王 翠, 王喜蓮

(北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院， 北京 100044)

單繞組無軸承開關(guān)磁阻電機轉(zhuǎn)子偏心時懸浮力的分析與計算

王 翠, 王喜蓮

(北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院， 北京 100044)

無軸承類電機轉(zhuǎn)子的偏心運行是不可避免的，由有限元分析可知轉(zhuǎn)子偏心對其徑向受力影響較大，忽略轉(zhuǎn)子偏心時的徑向受力分析將很難實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮運行。而目前有關(guān)無軸承類電機的徑向力計算都沒有考慮轉(zhuǎn)子偏移量的影響，只是計算轉(zhuǎn)子在中心位置時的受力情況。鑒于此，針對具有結(jié)構(gòu)簡單優(yōu)勢的單繞組無軸承開關(guān)磁阻電機(BSRM)，本文提出了考慮轉(zhuǎn)子偏移量的徑向力數(shù)學(xué)模型，給出了繞組電流、電機結(jié)構(gòu)參數(shù)、轉(zhuǎn)子偏移量、轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)位置與徑向力之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。同時考慮到轉(zhuǎn)子偏心對電磁轉(zhuǎn)矩的影響較小，推導(dǎo)了忽略偏心影響的電磁轉(zhuǎn)矩解析式。與有限元分析對比結(jié)果驗證了本文徑向力與轉(zhuǎn)矩數(shù)學(xué)模型的正確性。最后，基于推導(dǎo)所得的數(shù)學(xué)模型對單繞組BSRM徑向力與轉(zhuǎn)矩控制進行了初步的動態(tài)仿真研究，進一步驗證了數(shù)學(xué)模型的準確性與實用性。

單繞組； 無軸承； 開關(guān)磁阻電機； 數(shù)學(xué)模型； 偏心

1 引言

無軸承開關(guān)磁阻電機(Bearingless Switched Reluctance Motor，BSRM)不僅具有磁軸承電機摩擦小，轉(zhuǎn)速高的優(yōu)點，同時具備結(jié)構(gòu)緊湊、普通SRM的高容錯性，良好的魯棒性和可靠性等特點，因而在許多領(lǐng)域都有較為廣闊的應(yīng)用前景。這也使得SRM的無軸承技術(shù)逐漸成為近年來的研究熱點[1,2]。

為推進BSRM的應(yīng)用，國內(nèi)外學(xué)者進行了大量的基礎(chǔ)研究工作，并取得了豐富的研究成果。目前國內(nèi)外學(xué)者主要針對雙繞組BSRM進行研究，但該電機存在轉(zhuǎn)矩與徑向懸浮力之間的相互耦合問題，導(dǎo)致懸浮力與轉(zhuǎn)矩控制的復(fù)雜性。針對此問題文獻[3]提出了一種新型的控制策略，簡化了電機驅(qū)動和懸浮控制算法，提高了轉(zhuǎn)矩和懸浮控制的獨立性。文獻[4]提出了雙定子結(jié)構(gòu)的BSRM并利用樣機做了徑向力控制研究，但是這種新型電機增加了生產(chǎn)成本。文獻[5]提出并分析了一種新型BSRM的懸浮性能，該電機運行過程中不需要切換控制繞組，降低了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性。文獻[1,6,7]推導(dǎo)了雙繞組BSRM當(dāng)轉(zhuǎn)子運行于中心位置時的徑向力數(shù)學(xué)模型，該數(shù)學(xué)模型在轉(zhuǎn)子徑向發(fā)生較大偏移時，徑向力計算將出現(xiàn)較大的誤差，從而導(dǎo)致穩(wěn)定懸浮控制困難。目前多數(shù)BSRM采用兩套相互獨立的繞組，實現(xiàn)平均轉(zhuǎn)矩和徑向懸浮力的控制，這不僅增加了因繞組間的耦合而導(dǎo)致的控制復(fù)雜性，而且繞組間的絕緣問題也增加了電機的成本和制造的復(fù)雜度。

單繞組BSRM避免了雙繞組BSRM兩套繞組之間的復(fù)雜的耦合問題，降低了電機設(shè)計和控制的復(fù)雜性，通過獨立控制定子每相各極線圈電流實現(xiàn)轉(zhuǎn)子懸浮與旋轉(zhuǎn)，具有結(jié)構(gòu)上的優(yōu)勢。文獻[8,9]分析了8/6極的單繞組BSRM的運行原理和電機控制策略，對電機結(jié)構(gòu)特性作了簡要分析。文獻[10]根據(jù)磁導(dǎo)分段思想應(yīng)用虛位移法構(gòu)建了12/8極的單繞組BSRM在一個周期內(nèi)的全角度數(shù)學(xué)模型，為單繞組電機運行于中心位置時徑向力的計算提供了依據(jù)，但該數(shù)學(xué)模型沒有考慮轉(zhuǎn)子發(fā)生偏移時的徑向力情況。然而電機懸浮的實際情況是即使電流懸浮分量為零，如果轉(zhuǎn)子發(fā)生偏移，依然會有很大的徑向力產(chǎn)生。對于無軸承電機來說，轉(zhuǎn)子的徑向動態(tài)偏移是很難避免的，為實現(xiàn)電機的穩(wěn)定懸浮運行，考慮轉(zhuǎn)子動態(tài)徑向偏移的徑向力分析是關(guān)鍵，但目前尚沒有該方面的理論研究文獻參考。

本文基于12/8極單繞組BSRM的結(jié)構(gòu)和工作原理，在等效磁路的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出電機的電感及互感表達式，進一步求取出考慮電機轉(zhuǎn)子偏心時的氣隙磁導(dǎo)表達式，采用近似分析方法推導(dǎo)出轉(zhuǎn)矩和徑向力的解析表達式，利用有限元分析軟件JMAG，從磁場分析的角度驗證了該數(shù)學(xué)模型的正確性。最后結(jié)合推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，基于JMAG和Matlab建立了單繞組BSRM初步的動態(tài)仿真模型，對電機的懸浮與旋轉(zhuǎn)控制進行了動態(tài)仿真。

2 單繞組BSRM結(jié)構(gòu)

圖1為三相12/8極單繞組BSRM結(jié)構(gòu)示意圖。與傳統(tǒng)雙繞組BSRM不同，每個定子極上僅有一套繞組且每套繞組獨立控制。圖1給出了A相繞組示意圖，由A1、A2、A3、A4四個線圈組成。

圖1 單繞組BSRM結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of single winding BSRM

雙繞組BSRM利用兩套繞組實現(xiàn)電機中電磁轉(zhuǎn)矩和徑向懸浮力獨立控制，而單繞組BSRM的電磁轉(zhuǎn)矩和徑向懸浮力僅由一套繞組產(chǎn)生。單繞組BSRM各相4個定子極線圈不再串聯(lián)，各線圈電流獨立控制，通過單獨控制各極線圈電流改變相對定子極下氣隙磁密的大小，當(dāng)相對定子極下氣隙磁密存在差值時，會產(chǎn)生作用在轉(zhuǎn)子上的不平衡徑向力，調(diào)節(jié)各線圈電流大小從而改變徑向懸浮力的大小，進而保證轉(zhuǎn)子在圓心位置穩(wěn)定懸浮運行。

3 徑向力與轉(zhuǎn)矩數(shù)學(xué)模型

3.1 假設(shè)條件

準確的數(shù)學(xué)模型是研究電機后續(xù)控制系統(tǒng)的關(guān)鍵。本文在等效磁路的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了電感和互感的表達式，然后進一步求取氣隙磁導(dǎo)，得到電機的電感矩陣表達式。在此基礎(chǔ)上利用機電能量轉(zhuǎn)換關(guān)系求出電機的電磁轉(zhuǎn)矩和徑向懸浮力的表達式。根據(jù)有限元分析結(jié)果，建立模型過程中做了如下假設(shè)：

(1)忽略磁路飽和影響和漏磁鏈。

(2)忽略定子交鏈轉(zhuǎn)子槽底的磁通。

(3)忽略水平方向(α方向)和垂直方向(β方向)徑向力的耦合。

(4)在轉(zhuǎn)子齒極與定子齒極重疊的部分認為磁路為直線，定轉(zhuǎn)子極非重疊區(qū)的磁路為橢圓形磁路。

3.2 繞組自感與互感

圖2 等效磁路圖Fig.2 Magnetic equivalent circuit

依據(jù)磁路基爾霍夫定律可得：

(1)

根據(jù)磁場的高斯定理，有：

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)，可以推導(dǎo)出A相繞組之間的自感和互感表達式。A相繞組的自感和互感表達式分別如式(3)和式(4)所示：

(3)

(4)

式中，P=Pa1+Pa2+Pa3+Pa4，表示A相氣隙磁導(dǎo)之和。

3.3 氣隙磁導(dǎo)的計算

因為定轉(zhuǎn)子均為圓形極弧，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離圓心位置時，定轉(zhuǎn)子極間氣隙并非均勻變化，根據(jù)文獻[11]得到轉(zhuǎn)子軸在水平方向偏移αmm、垂直方向偏移βmm后的氣隙長度表達式：

(5)

式中，g0、g1分別為轉(zhuǎn)子偏心前、后的氣隙長度；θm為定子極弧的機械位置角。可見，利用磁路分割法計算氣隙磁導(dǎo)時，不同的定子極弧機械位置處轉(zhuǎn)子偏心時氣隙長度是不相同的。

分析氣隙磁導(dǎo)前，利用有限元軟件仿真了12/8極單繞組BSRM的磁力線分布。仿真參數(shù)為:外定子外徑D1=155mm，定子極內(nèi)徑D2=90mm，轉(zhuǎn)子極外徑D3=88mm，轉(zhuǎn)子內(nèi)徑D4=34.5mm，轉(zhuǎn)子軛厚d=12.5mm，單邊氣隙長度g0=1mm，轉(zhuǎn)子軸向長度h=132mm。圖3為磁力線分布圖，由放大的氣隙處磁力線可見，定轉(zhuǎn)子極間磁力線可以近似認為是直線磁力線，而極邊緣處磁力線可以用橢圓型磁力線近似。

圖3 有限元仿真的磁力線分布圖Fig.3 FEM based calculation of magnetic flux distribution

本文在解析建模中，定轉(zhuǎn)子極間采用直線磁路，極邊緣采用橢圓型磁路，定轉(zhuǎn)子極重疊部分的氣隙磁導(dǎo)用P1a1表示，邊緣磁路的氣隙磁導(dǎo)分別為P2a1、P3a1。根據(jù)邊緣磁路的對稱性，取P2a1=P3a1，因而氣隙磁導(dǎo)Pa1為：

(6)

利用磁路分割法得到：

(7)

(8)

式中，r為轉(zhuǎn)子外徑；μ0為空氣磁導(dǎo)率；θ為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)位置角。詳細推導(dǎo)過程見文獻[11]。根據(jù)電機結(jié)構(gòu)對稱性特點，進一步得到各氣隙磁導(dǎo)的表達式：

(9)

3.4 徑向懸浮力解析式

SRM定轉(zhuǎn)子極間氣隙很小，當(dāng)定轉(zhuǎn)子極開始對齊時轉(zhuǎn)子徑向受力主要受極間磁路影響，邊緣磁路對徑向力的影響很小，因此在電感矩陣計算過程中忽略了邊緣氣隙磁導(dǎo)。同時為簡化分析，忽略了轉(zhuǎn)子水平偏移量對轉(zhuǎn)子垂直方向的受力、垂直方向偏移量對水平方向受力的影響，只考慮了水平偏移對轉(zhuǎn)子水平方向受力、垂直方向偏移對轉(zhuǎn)子垂直方向受力的影響。

當(dāng)不考慮垂直方向偏移量對水平方向力的影響時，將式(9)代入式(3)和式(4)中并近似分析，可得此時A相繞組的自感和互感表達式分別如式(10)、式(11)所示：

(10)

(11)

儲存在A相繞組四個齒極下的氣隙磁場能量Wa為：

(12)

根據(jù)機電能量轉(zhuǎn)換原理，作用在轉(zhuǎn)子上的徑向懸浮力Fα可由磁場儲能Wa對α求偏導(dǎo)得到，如式(13)所示。同理可以求得作用在轉(zhuǎn)子上的徑向懸浮力Fβ，如式(14)所示。

事實上，對于單繞組BSRM來說，只需要調(diào)節(jié)四個線圈電流ia1、ia2、ia3、ia4中兩個電流便可實現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向力的調(diào)節(jié)。因此實際控制時，可以取另外兩線圈電流相同，這樣數(shù)學(xué)模型式(13)和式(14)便可進一步簡化。

3.5 電磁轉(zhuǎn)矩的計算

在分析電磁轉(zhuǎn)矩時，邊緣磁路是不可忽略的，由有限元分析結(jié)果可知轉(zhuǎn)子徑向偏移量對電磁轉(zhuǎn)矩影響較小，因此本文在轉(zhuǎn)矩模型推導(dǎo)中忽略了轉(zhuǎn)子偏移量，并將Pa1～Pa4改寫為：

(15)

將式(15)代入式(3)和式(4)中，可得不考慮偏心時，A相繞組的自感和互感表達式，如式(16)～式(18)所示：

(16)

(17)

(18)

根據(jù)機電能量轉(zhuǎn)換原理，作用在轉(zhuǎn)子上的電磁轉(zhuǎn)矩T可由磁場儲能對θ求偏導(dǎo)得到，如式(19)所示:

4 數(shù)學(xué)模型的有限元驗證

為驗證本文徑向懸浮力和電磁轉(zhuǎn)矩數(shù)學(xué)模型的正確性，將解析計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果進行了對比。有限元模型和解析計算樣機參數(shù)為：定子鐵心外徑D1=155mm，定子極內(nèi)徑D2=90mm，繞組匝數(shù)N=72，定、轉(zhuǎn)子軸向疊片長度h=132mm，平均氣隙長度g0=1.0mm。

圖4與圖5分別為轉(zhuǎn)子不偏移、轉(zhuǎn)子偏移0.1mm、轉(zhuǎn)子偏移0.3mm時，電磁轉(zhuǎn)矩和徑向懸浮力Fα隨角度變化的比較圖。其中繞組電流ia1=ia2=ia3=ia4=2A。

圖4 線圈電流相同時電磁轉(zhuǎn)矩比較Fig.4 Torque comparision results (ia1=ia2=ia3=ia4=2A)

圖5 線圈電流相同時徑向力比較Fig.5 Radial force comparision results (ia1=ia2=ia3=ia4=2A)

由圖4可以看出，在一相各線圈電流相同，轉(zhuǎn)子發(fā)生不同程度的偏移時，電磁轉(zhuǎn)矩的有限元仿真結(jié)果與本文所推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型計算結(jié)果基本一致。本文轉(zhuǎn)矩數(shù)學(xué)模型式(19)沒有考慮轉(zhuǎn)子偏移，有限元仿真結(jié)果考慮了轉(zhuǎn)子偏移對電磁轉(zhuǎn)矩的影響，但偏移情況下有限元計算轉(zhuǎn)矩結(jié)果與數(shù)學(xué)模型計算結(jié)果基本一致，證明本文轉(zhuǎn)矩建模中忽略偏心影響假設(shè)的可行性。

由圖5可以看出，徑向懸浮力解析計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本吻合。徑向力的有限元仿真結(jié)果中考慮到了α方向和β方向偏移量之間的耦合關(guān)系，而數(shù)學(xué)模型中沒有考慮此耦合影響，對比結(jié)果證明了該忽略假設(shè)的合理性。同時，盡管A相各極繞組的電流均相同，但是當(dāng)轉(zhuǎn)子在α方向發(fā)生偏移時，徑向力Fα有較大的變化。由圖5中徑向力的方向可以看出，轉(zhuǎn)子所受徑向力方向與水平偏移方向相同，此時如果不對繞組電流進行合理控制就不能保證電機的穩(wěn)定懸浮運行。

圖6與圖7分別為改變某一線圈電流時的電磁轉(zhuǎn)矩和徑向懸浮力，其中ia3=4A，ia1=ia2=ia4=2A。對比結(jié)果同樣說明了本文解析建模的正確性、合理性。

圖6 線圈電流不同時電磁轉(zhuǎn)矩比較Fig.6 Torque comparision results (ia3=4A，ia1=ia2= ia4=2A)

圖7 線圈電流不同時徑向力比較Fig.7 Radial force comparision results (ia3=4A，ia1=ia2=ia4=2A)

由圖7可知，有目的地改變某線圈電流后，電機轉(zhuǎn)子所受徑向懸浮力方向可以與轉(zhuǎn)子偏移方向相反，從而可有效地改變轉(zhuǎn)子的偏移程度，以保證電機穩(wěn)定懸浮運行。

綜合上述對比結(jié)果可知，雖然本文在電磁轉(zhuǎn)矩和徑向懸浮力的公式推導(dǎo)過程中做了一些近似處理，但與不做近似處理的有限元仿真結(jié)果相近，說明了該數(shù)學(xué)模型的準確性和推導(dǎo)中近似處理的可行性。該模型的建立為后續(xù)研究單繞組BSRM的控制系統(tǒng)提供了可靠的理論依據(jù)。

5 控制系統(tǒng)動態(tài)仿真

本文利用Matlab/Simulink和JMAG聯(lián)合仿真對該電機的控制系統(tǒng)進行了初步研究，完成了單繞組BSRM的動態(tài)運行仿真。為了保證電機穩(wěn)定懸浮運行，需對每相各個線圈電流進行合理控制，使電機在水平和垂直方向所受徑向力保持為零。圖8為徑向懸浮力與轉(zhuǎn)矩控制框圖，其中電流控制環(huán)的電流上下限均為(i±0.4)A，i1ref、i2ref、i3ref、i4ref代表每相四個線圈的參考電流值。

圖8 控制系統(tǒng)的模型框圖Fig.8 Block diagram of control system model

利用本文推導(dǎo)的徑向力和轉(zhuǎn)矩公式(式(13)、式(14)和式(19))，依據(jù)轉(zhuǎn)矩給定值及每相四個線圈電流相等的原則，首先計算得到線圈電流參考值iref；再按照轉(zhuǎn)子徑向所受合力為零的原則，判斷需調(diào)節(jié)電流的線圈編號并計算該線圈電流參考值。本仿真中采用單繞組BSRM有限元模型，轉(zhuǎn)子在水平方向偏移0.1mm，因此線圈1、2、4電流依據(jù)轉(zhuǎn)矩計算的參考值調(diào)節(jié)，而線圈3電流依據(jù)徑向力計算的參考值調(diào)節(jié)。

圖9 各線圈電流參考值曲線Fig.9 Reference currents of four coils

圖10 各線圈實際電流曲線Fig.10 Actual currents of four coils

給定轉(zhuǎn)矩Tref=0.2N·m、轉(zhuǎn)速為1000r/min穩(wěn)定運行時，依據(jù)數(shù)學(xué)模型計算得到的各電流參考值如圖9所示，聯(lián)合動態(tài)仿真的繞組實際電流如圖10所示，電磁轉(zhuǎn)矩、徑向懸浮力波形分別如圖11和圖12所示。

圖11 轉(zhuǎn)矩隨時間變化曲線Fig.11 Magnetic torque curve

圖12 徑向力隨時間的變化曲線Fig.12 Rotor radial forces curves

電機實際電流動態(tài)跟蹤給定電流，并輸出預(yù)定轉(zhuǎn)矩，同時依據(jù)徑向受力最小控制策略，調(diào)節(jié)依據(jù)轉(zhuǎn)矩要求計算出的其中一個線圈的電流參考值，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子徑向受力平均值在零值附近波動。動態(tài)仿真結(jié)果初步驗證了利用本文推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型實現(xiàn)單繞組BSRM懸浮與旋轉(zhuǎn)的可行性。電流仿真結(jié)果可以看出，電流斬波的上下限仿真結(jié)果與計算參考值略有誤差，圖11中電磁轉(zhuǎn)矩的平均值也略小于0.2N·m，這與有限元結(jié)合Matlab聯(lián)合仿真的速度有關(guān)，尤其有限元計算較慢，實際控制系統(tǒng)的處理速度要高于仿真模型，同時結(jié)合轉(zhuǎn)矩與徑向力的控制策略，電機的實際運行性能可得到進一步的改善。

6 結(jié)論

考慮轉(zhuǎn)子偏移對轉(zhuǎn)子徑向受力影響的不可忽略性，本文針對單繞組無軸承開關(guān)磁阻電機建立了考慮轉(zhuǎn)子偏心的徑向力數(shù)學(xué)模型及轉(zhuǎn)矩數(shù)學(xué)模型。有限元結(jié)果以及初步的動態(tài)仿真結(jié)果驗證了模型的正確性和實用性，為該電機進一步的實驗研究提供了理論依據(jù)。本文考慮轉(zhuǎn)子偏心影響的模型建立思路及結(jié)論也可為磁軸承及其它無軸承類電機的徑向力分析提供參考。

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Rotor eccentricity suspension force analysis and calculation of single winding bearingless switched reluctance motor

WANG Cui, WANG Xi-lian

(School of Electrical Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

The rotor eccentricity running is unavoidable for the bearingless types motor, and the finite element analysis results show that the rotor radial force is definitely affected by the rotor eccentricity. Supposing that the rotor eccentricity position is neglected, it is very difficult to accomplish the rotor steady suspension running. Currently, the rotor radial eccentricity does not be taken into account while calculating radial force of the bearingless types motor in the related references, that is to say the radial force can be calculated only when the rotor runs in the central position. In view of the above, the radial force analytical model is derived based on an approximate analysis method to obtain the mathematical relationships among the winding currents, the motor structure parameters, the rotor eccentricity position, the rotation angle, and the radial suspension forces. Refering to the finite element simulation results show that the rotor eccentricity has little influence on the torque, the electromagnetic torque analytical model is derived when the rotor eccentricity position is ignored. The proposed analytical model is verified by finite-element analysis results. Finally, a dynamic control of radial force and torque is primarily studied to show the correction and practicability of the analytical model.

single winding；bearingless; switched reluctance motor； mathematical model； eccentricity

2015-12-02

國家自然科學(xué)基金項目 (50907004)、 財政部、 教育部基本科研業(yè)務(wù)費項目(2014JBM111)

王 翠(1989-)， 女， 河北籍， 碩士研究生， 主要研究方向為無軸承開關(guān)磁阻電機及其控制; 王喜蓮(1974-)， 女， 內(nèi)蒙古籍， 教授， 博士， 主要研究方向為無軸承開關(guān)磁阻電機及其控制等。

TM352; TM133.3

A

1003-3076(2016)07-0042-08