楊占剛， 吳惠東， 屈俊超， 車延博

(1. 中國民航大學電子信息與自動化學院， 天津 300300； 2. 天津大學智能電網(wǎng)教育部重點實驗室， 天津 300072)

基于廣義狀態(tài)空間平均的獨立電力系統(tǒng)建模方法

楊占剛1， 吳惠東1， 屈俊超1， 車延博2

(1. 中國民航大學電子信息與自動化學院， 天津 300300； 2. 天津大學智能電網(wǎng)教育部重點實驗室， 天津 300072)

針對由各類電力電子裝置構成的獨立電力系統(tǒng)應用日趨普及的現(xiàn)狀，為對不同運行工況下獨立電力系統(tǒng)進行描述，提出一種基于廣義狀態(tài)空間平均的獨立電力系統(tǒng)建模方法。通過將獨立電力系統(tǒng)時變非線性微分方程狀態(tài)變量用傅里葉系數(shù)描述，得到獨立電力系統(tǒng)的廣義狀態(tài)空間平均模型；依據(jù)獨立電力系統(tǒng)的不同運行工況，分析其不同時間尺度的動態(tài)特性，并通過傅里葉系數(shù)的增減實現(xiàn)微電網(wǎng)的廣義狀態(tài)空間平均模型化簡。該建模方法能甄別獨立電力系統(tǒng)的運行工況及動態(tài)特性，在系統(tǒng)分析和設計中可代替時域模型，在穩(wěn)態(tài)時可簡化為狀態(tài)空間平均模型。仿真結果表明該模型具有良好的精度和快速的分析能力，適用于獨立電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)分析領域。

獨立電力系統(tǒng)； 廣義狀態(tài)空間平均； 動態(tài)特性； 傅里葉系數(shù)

1 引言

隨著電力電子技術的發(fā)展，電力電子裝置在國民經濟和國防建設的諸多領域應用越來越廣泛，尤其是由電力電子裝置構成的各種獨立電力系統(tǒng)，如可聯(lián)網(wǎng)、孤島兩種模式運行的微電網(wǎng)，各載運工具如飛機、船艦、航天器的電力系統(tǒng)等應用日趨普及[1,2]。一個典型的獨立電力系統(tǒng)包括電源系統(tǒng)、配電系統(tǒng)、用電設備三部分。獨立電力系統(tǒng)由于含有大量的電力電子變流裝置，是一個高維復雜非線性系統(tǒng)，其安全穩(wěn)定運行不僅受到常規(guī)電力元件動態(tài)特性影響，而且與電力電子裝置的動態(tài)特性密切相關，并且獨立電力系統(tǒng)的應用領域、運行環(huán)境千差萬別，因此建立反映其動態(tài)特性的數(shù)學模型至關重要。目前，獨立電力系統(tǒng)的建模主要包括時域仿真法與解析建模法兩大類。

時域仿真法，即通過描述各元件和全系統(tǒng)暫態(tài)過程的微分方程建立的模型，可以精確反映系統(tǒng)中快速電磁過程，能夠給出大擾動、非線性、時變系統(tǒng)的精確響應，對事故現(xiàn)場進行再現(xiàn)，是一種古老的方法。在過去很長時間中，時域仿真法被認為是判斷電力系統(tǒng)運行狀態(tài)最準確、最可靠的方法，在各類研究中被廣泛應用[3]。由于研究的需要，至今世界各國已先后研制和完善了多種時域仿真軟件，如美國邦納維爾電力局的主要用于電磁暫態(tài)仿真的EMTP(包括微機版ATP-EMTP)、美國電力研究協(xié)會的用于中長期穩(wěn)定性研究的ETMSP和配套的SSSP、美國PTI公司的PSS/E、法國國家電力公司的EUROSTAG、ABB公司的SIMPOW和中國電力科學院的綜合穩(wěn)定程序(PSASP)等。時域仿真法的優(yōu)點是精確度高，可以得到響應的完整波形，適用范圍廣。具體到獨立電力系統(tǒng)時域仿真領域，其重點關注于模型的降階與仿真速度的提高，以實現(xiàn)對獨立電力系統(tǒng)的實時仿真[4]。文獻[5]針對獨立電力系統(tǒng)提出了一種在傳統(tǒng)奇異攝動模型降階方法基礎上的模型降階方法，通過將原系統(tǒng)穩(wěn)定裕度指標在奇異攝動參數(shù)處進行高階泰勒級數(shù)展開，給出定量預測降階系統(tǒng)穩(wěn)定裕度指標的表達式，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)模型降階。文獻[6]以Krylov子空間理論與矩匹配原理為基礎，提出了一種面向時域仿真的大規(guī)模電力系統(tǒng)網(wǎng)絡降維化簡方法，為時域仿真的快速性問題提出了一種新的解決思路。另外，文獻[7,8]通過并行計算、自動微分等技術提高數(shù)值仿真的運算效率。在獨立電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，時域仿真方法多用來作為其他穩(wěn)定性分析結論的輔助驗證工具。文獻[9]利用時域仿真技術，對獨立電力系統(tǒng)中特定運行條件下的暫穩(wěn)態(tài)行為進行驗證，可實現(xiàn)對不同架構獨立電力系統(tǒng)的參數(shù)校正測試。文獻[10]則利用時域仿真技術，對獨立電力系統(tǒng)的基波及諧波進行實時估計，進而為獨立電力系統(tǒng)中的有源及無源濾波器的設計提供參考。但總體來說，時域仿真方法缺點是物理概念不清晰，不能夠從根本上揭示系統(tǒng)的工作機理，對設計的指導意義不大，也無法為控制方案的設計提供理論指導。

解析建模法，是指利用解析表達式表示系統(tǒng)特性的建模方法，為此需要作某些近似假定，以簡化分析。其中最具代表性的是Middlebrook 提出的狀態(tài)空間平均法，它從系統(tǒng)不同拓撲下的狀態(tài)方程出發(fā)，經過平均、小信號擾動和線性化處理步驟，得到表征系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動態(tài)小信號特性的數(shù)學模型[11]。文獻[12,13]基于該方法，分別對獨立電力系統(tǒng)的機電作動器及整流器進行了狀態(tài)空間建模；文獻[14]基于狀態(tài)空間平均法，建立了獨立電力系統(tǒng)中逆變環(huán)節(jié)的dq模型描述方程，用于獨立電力系統(tǒng)的仿真和故障診斷研究；文獻[15]建立了以AC/DC為核心，以驅動類負荷為主的獨立電力系統(tǒng)狀態(tài)空間仿真模型并用于系統(tǒng)的小擾動分析。由于狀態(tài)空間平均法在推導過程中假設狀態(tài)變量在開關周期每個階段只有微小變化，只能得到狀態(tài)變量的周期平均分量的動態(tài)方程進行直流穩(wěn)態(tài)分析和動態(tài)小信號分析，不能進行紋波分析、大信號分析。為了繼續(xù)發(fā)揮狀態(tài)空間平均法的優(yōu)點，文獻[16]提出了平均處理過的狀態(tài)空間平均法建模方法，此法的中心思想是把狀態(tài)變量劃分為快變和慢變狀態(tài)變量，并對快變狀態(tài)變量做出某種處理，可成功地分析瞬態(tài)過程及紋波，常用于二階系統(tǒng)的分析，但對于高階系統(tǒng)，則求解復雜繁瑣，推廣性有待進一步驗證。可以看出，目前獨立電力系統(tǒng)的狀態(tài)空間建模多為在忽略系統(tǒng)動態(tài)特性基礎上，對獨立電力系統(tǒng)中某一特定組成部分，如AC/DC、DC/AC等環(huán)節(jié)的單獨建模分析，考慮不同運行工況動態(tài)特性的獨立電力系統(tǒng)整體建模研究仍待進一步拓展。

可以看出，能夠描述系統(tǒng)內部詳細動態(tài)過程的時域仿真建模方法相對復雜，仿真速度慢；而相對簡單的狀態(tài)空間建模方法又忽略了系統(tǒng)的動態(tài)特性，且不能適用于大擾動分析。因此，如何針對獨立電力系統(tǒng)的特點，為獨立電力系統(tǒng)建立簡單而又比較準確的數(shù)學模型，使之既能夠適用于大擾動系統(tǒng)的仿真分析，又包含一定的內部動態(tài)行為，仍是一個迫切需要研究的課題。

2 獨立電力系統(tǒng)動態(tài)特性分析

獨立電力系統(tǒng)是一個時變非線性系統(tǒng)，既包含同步發(fā)電機等具有較大時間常數(shù)的旋轉設備，也有響應快速的電力電子裝置。在系統(tǒng)發(fā)生擾動時，既有在微秒級快速變化的電磁暫態(tài)過程，也有毫秒級變化的機電暫態(tài)過程和以秒級變化的慢動態(tài)過程。針對獨立電力系統(tǒng)不同層次動態(tài)特性，建立反映獨立電力系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學模型并以此為基礎進行獨立電力系統(tǒng)動態(tài)分析至關重要。文獻[17]針對獨立電力系統(tǒng)中的電源拖動裝置動態(tài)特性對電力系統(tǒng)的影響進行了初步探討。在獨立電力系統(tǒng)中，其動態(tài)特性非常復雜，若考慮所有動態(tài)特性進行獨立電力系統(tǒng)建模，雖保障了模型精度，但是將導致模型復雜程度高及不可預計的計算時間。針對不同的研究目的和應用場合，并不總需要對獨立電力系統(tǒng)所有動態(tài)特性進行考慮，因此需要在分析獨立電力系統(tǒng)動態(tài)層次基礎上，對一些特定模式下的動態(tài)特性加以忽略并適當化簡。具體的，獨立電力系統(tǒng)動態(tài)大致可分為四個層次：①元件級動態(tài)，指頻率在100kHz以上的動態(tài)特性，用來描述元件(如固態(tài)開關、電磁作動器等)的高頻、電磁暫態(tài)、熱力學領域等特性；②行為級動態(tài)，指頻率在100～100kHz的動態(tài)特性，用來描述獨立電力系統(tǒng)中變換器開關切換、諧波及電磁兼容等特性；③功能級動態(tài)，指頻率在100Hz以下的動態(tài)特性，用來描述系統(tǒng)為完成某項功能，進行的設備啟停、負載投切等穩(wěn)定性方面的動態(tài)特性；④結構級動態(tài)，指獨立電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，用于獨立電力系統(tǒng)的潮流計算，進行電網(wǎng)容量、結構等方面的設計。

廣義狀態(tài)空間平均模型是介于詳細時域模型和簡化的狀態(tài)空間模型之間的一種建模方式[18]。該方法的主要思想是：電路狀態(tài)變量用時變傅里葉級數(shù)展開來近似，電路可以表示成一組以傅里葉級數(shù)為狀態(tài)變量的微分方程，并通過忽略系統(tǒng)狀態(tài)變量所對應的傅里葉級數(shù)中那些不重要的項而對原系統(tǒng)進行簡化，傅立葉級數(shù)中所選的諧波次數(shù)越高，電路狀態(tài)變量就越接近實際值。圖1為獨立電力系統(tǒng)的動態(tài)特性變化趨勢與廣義狀態(tài)空間平均模型的對應特性。

圖1 廣義狀態(tài)空間平均模型與獨立電力系統(tǒng)動態(tài)特性Fig.1 Generalized state space averaging and dynamic characteristics of isolated power system

可以看出，獨立電力系統(tǒng)動態(tài)特性與廣義狀態(tài)空間平均模型具有相似的變化趨勢，隨著廣義狀態(tài)空間平均模型階數(shù)的增加，其包含的獨立電力系統(tǒng)的動態(tài)特性越多，但模型的復雜度也會相應提升?；诖?，對不同運行狀態(tài)下的不同層次的動態(tài)特性進行分析，并依據(jù)不同應用場合的不同需求，確定傅里葉系數(shù)與獨立電力系統(tǒng)動態(tài)特性具體的對應關系，實現(xiàn)對模型的化簡，進而構建出反應不同運行狀態(tài)下不同動態(tài)特性的獨立電力系統(tǒng)簡化廣義狀態(tài)空間平均模型。

3 獨立電力系統(tǒng)廣義狀態(tài)空間平均建模

為實現(xiàn)反映不同尺度時間動態(tài)特性的獨立電力系統(tǒng)建模，采用廣義狀態(tài)空間平均模型對獨立電力系統(tǒng)進行建模，該方法實施步驟如下：

(1)依據(jù)獨立電力系統(tǒng)結構，建立獨立電力系統(tǒng)中電源系統(tǒng)、配電系統(tǒng)、用電設備的時變非線性微分方程，確定獨立電力系統(tǒng)時變非線性微分方程的狀態(tài)變量：

(1)

式中，χ=[x1,x2,…,xn]T為系統(tǒng)狀態(tài)變量；Ψ為系統(tǒng)狀態(tài)變量矩陣，為n×n階矩陣；u=[u1,u2,…,um]T為系統(tǒng)代數(shù)變量；Γ為系統(tǒng)代數(shù)變量矩陣，為n×m階矩陣。

(2)依據(jù)步驟(1)所確定的獨立電力系統(tǒng)時變非線性微分方程的狀態(tài)變量，對狀態(tài)變量χ進行傅里葉分解，對任一時變狀態(tài)變量xi(τ),在任一區(qū)間τ∈[t-T,t]中，均能夠用時變傅里葉級數(shù)表示：

(2)

content_rightk(τ)為時變傅里葉級數(shù)；N為傅里葉級數(shù)的階數(shù)，N越大則模型越精確。則第k階傅里葉級數(shù)表示為：

(3)

k(τ)為反映系統(tǒng)動態(tài)特性的傅里葉系數(shù)狀態(tài)變量。

(3)根據(jù)得到的傅里葉系數(shù)k(τ)，引入新的狀態(tài)變量矩陣Q，為n(2N+1)行1列矩陣，Q矩陣各元素如下所示：

k=0時：

(4)

k≠0時:

k(τ)=qn(2k-1)+(2i-1)+jqn(2k-1)+2i

(5)

式中，q為新引入的狀態(tài)變量矩陣Q中的元素。

(4)對步驟(1)得到的獨立電力系統(tǒng)時變非線性微分方程進行k階傅里葉分解，得到：

(6)

k=0時：

(7)

k≠0時：

(8)

(9)

式中，Re代表對函數(shù)取實部；Im代表對函數(shù)取虛部。

(5)將步驟(3)得到的狀態(tài)變量q代入步驟(4)的傅里葉分解后的微分方程，并引入狀態(tài)變換矩陣M：

k=0時:

(10)

式中，Q0=[q1,q2,…,qn]T；Ψ0=Ψ；Μ0=<Γu>0。

k≠0時:

(11)

式中

Ψk=

則最終的獨立電力系統(tǒng)的廣義狀態(tài)空間平均模型可描述如下：

(12)

(6)針對獨立電力系統(tǒng)的運行工況，依據(jù)獨立電力系統(tǒng)設備啟停、功能變換、結構切換、穩(wěn)態(tài)設計的功能需求，將獨立電力系統(tǒng)動態(tài)特性分為四種層次：元件級動態(tài)、行為級動態(tài)、功能級動態(tài)、結構級動態(tài)。

(7)依據(jù)步驟(6)得到的獨立電力系統(tǒng)四種層次的動態(tài)特性，合理選擇傅里葉分解的階數(shù)N，對獨立電力系統(tǒng)的廣義狀態(tài)空間平均模型進行化簡，得到四種層次下反映獨立電力系統(tǒng)動態(tài)特性的簡化廣義狀態(tài)空間平均模型。

4 算例分析

為驗證提出的基于獨立電力系統(tǒng)動態(tài)特性的廣義狀態(tài)空間平均建模方法的有效性，本文以某典型獨立電力系統(tǒng)中恒電壓Buck變換器(如圖2所示)為例，進行廣義狀態(tài)空間平均建模。

圖2 獨立電力系統(tǒng)Buck變換器結構圖Fig.2 Schematic of Buck converter in isolated power system

4.1 恒電壓Buck變換器廣義狀態(tài)空間平均建模

(1)建立獨立電力系統(tǒng)中帶恒電壓負載輸出的Buck變換器時變非線性微分方程如下:

(13)

式中，rv為線路電阻；Lv為線路電感；Iv為電感電流；Cv為輸出穩(wěn)壓電容；VCv為電容電壓；h(t,Tv)為開關器件占空比；Vdc為輸入電壓值。確定該Buck變換器的狀態(tài)變量為Iv、VCv。

(2)確定由步驟(1)得到的時變非線性微分方程的狀態(tài)變量Iv、VCv，并對該狀態(tài)變量進行傅里葉分解:

(14)

(15)

式中，k(τ)、k(τ)為時變傅里葉級數(shù)。第k階傅里葉級數(shù)可表示為:

(16)

(17)

(3)根據(jù)得到的傅里葉系數(shù)k(τ)和k(τ)，引入新的狀態(tài)變量矩陣Q，由于狀態(tài)變量數(shù)目n=2，若進行N階傅里葉分解，則各元素如下：

k=0時:

(18)

k≠0時:

(19)

(4)對Buck變換器的微分方程進行k階傅里葉分解，得到：

k=0時:

(20)

k≠0時:

(21)

(22)

(5)將步驟(3)得到的狀態(tài)變量q代入步驟(4)的傅里葉分解后的微分方程，并引入狀態(tài)變換矩陣M：

k=0時:

(23)

式中

Q0=[q1,q2]T，Ψ0=Ψ

k≠0時:

(24)

式中

Qk=[q2(2k-1)+1,q2(2k-1)+2,q2(2k-1)+3,q2(2k-1)+4]T

(6)針對獨立電力系統(tǒng)電力電子設備動態(tài)、功能級動態(tài)、結構級動態(tài)三種層次的動態(tài)特性，合理選擇傅里葉分解的階數(shù)N，對獨立電力系統(tǒng)的廣義狀態(tài)空間平均模型進行化簡。若取N=1，則最終的一階廣義狀態(tài)空間平均模型如式(25)所示；若取N=2，則最終的二階廣義狀態(tài)空間平均模型如式(26)所示。

(25)

(26)

4.2 仿真驗證

以建立的簡化廣義狀態(tài)空間平均模型為基礎，進行時域仿真與廣義狀態(tài)空間平均模型仿真對比驗證，電路參數(shù)如表1所示。

表1 Buck變換器電路參數(shù)Tab.1 Parameters of Buck converter

仿真時間設置為2ms，時域仿真與廣義狀態(tài)空間平均一階、二階模型進行仿真對照。圖3為Buck變換器輸出電壓VCv的變化曲線?？梢钥闯?，暫態(tài)運行階段，一階、二階廣義狀態(tài)空間平均模型與時域仿真模型具有相同的變化趨勢，但由于廣義狀態(tài)空間平均模型忽略了一定時間尺度的動態(tài)特性，所以與時域仿真模型之間存在差異，但這種差異隨著階數(shù)的增加逐漸減小。

圖3 輸出電壓仿真波形Fig.3 Simulative waveforms of output voltage

當系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)后，一階、二階廣義狀態(tài)空間平均模型與時域仿真模型的輸出曲線基本重合，表明在穩(wěn)態(tài)情況下廣義狀態(tài)空間平均模型階數(shù)對仿真的精度影響不明顯。圖4為1.87～2ms輸出電壓曲線的局部放大圖，可以看出隨著階數(shù)的增加(一階到二階)，廣義狀態(tài)空間平均模型與時域仿真模型之間的差異性越來越小，仿真精度相應提高。

圖4 輸出電壓仿真波形(局部放大)Fig.4 Simulative waveforms of output voltage (Enlarged)

圖5為Buck變換器輸入電流Iv的仿真變化曲線，三種模型的電流仿真曲線同樣具有相同的變化趨勢，但由于廣義狀態(tài)空間平均模型忽略了一定時間尺度的動態(tài)特性，所以與時域仿真模型之間存在差異，但這種差異隨著階數(shù)的增加逐漸減小。

圖5 輸入電流仿真波形Fig.5 Simulative waveforms of input current

當系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)后，一階、二階廣義狀態(tài)空間平均模型與時域仿真模型的輸出曲線基本重合，表明在穩(wěn)態(tài)情況下廣義狀態(tài)空間平均模型階數(shù)對仿真的精度影響不明顯。圖6為1.87～2ms之間輸出電流曲線的局部放大，隨著廣義狀態(tài)空間平均模型階數(shù)的增加，仿真結果與時域仿真模型之間的差異性越來越小，仿真精度相應提高。

圖6 輸入電流仿真波形(局部放大)Fig.6 Simulative waveforms of input current (Enlarged)

值得指出的是，本文以Buck變換器為例，目的是說明廣義狀態(tài)空間平均模型的建模過程，針對獨立電力系統(tǒng)的其他部件，如發(fā)電機、變壓器、整流器、逆變器等，本文所提出的建模過程依然具有通用性。

5 結論

本文提出一種基于廣義狀態(tài)空間平均模型的建模方法，并應用于獨立電力系統(tǒng)的建模領域，得出如下結論：

(1) 廣義狀態(tài)空間平均模型階數(shù)與獨立電力系統(tǒng)動態(tài)特性具有相似的變化趨勢，適用于含多時間尺度動態(tài)特性的獨立電力系統(tǒng)建模。

(2) 廣義狀態(tài)空間平均建模方法與時域仿真法相比，穩(wěn)態(tài)時具有相似的精度；暫態(tài)時，隨著廣義狀態(tài)空間平均模型階數(shù)的增加，其仿真結果越接近于時域仿真模型。

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Modeling method of isolated power system based on generalized state space averaging

YANG Zhan-gang1， WU Hui-dong1， QU Jun-chao1， CHE Yan-bo2

(1. College of Electronic Information and Automation, Civil Aviation University of China,Tianjin 300300, China; 2. Key Laboratory of Smart Grid of Ministry of Education,Tianjin University, Tianjin 300072, China)

The isolated power system is a fast developing trend with the widely used power electronics. In order to investigate the overall system performance under normal and abnormal scenarios, the generalized state space averaging modeling method was proposed. Through replacing the state variables of the isolated power system time-variant nonlinear differential equations with their complex Fourier coefficients over a desired time interval, the generalized state space averaged model of isolated power systems was built. Depending on the different operating conditions, the dynamic characteristics of the isolated power system on different time scales were analyzed, and the simplified generalized state space averaging model was achieved by increasing or decreasing the order of Fourier coefficients. This modeling method can identify the isolated power system operating conditions and the dynamic characteristics. It can be used as time-domain model in systems analysis and design, and also it can be used as state-space model in steady state analysis. It is demonstrated that the generalized state space averaging model of the isolated power system can be used to the steady and transient analysis of different isolated power system with high simulation speed and good accuracy.

isolated power system; generalized state space averaging; dynamic characteristics; Fourier coefficients

2016-06-13

國家自然科學基金項目(51407185; U1533126)、 中國民航大學實驗技術創(chuàng)新基金項目(17-14-03)、 中國民航大學科研啟動基金項目(2011-QD02X)

楊占剛(1979-)， 男， 河北籍， 講師, 博士, 研究方向為微電網(wǎng)與獨立電力系統(tǒng); 吳惠東(1991-)， 男， 江西籍， 碩士研究生， 研究方向為獨立電力系統(tǒng)建模與仿真。

V242.3

A

1003-3076(2016)12-0012-08