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        淺析化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

        2016-04-29 00:00:00許世林
        新課程·下旬 2016年5期

        摘 要:化歸思想指的是將未知轉(zhuǎn)化為已知,將難化易,將各種難以理解的問題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的問題,以更好、更快地解決問題。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,化歸思想的應(yīng)用更為廣泛。結(jié)合實際,淺析化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

        關(guān)鍵詞:化歸思想;高中數(shù)學(xué);基本原則

        波利亞曾經(jīng)說過:“解決問題需要不斷地變換,需要一再變化它,重新敘述它,直到最后成功地找到某些有用的東西為止……”這也提示我們在解決一些復(fù)雜問題時需要掌握和善于運用一種轉(zhuǎn)化思想,即化歸思想,也就是善于將復(fù)雜的問題往容易解決的、已知的、熟悉的問題方向轉(zhuǎn)化。因數(shù)學(xué)具有的獨特特點,將化歸思想貫穿在整個問題解決和教學(xué)過程中十分重要且必要,為了更好地發(fā)揮化歸思想在數(shù)學(xué)問題解決中的作用,促使學(xué)生更好地掌握和運用化歸思想,下面筆者對化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用加以淺析。

        一、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用化歸思想的基本原則

        1.熟悉化原則:把未知不熟悉的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為已知熟悉的數(shù)學(xué)問題,借助已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識和解決方法來解決未知不熟悉的數(shù)學(xué)問題。

        2.簡單化原則:有一些數(shù)學(xué)問題常常含有不少復(fù)雜繁瑣的條件,使學(xué)生看到此類問題無從下手。此時,教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生善于提取關(guān)鍵詞,用簡潔的方式表示該數(shù)學(xué)問題想要表示的含義,便于學(xué)生找到解決問題的突破口。

        3.和諧化原則:指的是將問題的展現(xiàn)形式轉(zhuǎn)化為更加符合數(shù)學(xué)本身和諧統(tǒng)一的特點。例如,在三角形ABC中,證明acos2+ccos2=(a+b+c)。在這個證明中,借助半角公式、余弦定理可以將左邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為含有a、b、c的關(guān)系式,這樣也就轉(zhuǎn)化了三角形邊的關(guān)系式,得出證明結(jié)果,且體現(xiàn)了和諧化原則。

        二、化歸思想指導(dǎo)下經(jīng)常采用的幾種數(shù)學(xué)方法

        1.直接轉(zhuǎn)化法:將所需要解決的數(shù)學(xué)難題直接轉(zhuǎn)化為涉及基本定義、定理、公式或基本圖形的數(shù)學(xué)問題,以便于利用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識和技巧加以解決。

        2.換元法:指的是把形式較復(fù)雜或者不標(biāo)準(zhǔn)的方程、不等式、函數(shù)化歸為形式較簡單易于解決的基本問題。

        3.坐標(biāo)法:這種方法也比較常見,即在掌握平面圖形或者空間幾何圖形實際情況的基礎(chǔ)上,畫出平面的直角坐標(biāo)系或空間的直角坐標(biāo)系,采用坐標(biāo)的形式表示平面圖形或者空間幾何圖形的各個點,借助已經(jīng)掌握的坐標(biāo)計算法將所需要的數(shù)量關(guān)系表示出來。在數(shù)學(xué)問題的解決中,最常見的就是借助直角坐標(biāo)系把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題或者代數(shù)問題。值得注意的是,這種方法需要學(xué)生具有較強的運算能力。

        4.類比法:指的是借助類比推理把未知的不熟悉的問題類比為已知的、已經(jīng)解決的簡單問題,化難為易。例如,等差數(shù)列類比、等比數(shù)列類比、三種圓錐曲線性質(zhì)之間的類比等。

        三、化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的基本類型

        1.等價變換:指的是將問題的條件或者結(jié)論改變,將復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為等價的一個或者幾個比較簡單的數(shù)學(xué)問題。例如,在三角形ABC中,csinA=acosC,求角C的大小?在解決這道問題時,教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過等價變換的方式將csinA=acosC等價變換成==,由此運用熟悉的已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗得出角C的大小。

        2.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化:雖然數(shù)與形看似比較矛盾,其實若在數(shù)學(xué)問題的解決中將兩者的聯(lián)系快速找出,則便于提高解決問題的速度,提高解決問題的能力。例如,若x+y+1=0,那么的最小值是多少。在解決這道問題時,教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化將上述問題的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與圓位置關(guān)系的問題,即將看作是點(x,y)到點(-1,-1)的距離,而點(-1,-1)到直線x+y+1=0的距離就是最短距離,這樣可以借助幾何性質(zhì)達到求解的目的。

        3.正與反的轉(zhuǎn)化:在解決問題的過程中,如果從正面角度不能將答案找出時,教師可以指導(dǎo)學(xué)生換一個角度思考解決問題的方法,指導(dǎo)學(xué)生站在問題的反面來對未知量加以思考,進而求解。例如,求(2-)8展開式中不含有x4項的系數(shù)的和。教師可以指導(dǎo)學(xué)生從反面思考問題,如將不含有x4項的系數(shù)的和設(shè)為A,將(2-)8各項系數(shù)之和設(shè)為B,借助已經(jīng)掌握的二項式展開性質(zhì)得出有關(guān)A和B的關(guān)系式,依次求出A和B的值,進而得出答案。

        總之,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師應(yīng)當(dāng)注重借助具體的數(shù)學(xué)問題使學(xué)生感受到化歸思想在某些數(shù)學(xué)問題解決中的重要作用,指導(dǎo)學(xué)生掌握將化歸思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題解決中的方法,以促使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維、提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

        參考文獻:

        靳世杰.高中數(shù)學(xué)化歸思想教學(xué)之我見[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2014(9):58.

        作者簡介:許世林,就職于重慶市南坪中學(xué)校,本科,研究方向為數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

        編輯 薄躍華

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