☉江蘇省如皋市下原初中　張　娜

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將興趣培養(yǎng)滲透在概念教學(xué)的不同階段*——以“銳角三角函數(shù)”為例

☉江蘇省如皋市下原初中張娜

在學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，興趣是最好的老師.一旦學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣被激起，其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會(huì)被注入強(qiáng)勁的動(dòng)力.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)重視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng).要將興趣培養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的常態(tài)任務(wù)，融入到概念教學(xué)的不同階段，使學(xué)生充分感受到“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是快樂(lè)的”.本文將結(jié)合人教版九年級(jí)下冊(cè)“28.1銳角三角函數(shù)”的部分教學(xué)片斷，談?wù)劰P者的一些做法，不足之處敬請(qǐng)各位批評(píng)指正.

一、理清概念本質(zhì)，培養(yǎng)探究興趣

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是基礎(chǔ)性教學(xué)，它是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能的根本途徑.當(dāng)然，在獲得上述“雙基”的同時(shí)，學(xué)生還能感悟到知識(shí)獲得過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和被反復(fù)應(yīng)用的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).所以，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也應(yīng)從數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)入手.李邦河院士曾說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)就是玩概念的”，我們應(yīng)在學(xué)生獲得概念的過(guò)程中，就讓他們感受到“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一件輕松的事”，并以此為契機(jī)培養(yǎng)學(xué)生的探究興趣.

案例1“正弦”概念教學(xué).

教師讓學(xué)生分別探究了30°、45°角所對(duì)的直角邊與斜邊的比值，初步感知了“直角三角形中，當(dāng)銳角的度數(shù)確定時(shí)，其對(duì)邊與斜邊的比值是不會(huì)變化的”.接下來(lái)，教師將教材中的“探究”投影，讓學(xué)生自主探究.

探究：任意畫(huà)Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，那么有什么關(guān)系？你能解釋一下嗎？

在學(xué)生自主探究結(jié)束后，教師安排學(xué)生在小組中進(jìn)行了交流.

在全班交流中，學(xué)生將他們的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行了分享.他們一致認(rèn)為題中給出的兩個(gè)直角三角形是相似的，所以（教師板書(shū)），對(duì)比例式進(jìn)行變形可得BC AB=（教師板書(shū)）.接下來(lái)，教師請(qǐng)學(xué)生結(jié)合剛剛“特殊—一般”的經(jīng)歷小結(jié)探究結(jié)論.經(jīng)過(guò)師生互動(dòng)，得出結(jié)論：在Rt△ABC中，如果銳角A的度數(shù)一定，那么其對(duì)邊與斜邊的比值將是一個(gè)定值.

教師進(jìn)一步追問(wèn)：“當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，直角三角形中還有哪些邊的比值也是定值呢？”學(xué)生分別給出了“斜邊與這個(gè)銳角的對(duì)邊的比值、另一條直角邊（即銳角的鄰邊）與斜邊的比值、兩條直角邊的比值等都是定值”的結(jié)論.

至此，教師揭示“正弦”的定義，并將對(duì)應(yīng)的圖形和定義文本進(jìn)行了板書(shū).同時(shí)，讓學(xué)生求出三個(gè)特殊銳角（30°，45°，60°）的正弦值，并將結(jié)果寫(xiě)在黑板上.

案例分析：概念獲得是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn).為了幫助學(xué)生理清概念的本質(zhì)，案例中教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊角度入手，初步感知“比值是定值”.隨著“探究”的深入，學(xué)生的認(rèn)知由“特殊”走向了“一般”.自主探究，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形是相似的.小組交流，讓學(xué)生將自己獲得的結(jié)論和探究結(jié)論的過(guò)程進(jìn)行了分享，進(jìn)一步感知“比值不變”的實(shí)質(zhì).全班交流，充分的自主探究與小組交流，讓絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)同了從相似入手展開(kāi)說(shuō)理的證明方法，教師將比例式及其變形結(jié)果展示在黑板上，讓學(xué)生對(duì)“邊的比值是定值”有了更加深刻的認(rèn)知.教師的追問(wèn)“還有哪些邊的比值也是定值呢”，完全順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，不僅強(qiáng)化了對(duì)“正弦”概念的本質(zhì)的認(rèn)知，還將探究的深度進(jìn)一步拓展，為后面的“余弦”、“正切”及“余切”（說(shuō)明：這一知識(shí)在下一學(xué)段學(xué)習(xí)）的學(xué)習(xí)埋下伏筆.在此過(guò)程中，學(xué)生的認(rèn)知由膚淺走向深刻，教師為學(xué)生所做的每一次鋪墊，都將成為培養(yǎng)學(xué)生探究興趣的“基石”，他們比較會(huì)拾級(jí)而上，在新知探究之路上越走越遠(yuǎn).

二、體驗(yàn)文圖轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)應(yīng)用興趣

數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科，其應(yīng)用性是不用質(zhì)疑的.因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不能只著眼于概念教學(xué)，還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用概念解決問(wèn)題的能力.要知道，在學(xué)生應(yīng)用能力提升的過(guò)程中，他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解將會(huì)逐漸加深，并由此產(chǎn)生對(duì)其他相關(guān)概念的正向遷移，形成問(wèn)題解決的“聚集效應(yīng)”.在此過(guò)程中，反復(fù)的應(yīng)用嘗試，學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決成敗的強(qiáng)烈體驗(yàn)，將會(huì)迅速激活學(xué)生的探究熱情，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的興趣也就此逐步養(yǎng)成.在“銳角三角函數(shù)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生獲得概念是比較容易的，但如何將概念應(yīng)用到含有復(fù)雜圖形的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，不同的學(xué)生會(huì)有著不同的差異.所以，我們?cè)趯W(xué)生獲得概念之后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將圖形與文本聯(lián)系起來(lái)，從培養(yǎng)學(xué)生的分析能力上入手，以文圖轉(zhuǎn)化培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用概念解決問(wèn)題的興趣.

案例2“正弦”的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

在學(xué)生獲得了正弦的概念之后，我們安排下面的例題，讓學(xué)生將題目文本中的條件標(biāo)注到圖上，并自主解答，然后在組內(nèi)交流解題的思路、用到的知識(shí)和結(jié)果.

例題：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.求sinB的值.

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13.求sinA的值.

圖1

圖2

根據(jù)解題要求，學(xué)生先解讀文本信息，并將部分條件標(biāo)注在圖形對(duì)應(yīng)位置上，例如，在圖1和圖2中用直角符號(hào)標(biāo)注∠C，在兩幅圖的線段旁標(biāo)注長(zhǎng)度等.根據(jù)正弦的定義，絕大多數(shù)同學(xué)能給出正確的結(jié)果.于是，教師組織學(xué)生開(kāi)展了小組內(nèi)的交流，由于有了自主解答的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的交流十分熱烈，也取得了很好的效果.最后，教師將同學(xué)們解答與交流中的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行了集中點(diǎn)評(píng)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了“讀題標(biāo)注，文圖呼應(yīng)”做法的好處，希望大家在今后的解題中能按照這里的步驟進(jìn)行.在接下來(lái)的自主練習(xí)時(shí)間里，教師一共呈現(xiàn)了5道題目讓學(xué)生自主解答，其中3道填空題，2道解答題，由于篇幅限制，這里就不再贅述了.

案例分析：例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂的核心環(huán)節(jié).在學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中，例題教學(xué)不僅要幫助學(xué)生鞏固“四基”，還要在發(fā)展“四能”，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣上做貢獻(xiàn).所以，一線老師一般都非常重視例題及其教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施.案例中，這兩道例題出現(xiàn)在學(xué)生獲得了“正弦”的概念之后，是對(duì)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用與即時(shí)鞏固.從給出的這兩道例題不難看出教者是動(dòng)了腦筋的，首先，這里給出的邊長(zhǎng)是兩組“勾股數(shù)”，學(xué)生想要得出第三條邊的長(zhǎng)度只需經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的口算即可，不讓學(xué)生在計(jì)算上糾結(jié)，在節(jié)約了探究時(shí)間的同時(shí)，讓新知成為了教學(xué)核心，有利于激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用熱情；給出的圖形“不正”，與概念歸納時(shí)的圖形差別較大，概念應(yīng)用變?yōu)榱祟H具新意的“創(chuàng)造”，而非“臨摹”；最后，解題要求十分明確，讓學(xué)生“先在圖中標(biāo)注，再解答”，教者的例題教學(xué)定位顯然不只是概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用，他還關(guān)注了學(xué)生審題習(xí)慣的培養(yǎng)，力求以例題的解答使學(xué)生形成一定的解題技能.在上面的自主探究與師生、生生的互動(dòng)交流中，文本、圖形、符號(hào)、數(shù)字都是交流的內(nèi)容，信息載體的多樣化豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，他們要將信息不停地用語(yǔ)言、動(dòng)作進(jìn)行互化、轉(zhuǎn)譯，使之成為自己能說(shuō)清、別人能聽(tīng)懂的“語(yǔ)言”或動(dòng)作.如此訓(xùn)練，“文圖互化”必將成為學(xué)生默會(huì)的一項(xiàng)技能，融入到學(xué)生解題能力之中，與此同步形成的還有應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題的興趣.

三、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)創(chuàng)新興趣

在初中階段，數(shù)學(xué)模型一般是用字母、數(shù)字和其他數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、圖形等來(lái)描述外在特征及其內(nèi)部聯(lián)系的模型，它是學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要工具.在學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本概念之后，數(shù)學(xué)模型就應(yīng)走在教學(xué)的“前臺(tái)”，成為重要的教學(xué)內(nèi)容.模型的建構(gòu)應(yīng)是基于不同數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用之上形成的，這些概念間一定有著至少是內(nèi)在或外在某一方面的聯(lián)系.為了讓這些有一定關(guān)聯(lián)的概念在學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)中能“拉上關(guān)系”，我們可以設(shè)置適量的綜合性“探究”活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)已有知識(shí)、技能的綜合性提取及應(yīng)用，分析活動(dòng)中隱藏的知識(shí)“銜接點(diǎn)”，從而推動(dòng)“概念鏈”的形成，這些附著于“鏈條”之上的圖形、符號(hào)、文本等串成“新”的模型，鑄就了數(shù)學(xué)“疑難雜癥”的化解之道.

案例3“正弦”概念之“拓展提升”.

待本節(jié)課的4道例題教學(xué)結(jié)束后，教師安排了如下的“探究”：

探究：如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC=8，BC=6.請(qǐng)用盡可能多的方法求CD的長(zhǎng).

圖3

根據(jù)要求，學(xué)生先自主探究，然后在小組中交流各自的方法.10分鐘后，小組交流結(jié)束.教師請(qǐng)學(xué)生以小組為單位展示解法，通過(guò)不同小組的矯正與完善，全班共給出包括了“面積法”、“勾股+方程”、“相似法”及“函數(shù)法”等近10種解法，其中以本課知識(shí)為主要工具的解法有如下兩種.

解法一：根據(jù)勾股定理可得AB=10（下同）.在Rt△ABC和Rt△ACD中，sinA=

在學(xué)生給出這兩種方法后，教師引導(dǎo)他們進(jìn)行小結(jié)，形成結(jié)論：同一個(gè)銳角的正弦在不同的直角三角形中可以有不同的表示方法，這些表示方法能夠形成比例式，如果讓未知數(shù)加入就可以得到方程，從而求出圖形中的線段的長(zhǎng)度.在學(xué)生陳述過(guò)程中，教師將學(xué)生的語(yǔ)言進(jìn)行了“提煉”，簡(jiǎn)化形成數(shù)學(xué)模型（解題模型），并板書(shū)，如圖4.

圖4

為了對(duì)這一數(shù)學(xué)模型進(jìn)行鞏固，教師還安排了幾道配套的練習(xí)讓學(xué)生自主解答.

案例分析：初中階段數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，更多的體現(xiàn)在學(xué)生問(wèn)題解決中.它來(lái)自于學(xué)生問(wèn)題解決的過(guò)程之中，又重新服務(wù)問(wèn)題解決.因此，想要建構(gòu)出有效的數(shù)學(xué)模型，就應(yīng)該像案例中那樣依托于問(wèn)題解決，從問(wèn)題解決的過(guò)程中進(jìn)行抽象提取.當(dāng)學(xué)生獲得“正弦”的概念之后，教師敏銳地捕捉到這一概念與前面知識(shí)間的聯(lián)系.于是，一題多解的探究就此展開(kāi)，“用盡可能多的方法求CD的長(zhǎng)”讓學(xué)生的思維徹底打開(kāi)，他們“不得不”從自己已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中搜索出能夠化解問(wèn)題的知識(shí)，組合，鏈接.在經(jīng)歷了充分的自主探索和小組交流之后，教師期待的探究成果不斷涌現(xiàn)，近10種解法的出現(xiàn)給接下來(lái)的全班交流提供了豐富的資源.教師重點(diǎn)選擇了與本課高度相關(guān)的兩種解法進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)，并從中抽象出今后適用的數(shù)學(xué)模型.在今后的問(wèn)題解決中，學(xué)生只需沿著模型預(yù)設(shè)好的路徑展開(kāi)聯(lián)想，同類(lèi)問(wèn)題的化解不在話下.很顯然，教師預(yù)設(shè)的探究活動(dòng)，指向了數(shù)學(xué)模型，但學(xué)生獲得的不僅僅是數(shù)學(xué)模型，與此同步的還有創(chuàng)新興趣的激活.在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，一旦概念進(jìn)入應(yīng)用提升環(huán)節(jié)，學(xué)生的創(chuàng)新興趣會(huì)被“觸發(fā)”，由此引發(fā)的生成一定是豐富多彩的.

數(shù)學(xué)是抽象的.豐富的文本，復(fù)雜的圖形，煩瑣的數(shù)量關(guān)系，讓很多抽象思維并不發(fā)達(dá)的學(xué)生失去了學(xué)習(xí)的興趣.為了避免學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中漸行漸遠(yuǎn)，我們一直努力將興趣培養(yǎng)“安放”在概念教學(xué)進(jìn)程之中.接觸概念，培養(yǎng)其探究興趣；問(wèn)題解決，培養(yǎng)其應(yīng)用興趣；建構(gòu)模型，培養(yǎng)其創(chuàng)新興趣……如此種種，將興趣培養(yǎng)融合到概念教學(xué)的不同階段，不僅能使學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和基本技能，還能很好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情，并形成進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.為此，我們將繼續(xù)努力前行，課前，充分準(zhǔn)備；課上，精心實(shí)施；課后，及時(shí)反思.在前行的路上，期盼著更多同行專(zhuān)家給予我們指點(diǎn)和幫助！