☉山東省棗莊市第十五中學(xué)　王介寅　李其明

?

“國(guó)粹”臉譜、“蛋圓”與中考?jí)狠S題

☉山東省棗莊市第十五中學(xué)王介寅李其明

中國(guó)，是擁有五千年歷史的古國(guó)，它具有十分豐富的文化傳承，其中京劇就是一門重要的藝術(shù)，常常受到外國(guó)友人的青睞.看到圖1所示的京劇臉譜了嗎？其實(shí)它們可以看成是一個(gè)半圓與拋物線的一部分組合成的封閉圖形，我們稱之為“蛋圓”（形狀類似于雞蛋）.

圖1

2015年山東省威海市中考數(shù)學(xué)試題：我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”（形狀類似于雞蛋），如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖2，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，AB為半圓的直徑，點(diǎn)M為圓心，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4）.

（1）你能求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看.

（2）請(qǐng)你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

（3）你能求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式嗎？若能，請(qǐng)寫出過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

一、考題解法探究

分析：（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，用交點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，把D的坐標(biāo)代入即可.自變量的取值范圍是點(diǎn)A、B之間的數(shù).

（2）先設(shè)出切線與x軸交于點(diǎn)E.利用直角三角形相應(yīng)的三角函數(shù)求得EM的長(zhǎng)，進(jìn)而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，把C、E的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求得所求的解析式.

（3）設(shè)出所求函數(shù)的解析式，讓它與二次函數(shù)組成方程組，消除y，讓根的判別式為0，即可求得一次函數(shù)的比例系數(shù)k.

解：（1）如圖3，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線CE交x軸于點(diǎn)E，連接CM，則CM⊥CE.

由A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），AB為半圓的直徑，點(diǎn)M為圓心，得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），則AO= 2，BO=4，OM=1.

因?yàn)镃O⊥x軸，所以CO2=AO·OB，解得CO=2

由CM⊥CE，CO⊥x軸，得CO2=EO·OM，解得EO=8，則E點(diǎn)的坐標(biāo)是（-8，0），則切線CE的解析式為y=x+

圖3

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4）（a≠0）.又點(diǎn)D（0，-4）在拋物線上，則a=x2-x-4，自變量的取值范圍是：-2≤x≤4.

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)D（0，-4）的“蛋圓”切線的解析式為：y= kx-4（k≠0）.

點(diǎn)評(píng)：本題以半圓與拋物線合成的封閉圖形“蛋圓”為背景，考查一次函數(shù)、二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，解題過(guò)程中涉及解一元一次方程、一元二次方程、方程組相關(guān)知識(shí)與技能，是一道綜合性很強(qiáng)的試題.

二、考題的引申

引申1：其他條件不變，求被y軸截得的弦CD的長(zhǎng).

分析：連接AC、BC，由已知的A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AO、BO、DO的長(zhǎng)，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出CD的長(zhǎng).

引申2：其他條件不變，已知點(diǎn)E是“蛋圓”上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是F，若點(diǎn)F也在“蛋圓”上，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖4

分析：如圖4，假設(shè)點(diǎn)E在x軸上方的“蛋圓”上，EF與x軸交于點(diǎn)H，連接EM.由HM2+EH2=EM2，點(diǎn)F在二次函數(shù)y=x2-x-4的圖像上，可得方程組，再根據(jù)對(duì)稱性求解.

引申3：其他條件不變，求“蛋圓”在第一象限的圖像上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖5

分析：如圖5，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式和配方法得到△PBC的面積的最大值.