能量變分法

1 概述

橋梁結(jié)構(gòu)中，主梁在對(duì)稱(chēng)荷載作用下法向應(yīng)力沿橫截面的分布是不均勻的，這種現(xiàn)象稱(chēng)為剪力滯效應(yīng)。用能量變分法分析剪力滯效應(yīng)時(shí)，通過(guò)平截面假定和中性層假定，我們可以非常方便地表達(dá)截面上各點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變，通常認(rèn)為中性層恰好通過(guò)截面形心，然而，由于剪力滯效應(yīng)對(duì)橋面板存在一定“削弱”作用，使得中性層與形心存在一定偏差，在箱型截面中，由于頂?shù)装寰嬖诩袅?yīng)，這種偏差并不明顯，可以忽略；但是在開(kāi)口截面如T型梁和π型梁中，橋面板中剪力滯效應(yīng)引起的這種偏差無(wú)法忽略，在理論分析中必須加以考慮。

本文以上海辰塔大橋混凝土π型梁為對(duì)象，考慮中性軸偏移，運(yùn)用能量變分法求解截面應(yīng)力分布，同時(shí)利用Ansys進(jìn)行有限元模擬，通過(guò)數(shù)值案例驗(yàn)證本文所述分析方法的正確性。

2 計(jì)算基本假定

2.1 E.Reissner函數(shù)的確定

如圖1，斜拉橋主梁可看作受均布荷載與集中荷載共同作用而發(fā)生豎向撓曲變形的懸臂梁，若選取剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度作為剪力滯廣義位移，ψ（x）采用E.Reissner函數(shù)R（y）描述翼板縱橋向x方向位移在橫橋向y方向的分布[1]，定義梁的縱向整體位移u（x）及豎向撓度ω（x），截面上頂板及腹板的縱向位移可分別表示為：

圖1 π型梁截面及受力示意圖

應(yīng)用能量變分方法分析時(shí)，采用E.Reissner函數(shù)描述翼板縱橋向（x方向）位移沿橫橋向（y方向）的分布曲線(xiàn)，假定為拋物線(xiàn)分布，符合實(shí)測(cè)結(jié)果[2]。由薄壁梁截面局部平衡條件得到多項(xiàng)式函數(shù)表達(dá)式[3]：

式中：b為翼板y方向凈寬的1/2；ab為主肋內(nèi)側(cè)y方向距離的一半。

2.2 中性軸與形心軸偏移量

在梁的彎曲正應(yīng)力分析過(guò)程中，存在兩個(gè)重要假設(shè)：平截面假定和中性層假設(shè)，通過(guò)這兩個(gè)假設(shè)，可以非常方便地表達(dá)截面內(nèi)部應(yīng)變，中性層與橫截面的交線(xiàn)即為中性軸，中性軸與形心軸重合[4]。

而在斜拉橋施工過(guò)程中，π型超寬橋面板在彎矩及斜拉索軸向分力作用下存在較為明顯的剪力滯效應(yīng)，對(duì)橋面板起到一定的“削弱”作用，截面的中性軸與形心軸存在一定的偏移，橋面板越寬，剪力滯效應(yīng)越明顯，中心軸與形心軸的偏移越大，由于中性軸引起的偏移在計(jì)算截面正應(yīng)力的時(shí)候并不能忽視。引入函數(shù)z0表示截面形心在中性軸坐標(biāo)系中的偏移量。

懸臂梁在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，梁截面內(nèi)軸力為零，截面軸力平衡方程為：

其中ρ為曲率半徑，令質(zhì)心在中性軸中的豎向坐標(biāo)為z0，由式（2-4）可知：

由式（2-5），z0與主梁受彎曲率半徑、E.Reissner函數(shù)和剪力滯廣義位移ψ（x）有關(guān)，懸臂梁在受彎變形時(shí)各截面的曲率半徑可近似認(rèn)為相等；剪力滯廣義位移ψ（x）的一階導(dǎo)數(shù)用于描述影響剪力滯效應(yīng)的附加彎矩，研究表明，懸臂梁在均布荷載作用下的固定端到L/4范圍內(nèi)為正剪力滯效應(yīng)，端部集中荷載作用下全截面均為正剪力滯效應(yīng)[5]，而能量變分法分析過(guò)程中必須保證在統(tǒng)一的坐標(biāo)系內(nèi)，因此偏安全地選取距固定端L/8截面處為全橋中性軸偏移量代表值。

3 變分方程推導(dǎo)及求解

3.1 基本變分方程的推導(dǎo)

根據(jù)位移方程，建立梁的力學(xué)幾何方程，翼板正應(yīng)變及剪應(yīng)變?yōu)椋?/p>

腹板正應(yīng)變：

根據(jù)胡克定律，建立翼板及腹板的力學(xué)物理方程，橋面板為平面應(yīng)力狀態(tài)，則可得到翼板x方向應(yīng)力，y方向應(yīng)力，平面內(nèi)剪應(yīng)力和腹板方向應(yīng)力：

式中：Ec為梁彈性模量；G為梁剪切模量；v為混凝土泊松比。

梁承受壓彎外荷載時(shí)的外力勢(shì)能：

式中：M及N分別表示作用在梁上的彎矩和軸力。

梁的體系應(yīng)變能由翼板應(yīng)變能和腹板應(yīng)變能兩部分構(gòu)成：

根據(jù)最小勢(shì)能原理，在外荷載作用下，結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。當(dāng)有任何虛位移時(shí)，體系總位能的一階變分δ為零，即：，它相當(dāng)于泛函

整理后得如下方程：

以A0、I0和Q0分別表示形心軸平面內(nèi)雙主肋梁的整體截面面積、整體截面對(duì)y軸的慣性矩以及整體截面對(duì)y軸的靜力矩，其中； Q0=z0·A0；A0=Af·Aw，h與h′分別為橋面板和腹板中心到形心軸的距離。同時(shí)定義與E-Reissner函數(shù)R(y)相關(guān)的慣量定義：，，,則平衡微分方程及邊界條件（3-9）～（3-12）可以改寫(xiě)為：

力學(xué)物理意義上，式（3-13）表示梁在z方向的平衡狀態(tài)，式（3-14）則表示梁在x方向的平衡狀態(tài)；式（3-15）表示由于剪力滯后效應(yīng)導(dǎo)致翼板橫截面出現(xiàn)應(yīng)力分布不均勻狀態(tài)，這種狀態(tài)在板截面內(nèi)的自平衡；式（3-16）表示廣義剪力滯位移所需滿(mǎn)足的邊界條件。

3.2 承受自由端集中荷載的懸臂梁

考慮剪力滯后效應(yīng)，對(duì)承受自由端集中荷載的懸臂梁，采用變分法推導(dǎo)的平衡微分方程加以推演。如圖1（b）所示的等截面懸臂梁，自由端作用集中荷載T，作用位置位于梁主肋，距離梁截面形心δ處，荷載方向與水平方向夾角為θ。集中荷載在Ox方向上的投影N=-Tcosθ,在Oz方向上的投影P=Tsinθ。梁上作用均布荷載q。

在懸臂梁的固定端，式（3-18）滿(mǎn)足邊界條件：ψ（x）=0；在懸臂梁的自由端（非固結(jié)），邊界條件滿(mǎn)足方程式（3-16）：由以上邊界條件，可以求得懸臂梁最大縱向位移差函數(shù)ψ表達(dá)式（3-18）中的系數(shù)：

整理方程（3-19）和方程（3-20），可以得到梁變形微分方程：

由式（3-21）與式（3-22）可見(jiàn)，考慮剪力滯后效應(yīng)，梁的曲率-彎矩與線(xiàn)應(yīng)變-軸力的關(guān)系已經(jīng)不再符合歐拉-伯努利梁理論。在此，引入虛擬荷載來(lái)描述剪力滯后效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響：附加彎矩；附加軸力。由于剪力滯后效應(yīng)的影響，使得梁的有效剛度降低，增大了梁的變形。

結(jié)合式（2-5）與式（3-21），可知中性軸與形心軸偏移量:

由前所述z0選取L/8截面處為全橋中性軸偏移，而式（3-23）看出，z0的取值需要先計(jì)算剪力滯廣義位移ψ（x），而廣義位移ψ（x）的取值與z軸的選取無(wú)關(guān)，因此暫認(rèn)為中性軸偏移z0=0，即在形心軸坐標(biāo)系內(nèi)計(jì)算ψ（x），從而求得L/8截面處z0=0.08m。

將式（3-18）代入表達(dá)式（3-21），經(jīng)過(guò)兩次積分得到懸臂梁撓度曲線(xiàn)方程：

式（3-24）中的B1及B2為由懸臂梁固定端邊界條件所確定的待定系數(shù)：

將式（3-25）、（3-26）及對(duì)（3-24）求一階導(dǎo)數(shù)后，代入（3-24）式，便可以求得翼緣板的應(yīng)力分布：

由式（3-27）便可以分析在壓彎荷載作用下，翼板截面應(yīng)力的橫向分布規(guī)律。

4 數(shù)值算例

為了明確地了解懸臂施工階段斜拉索索力對(duì)主梁的剪力滯效應(yīng)的影響，本文以辰塔大橋?yàn)檠芯勘尘啊Ｔ摌驗(yàn)殡p塔三跨單索面曲線(xiàn)矮塔斜拉橋(86m+160m+86m)，塔梁固結(jié)體系。橋面寬34.6m。主梁采用預(yù)應(yīng)力混凝土π型梁截面。根據(jù)設(shè)計(jì)說(shuō)明，模型中主梁材料C55混凝土的容重取25kN/m3，彈性模量E取值3.55×104MPa，泊松比取0.167。預(yù)應(yīng)力鋼絞線(xiàn)彈性模量取值1.95×105MPa，一號(hào)索拉索張拉應(yīng)力控制為3750kN。采用結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算軟件Ansys進(jìn)行三維實(shí)體模型的建立和仿真分析，主梁采用實(shí)體單元，通過(guò)自動(dòng)網(wǎng)格劃分形成有限元模型。主梁在塔根處截面固定約束。全橋有限元模型如圖2所示。

圖2 ANSYS有限元模型示意圖

在A(yíng)nsys中利用PATH命令可得橋面板內(nèi)特定截面內(nèi)沿橫向分布的節(jié)點(diǎn)正應(yīng)力[6]，同時(shí)利用式（3-27）計(jì)算橋面板正應(yīng)力，進(jìn)行對(duì)比分析。

圖3 懸臂梁L/8截面頂板應(yīng)力比較

圖3分別列出了本文方法計(jì)算的頂板各點(diǎn)正應(yīng)力與ANSYS有限元數(shù)值解，由圖中可以看出，本文方法計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果基本吻合，說(shuō)明了本文中關(guān)于E.Reissner函數(shù)和中性軸偏移的假設(shè)是正確的。

圖中紅線(xiàn)部分代表了不考慮中性軸與形心軸偏移的能量變分法的計(jì)算結(jié)果，若不考慮中性軸與形心軸偏移，剪力滯系數(shù)明顯偏小，同時(shí)在橋面中線(xiàn)部分頂板甚至出現(xiàn)了拉應(yīng)力，這顯然與事實(shí)不符，考慮中性軸偏移的情況下，等效于添加了一個(gè)附加彎矩Nz0，使頂板正應(yīng)力提高，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文假設(shè)和計(jì)算結(jié)果的正確性。

圖4 懸臂梁在斜拉索及自重作用下?lián)隙惹€(xiàn)

圖4給出了1號(hào)索三張索力作用及自重作用下按初等梁理論及本文方法求得的撓度曲線(xiàn)。從圖4可以看出，按本文考慮剪力滯效應(yīng)的方法求得的撓度要明顯大于按初等梁理論（不考慮剪力滯效應(yīng)）求得的撓度，這是由于剪力滯效應(yīng)會(huì)使梁翼緣板的面內(nèi)剛度降低，從而必然導(dǎo)致?lián)隙仍龃?。按初等梁理論求得的跨中撓度?.73mm，剪力滯附加撓度為0.43mm，剪力滯效應(yīng)使撓度提高的幅度達(dá)到9.1%。可見(jiàn)，剪力滯效應(yīng)會(huì)顯著增大箱梁的撓度，工程實(shí)踐中必須認(rèn)真對(duì)待。

當(dāng)然，該算例的撓度提高幅度并不適用于其他π型梁。對(duì)于具有不同參數(shù)的π型梁，由于跨度和荷載條件的不同，剪力滯效應(yīng)引起的形心軸偏移也不同。工程實(shí)踐中必須根據(jù)主梁具體截面尺寸和荷載條件計(jì)算剪力滯效應(yīng)對(duì)撓度的提高。

5 結(jié)論

本文分析π型梁主梁剪力滯效應(yīng)過(guò)程中，引入了剪力滯效應(yīng)引起的中性軸偏移，假定翹曲位移函數(shù)和，建立了關(guān)于附加撓度的控制微分方程和邊界條件。以辰塔大橋主梁為對(duì)象進(jìn)行的懸臂梁計(jì)算表明，解析解與數(shù)值解吻合良好，從而驗(yàn)證了本文的理論分析方法和推導(dǎo)的公式是正確的。

以梁的彎曲理論為基礎(chǔ)，利用平截面假定和中性層假設(shè)，推導(dǎo)出形心軸與中性軸存在一定偏差，計(jì)算表明，考慮中性軸偏差能夠更加準(zhǔn)確地描述主梁橋面板內(nèi)的應(yīng)力分布情況。

對(duì)集中荷載作用下懸臂算例的計(jì)算結(jié)果表明，剪力滯效應(yīng)使撓度提高的幅度達(dá)到9.1%，對(duì)于具有不同參數(shù)的π型梁，由于跨度和荷載條件的不同，剪力滯效應(yīng)引起的形心軸偏移也不同。工程實(shí)踐中必須根據(jù)主梁具體截面尺寸和荷載條件計(jì)算剪力滯效應(yīng)對(duì)撓度的提高。

[1]E.Reissner.Analysis of shear lag in box beams by the principle of the minimum potential energy.Quarterly of Applied Mathematics, 1946，4(3)：268-278.

[2]張?jiān)?，康喜東，林麗霞.箱形梁剪力滯效應(yīng)分析中的翹曲位移函數(shù)及廣義內(nèi)力研究[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2012(6)：867-872.

[3]張士鐸，鄧小華，王文洲.箱型薄壁梁剪力滯效應(yīng)[M].北京：人民交通出版社，1998.

[4]項(xiàng)海帆.高等橋梁結(jié)構(gòu)理論[M].北京：人民交通出版社，2001.

[5]張士鐸，王文洲.橋梁工程結(jié)構(gòu)中的負(fù)剪力滯效應(yīng)[M].北京：人民交通出版社，2004.

[6]胡曉倫，陳艾榮.ANSYS路徑映射技術(shù)在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用[J].交通與計(jì)算機(jī)，2004(3)：86-89.

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1007-7359（2016）06-0107-04

10.16330/j.cnki.1007-7359.2016.06.041

趙傲（1990-），男，湖北仙桃人，同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院在讀碩士，研究方向：斜拉橋施工。