【摘 要】在“論‘超限數(shù)論’的理論基礎”一文里，我以“0單位”為基礎，把0點大膽地放大，使0點直觀，形象。并在此基礎上，建立了0單位數(shù)軸0-x，并把它順次引入到平面直角坐標系0-xy內(nèi)。這樣我成功的驗證了“論‘超限數(shù)論’的理論基礎”中推導出的理論計算公式的正確性。理論不但能驗證你的想法是否正確，還能修正你的不完善部分。這樣，不但驗證了推導出的理論計算公式的正確性，而且把它們完善到底，重述法則；把漏掉的公式再補上，再重立法則。光這一點，使我興奮，使我震撼。我意識到，“0單位”不只是一個簡單的發(fā)現(xiàn)，它是一門新興數(shù)學學科的基礎，我把這一新數(shù)學學科，叫做“0單位數(shù)學”。在這一文里，我要“全面”認識0單位數(shù)學的倫廓，“全”不“全”，大家看了再作評論。

【關(guān)鍵詞】“0”極限數(shù)學 “θ”單位數(shù)學

一、定義篇

1、.定義：0即為宇宙間的任意點，意義無限小，它存在而不可達。把無限小放大，那么0點就是一個幾何圓球O。定義：我們把這個幾何圓球O叫做0點。定義：圓球O的直徑叫做0單位。這樣，我們就把數(shù)學定義的0點升華成為有直徑有體積的圓球。其實，數(shù)學定義中的0點也應該這樣理解，就是“無限小”的你無法感受。從這個意義出發(fā)：

定義：直線是以0單位為直徑且向兩邊無限延伸的圓柱。

如圖：直線AB。

定義：線段是直線上兩個垂直平面（極限面，有面積無厚度）中間部分。

如上圖：線段EF，這樣的線段沒有端點，而只有兩端（或兩頭）。

定義：射線是直線上一個垂直平面（極限面，有面積無厚度）的一邊部分。

如上圖：射線EB，射線FA。這樣射線只有一端（或一頭）。

定義：平面是以0單位為厚度且向四周無限延伸的層。

如上圖：平面M。

概念陳述：上圖所畫的點、線、面都是極限點、線、面，只是圖形位置的標記，一種狀態(tài)、范圍的表示。只有以0單位畫的點、線、面才是真正的攝影圖案。這樣產(chǎn)生的線段，線段與線段對接，就沒了頭。這樣產(chǎn)生的平面，平面與平面對接就沒了紋。這樣產(chǎn)生的塊體，塊體與塊體的對接就沒了縫。所以，為了敘述方便，我們要把空間壓到極限平面里，把球體畫成圓圈，圓圈的直徑不但表示寬度，而且還表示厚度。

2.定義：我們把規(guī)定了0單位為原點的數(shù)軸叫做0單位數(shù)軸，簡寫成0單位0-x。為了描述方便，我們在畫圖時，不在保特畫0單位的線段—，只畫等圓圓圈就行了，數(shù)軸的三要素必須保持。

如圖：數(shù)軸單位：OOO（∞1=3）

3.定義：我們把互相垂直且有以0單位為公共原點的平面直角坐標系稱為0單位平面直角坐標系，簡寫成0單位0-xy，如圖：（∞1=3）

4.定義：我們把互相垂直且有以0單位為公共原點的空間直角坐標系稱為0單位空間直角坐標系。簡寫成0單位0-xyz，如上圖。

二、研究篇

1.對0單位數(shù)軸0-x的研究：

如圖：數(shù)軸單位：OOOO（∞1=4）O單位不再特示

Ⅰ、從數(shù)軸的原點看，原點既是0單位的點，又是0數(shù)，但0是中性數(shù)。

Ⅱ、數(shù)軸單位是以固定0單位點的個數(shù)長的線段。這樣既直觀，又便于數(shù)（或線段）的運算。

①我們把A=A=0看成歸0，規(guī)定0-0=0

②若把1個0單位點作為數(shù)軸單位，那么∞就是最大的自然數(shù)。

Ⅲ、從0單位數(shù)軸上還可以看出：=∞1=4，即1=0·∞1=0×4

這說明0和∞1互為倒數(shù)，∞1是含有4個0單位點。∞1也是數(shù)軸單位。是0單位，即=0。

Ⅳ、0單位數(shù)軸里的線段點集運算，證明了“論‘超限數(shù)論’的理論基礎”里推出的理論計算公式的正確性，并在此基礎上修正、完善，補充了推出的理論計算公式。（詳見“論‘超限數(shù)論’的理論基礎”里的第四篇，這里不再重述）

Ⅴ、在做實數(shù)（或線段）加減運算時，時常要跨越中性數(shù)0。

2、函數(shù)在0單位0-xy中的表現(xiàn)：

Ⅰ、畫正比例函數(shù)y=kx的圖像

例1、在0單位0-xy中畫y1=2x、y2=-2x、y0=x、y3=x、y4=-x的圖像

解：

x…-2-1012…

y1…-4-2024…

y2…420-2-4…

y0…-2-1012…

y3…-1-0 1…

y4…1 0-2…

描點、畫圖（例1、例2圖）

結(jié)論：①從y1、y2、y0、y3、y4的圖像看，對于正比例函數(shù)y=kx在0單位0-xy里，在0點處中斷，它們與數(shù)軸單位∞1無關(guān)。

②y0是第Ⅰ象限和第Ⅲ象限的角平分線且在一條直線上，在0點中斷。y是第Ⅱ象限和第Ⅳ象限角平分線，且在一條直線上，在0點中斷。

③以y1為例，從圖像可以看出，y1在第Ⅰ象限和第Ⅲ象限的兩部分互相平行，之間有一個寬度a。我們把這種現(xiàn)象叫做路線平移，如示意圖。并在原點處還有一個中斷距離b。其它y2、y3、y4也都是這樣，只不過a、b的值是變化的，a、b的關(guān)系式為a2+b2=（）2，且tgα=（如圖）。還有當∠α=0°時，第Ⅰ象限的y1和x軸的上切線重合；第Ⅲ象限的y1和x軸的下切線重合，這時兩部分之間的寬度為0單位1，中斷距離為0單位1。當∠α=90°時，第Ⅰ象限的y1和y軸的右切線重合，在第Ⅲ象限y1和y軸的左切線重合。這時兩部分之間的寬度為0單位1，中斷距離也為0單位1。

④從0單位0-xy中還可看出，不管0單位直徑變得多短，0點都存在，y軸中心線兩邊的兩條切線都不會和y軸中心線重合，從這個意義上講，傳統(tǒng)0-xy系里的y軸也應為三條線，即y軸的中心線和中心線兩邊的兩條切線。同理x軸也是一樣。也正因為0點無限小，單位直徑無限小，才把三線合一，使函數(shù)圖像過原點時所發(fā)生的平移和中斷現(xiàn)象顯示不出，合為一條。

⑤我們把單位0點的外切正方形的四個頂點A、B、C、D（分別在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限）定為四個黑點（實際應有8個）。

再做說明：本文所畫圖中的點、線，點表示的是位置或頭，線不管是直是曲，表示的都是邊檐。點線都是極限點線，即為看不見的實際存在的點線。

Ⅱ、畫函數(shù)y=kx+b的圖像。

例2、在0單位0-xy中，畫y7=x+1，y8=-x-1的圖像

解：

x…-4-3-21012…

y7…-1-0 112…

y8…1 0--1-1-2…

描點、畫圖（例1、例2圖）

結(jié)論：①從y7和y8的圖像可以看出，不管y=kx+b是增函數(shù)還是減函數(shù)，當它們跨越x軸和y軸時，都有路線平移，平移的路線寬度a和在軸線的中斷距離b的關(guān)系式為a2+b2=1，1為0單位。如圖：

y7過y軸的示意圖略。

②從y8還可以看出，當數(shù)軸單位取∞1=2時，y8是一個路線；當數(shù)軸單位∞1=3時，y8是是另一個路線，但兩條路線總是平等的，這說明在同一個0單位坐標系里，當數(shù)軸單位∞1取不同的數(shù)值時，y=kx+b的路線位置是不一樣的，但這些路線都保持平行關(guān)系。在這點上，y=kx+b的路線和y=kx的路線不同。y=kx的路線在同一個0單位的坐標系里，不管數(shù)軸單位∞1取任何數(shù)值，y=kx的路線總是孤零零一條。

Ⅲ、二次函數(shù)在0單位0-xy內(nèi)的表現(xiàn)：

例3、在0單位0-xy內(nèi)，畫y=x2的圖像。

解：

x…-3-2-10123…

y…9410149…

描點、畫圖（例3——例7圖）

結(jié)論：①從圖像可以看出，對于y=ax2，當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下。對于數(shù)軸單位∞1取不同的數(shù)值，其形狀相同，大小不一，圖像中沒有多畫。對稱軸x=0。

②y=x2的頂點仍在0單位原點，只不過被原點拉開了一個0單位距離。

③其它性質(zhì)就不再細說了。

例4、在0單位0-xy中，畫y=x2+3的圖像。

解：

x…-3-2-10123…

y…127434712…

描點、畫圖（例3——例7圖）

結(jié)論：①把y=x2沿y軸向上平移3個單位，對稱軸x=0。

②其它性質(zhì)和y=x2一樣。

例5、在0單位0-xy中，畫y=（x-5）2的圖像。

解：

x…2345678…

y…9410149…

描點、畫圖（例3——例7圖）

結(jié)論：①把y=x2沿x軸向右平移5個單位，對稱軸是x=5。

②y=（x-5）2的圖像過y軸不研究?？聪旅胬?、例7。

③其它性質(zhì)和y=x2一樣。

例6、在0單位0-xy中，畫y=-（x+1）2+1的圖像。

解：

x…-4-3-2-1012…

y…-8-3010-3-8…

描點、畫圖（例3——例7圖）

結(jié)論：①把y=-x2先向上平移1個單位后再向左平移1個單位，對稱軸是x=-1。

②y=-（x+1）2+1在穿越x軸、穿越y(tǒng)軸、穿越原點時，也有“平移”和“中斷”現(xiàn)象，其關(guān)系式仍是a2+b2=1（過軸線時）和a2+b2=（）（過原點時）。只不過這里的穿越直線是2次函數(shù)在該點的1次導數(shù)。

③其它性質(zhì)和y=-x2一樣。

例7、在0單位0-xy中，畫y=（x+1）2-4的圖像。

解：

x…-4-3-2-1012…

y…50-3-4-305…

描點、畫圖（例3——例7圖）

結(jié)論：①把y=x2先向下平移4個單位再向左平移1個單位，對稱軸是x=-1。

②其它性質(zhì)和例6一樣。

Ⅳ、反比例函數(shù)在0單位0-xy內(nèi)的表現(xiàn)。

例8、在0單位0-xy中，畫y=的圖像。

解：

描點、畫圖（例8、例9圖）

結(jié)論：①從圖像上看，圖像的兩支仍在Ⅲ、Ⅰ象限，當x從-∞→0時，圖像從無限接近x軸的下切線到無限接近y軸的左切線；當x從0→∞時，圖像從無限接近y軸的右切線到無限接近x軸的上切線，對稱軸為y=x，圖像的兩支以原點為中心對稱圖形。

②對y=，在同一個0單位0-xy里，取不同的數(shù)軸單位∞1，其圖像的形狀一樣，只是位置不同。

③其它性質(zhì)不再細研述。

例9、在0單位0-xy中，畫y=，y=的圖像。

解：對于y=，

描點、畫圖（例8、例9圖）

對于y=，

描點、畫圖（例8、例9圖）

結(jié)論：①從圖像上看，每個函數(shù)的兩支仍在Ⅱ、Ⅳ象限，當x從-∞→0時，圖像從無限接近x軸的上切線到無限接近y軸的左切線；當x從0→∞時，圖像從無限接近y軸的右切線到無限接近x軸的下切線，對稱軸為y=-x，圖像的兩支以原點為中心對稱圖形。

②使我認識到兩種意義不同的0的存在。（在后面大討論篇中論述）

③其它性質(zhì)同例8。

探索發(fā)現(xiàn)：從例8和例9的y=、y=、y=中可看出，當x=0時，=∞1，=∞-3，=∞-6，y的值都是y的正半軸，∴∞1=∞-3=∞-6；由于0是中性數(shù)，∴x=0時，=∞-1、=∞-3、=∞-6也成立，這時y的值都是y的負半軸，∴-∞1=-∞-3=-∞-6。而y的正半軸或負半軸都是一條完整的射線，因此，我們得出∞A=∞B。這樣，我們就找到了在研究分式方程增根時∞A=∞B的理論根據(jù)。原來，反比例函數(shù)是解決分式方程增根問題的理論基礎。

寫到這里，我也已經(jīng)意識到，在我們的數(shù)學里，存在著兩種數(shù)系：一個是0數(shù)系（0是無單位點，即0是極限點，只表示位置和狀態(tài)）；一個是θ數(shù)系（0是有單位點。為了描述方便和直觀，以后我們把有單位0點記作“θ”點，而把無單位0點仍記作“0”點）。在0數(shù)系里，形成0-x、0-xy、0-xyz、0數(shù)系運算法則；在θ數(shù)系里，形成θ-x、θ-xy、θ-xyz、θ數(shù)系運算法則。對這兩個數(shù)系和它們的運算法則，我在下面“大討論篇”里進行闡述。

Ⅴ、函數(shù)在θ單位θ-xyz內(nèi)的表現(xiàn)：

由于在θ單位的數(shù)學里，我把原來無限小且存在的點放大，變成了實實在在的θ單位圓球，所以線有了粗度，面有了厚度，所以在θ單位θ-xyz系里，函數(shù)實難表達，圖也實在難畫。，因此這里就不再研究了。再說我寫此文的目的，不在于把θ單位數(shù)學的全部內(nèi)容都挖掘出來、研究清楚。就憑我個人的精力和能力，也是根本不可能做到的。我自己只是想揭開θ單位數(shù)學的面紗，讓大家認識θ單位數(shù)學的重要性，它是數(shù)學體系中一個很重要的分支。

三、大討論篇

在本篇里，我要把我的困惑和數(shù)學概念容易產(chǎn)生誤解的問題寫給大家，共同磋商，不妨你也發(fā)表一下自己的看法。

1.θ單位產(chǎn)生后，把抽象的點變成直觀的球體。這樣一來，線有了粗度，面有了厚度，我們把以θ單位為基礎的點、線、面叫做θ單位點、θ單位線、θ單位面。同樣我們把以θ單位為基礎的數(shù)標系叫做θ單位數(shù)標系。如：θ單位數(shù)軸θ-x，θ單位平面直角坐標系θ-xy，θ單位空間直角坐標系θ-xyz，它們的圖像以攝影技術(shù)為基礎，是成體的。球是點、圓柱是線、層是面。它們的心、角、邊、面，只可看，可想，不可拿（因為面、邊、線，結(jié)不下，抽不出）。不可畫（因為一畫點就有大小，線就有粗細），這是存在性。我們把無單位的點0叫做極限點0（只表示位置、狀態(tài)，沒有實體）。以極限點0為基礎的線叫做極限線（只有長度，沒有粗度），面叫做極限面（只有面積，沒有厚度）。同樣，我們把以極限點0為基礎的數(shù)標系叫做0極限數(shù)標系。如：極限數(shù)軸0-x，極限平面直角坐標系0-xy，極限空間直角坐標系0-xyz。所以，現(xiàn)代數(shù)學里的點、線、面都是極限點、線、面，是虛的。而我們的人類是文明的，有文化的，有科技理念的。有文明，有文化，有科技，我們?nèi)祟惥鸵U述，就要交流，就要寫、畫。畫就要有點、線、面。所以，現(xiàn)在不管是老師在黑板上畫的，還是學生在作業(yè)本上畫的，也不管你是怎么意識的，就連我在“θ單位數(shù)學”里，所畫的點、線、面、圖像等也都是用的極限點、線、面，都是以實代虛。不這樣我們就無法敘述，無法表達，無法交流。這是我在研究了反比例函數(shù)在θ-xy內(nèi)的表現(xiàn)后意識到的，并得出結(jié)論——在數(shù)學里應有兩種意義不同的零點，即0點和θ點。

2.現(xiàn)在清楚了，原來我們的數(shù)學里有兩種意義不同，性質(zhì)不一的零。一個是有單位θ，一個是無單位0（或極限0）。

Ⅰ、極限0點的意義是存在而沒有單位。只表示位置和狀態(tài)。不是嗎？在生活里在地上打一個樁，說那是起點那是圓心，糧庫里的小麥拉完了。在課堂上包括大學的課堂上，仍是把課堂上書本里的點說成起點、端點、圓心等。在法國巴黎的國際計量局放著1米長的標準合金棒。試問你能用筆在它的兩端標出兩個端點嗎？不能。都是這樣說，如果把這端（端面）看成0時，到那端就是1米，落語也沒有掛點字，標準棒的兩邊有點嗎？沒有。對點的認識，從高中到現(xiàn)在，整整困惑了一生。慶幸，這個困惑總算明白了！

在極限0點的基礎上，形成極限點、極限線、極限面、0數(shù)系，隨之而來的是極限數(shù)軸0-x，極限平面直角坐標系0-xy，極限空間直角坐標系0-xyz。在極限坐標系里形成的運算法則是：0+0=0，0-0=0，0×0=0，0×A=0，=0，和無意義，這就是現(xiàn)代數(shù)學的運算理論和法則。

Ⅱ、下面再來看θ單位的點：意義是，點是以直徑為定長的球，它不但存在，而且放到那兒都可以。在此基礎上的點是θ單位的球，線是θ單位圓柱，面是θ單位厚的層，隨之而來的是θ單位數(shù)軸θ-x，θ單位平面直角坐標系θ-xy，θ單位空間直角坐標系θ-xyz。在θ單位數(shù)標系里，形成的運算法則（在那個坐標系里都一樣，不妨把數(shù)軸單位定成∞1=4）是：θ+θ+θ+θ+θ=5×θ=5×=5×=，這說明5個θ相加，在數(shù)軸上是個單位；θ-θ=-=-=0，這叫歸0。注意，這里的差0是極限0點。也就是θ單位坐標系原點四角上那四個黑點（極限點）。，這說明

θ×θ就是以為邊長的正方形面積。，，=1（這個1是整數(shù)1或數(shù)軸單位1），，都有意義。這些都是θ數(shù)系的運算法則。這樣我把留在“論‘超限數(shù)論’的理論基礎”一文中的θ×θ≠0的懸念也解決了。原因在于θ單位的點是真點，直徑是一個真實的數(shù)。

下面，我再用一個實例來說明0和θ做除數(shù)都有意義?，F(xiàn)在我把4斤蘋果表示在數(shù)軸上，。

①先用0去嘗試：=∞4，大家想想，0是一個無單位數(shù)，是極限0。這個∞4是多少份？這是一個不可思議的有限無窮份。如果把0比喻成一臺超微型攝像機，那么這臺攝像機不但能看清蘋果里的高糖有機分子結(jié)構(gòu)，而且連氮、鎂、鉀、鐵、硒等這些單質(zhì)元素的位置排在哪，都能看得清清楚楚。甚至連蘋果里的水的流動方向和宇宙間的“以態(tài)”是怎樣進出蘋果的都能看得一清二楚。所以，4 斤蘋果不是不能被極限0去除，而是被極限0除不起。如果硬要0去除4斤蘋果，那恐怕0把4斤蘋果的分子結(jié)構(gòu)拆散，使組成蘋果的單質(zhì)分子裂變也不解氣?、谠賮韲L試θ：=？，大家知道θ是有單位有直徑的，可大可小。不妨取數(shù)軸單位1的10億分之一為θ單位，即∞1=109，那么，，反過來一個θ代表4×=（斤）蘋果，大家想想，這斤還是蘋果的高糖分子的重量嗎？如果把這4斤蘋果讓每一個中國人分一份，那將分的不是蘋果的滋味了。所以不是沒意義，而是被無限小的θ和0去除，除不起。實際上，世界上、宇宙間每一種事物都有它的一對上下限。比如說蘋果，真要找到蘋果有蘋果“滋味”的上下限，那就應拿一公斤質(zhì)量的蘋果，把它放在θ單位數(shù)軸上，并且數(shù)軸單位又是一米，去嘗試。如果取某一θ單位是蘋果滋味，而再比這個單位小一點就不是蘋果滋味，那么這個θ單位直徑就是蘋果滋味的下限。如果把下限倒過來，就得到蘋果滋味的上限直徑。下限直徑的意義是：得到那么多份，份份都是蘋果。如果把這個θ直徑再縮小一點，那么得到那么多份，份份都不是蘋果。上限θ直徑的意義是，得到1份，這1份是蘋果，如果把這個直徑再擴大一點，得到1份，那么這1份就不是蘋果。下限直徑和上限直徑互為倒數(shù)，所以，兩種不同角度的說法，實質(zhì)是一個概念。如果用這一標準去嘗試其它果子的“滋味”，我想其上、下限是不一樣的。

Ⅲ、通過這三篇論文的論證，0不但能做除數(shù)，而且做除數(shù)意義重大。不但0能做除數(shù)，而且∞也是一個數(shù)，∞也能和其它數(shù)一樣，參加數(shù)學四則運算。站在自然數(shù)的角度看，0是世界上、宇宙間最小的數(shù)，∞是世界上、宇宙間最大的數(shù)?，F(xiàn)在你該明白，而過去所說的“實數(shù)”與數(shù)軸上的“點”一一對應，實質(zhì)上是該數(shù)所表示的線段的末端（極限點），而0是該線段的起端。為了尊重人們對數(shù)語的習慣，我們還是把它說成“實數(shù)”與數(shù)軸上的“點”（極限點）一一對應。這和習慣語“心想事成”、“恒星不恒”的說法是一個道理。

困惑?。∥乙簧蠈W、教學都把0當成真點、實點去理解，特別是建立數(shù)軸的三要素中的0點，那更是真真切切。我慶幸自己有這種鉆死牛角尖的精神，把真點變成了虛點（即極限0點），把真線變成了虛線（極限線），把真面變成了虛面（極限面），這種“點”都是表示數(shù)軸上的數(shù)所在線段的“頭”。要不，哪來這三篇論文。

3.現(xiàn)在來研究0坐標系與θ坐標系的關(guān)系。

Ⅰ、看θ單位數(shù)軸θ-x

當θ點的直徑增大時，點球越大，軸線越粗，在θ點四角上的四個黑點，并不那樣突出。當θ點直徑無限縮小時，θ-x數(shù)軸就無限變細，并向θ-x數(shù)軸上的原點θ壓縮，但不論θ點的直徑再小，因θ點存在，θ-x數(shù)軸存在，所以0點是θ點的極限，0-x數(shù)軸是θ-x數(shù)軸的極限。

在θ-x數(shù)軸上，做線段或?qū)崝?shù)的加減運算時，經(jīng)常要跨越中性數(shù)θ點，而在0-x數(shù)軸上不用跨越。所以在θ-x數(shù)軸上所說的數(shù)的點，實質(zhì)上是數(shù)所表示的線段的頭，是極限面（只有面積無厚度）。

在θ-x數(shù)軸上，用的數(shù)軸單位也可以任定，但必須說明這個單位線段里有幾個θ點，如我定數(shù)軸單位為∞1=3，這3是3個θ直徑再加上個直徑，即。開始我也困惑，這直徑能代表點嗎？答案是能。因為這里說的是數(shù)軸單位線段上θ點的個數(shù)，按球的直徑數(shù)算。而不是讓你算所含球的個數(shù)的體積。這種運算在數(shù)學里是授“缺補原理”法則保護的。不信，你在θ-xy系里畫一個長方形框，你數(shù)一數(shù)框里的θ點個數(shù)和理論算出的個數(shù)一樣不一樣，然后你再移動方框，方框前方新添的θ點部分，總和后方丟掉的θ點部分相同。也就是說方框內(nèi)的θ點總數(shù)不變。你還可以用三角形框、梯形框、圓框做同樣的實驗。所以，在θ-x數(shù)軸上，數(shù)軸單位是可以任取的。

Ⅱ、看θ單位平面直角坐標系θ-xy。

由于θ單位原點的存在，使得極限平面直角坐標系0-xy的四個象限沿四個象限的角平分線拉開，并且中斷距離為，平移距離為θ單位1。也正因為原點是θ單位球體，兩根數(shù)軸是互相垂直的圓柱，平面是層，所以過原點和兩根軸線的函數(shù)圖象發(fā)生了平移和中斷。設平移距離為a，中斷距離為b，則過原點的關(guān)系式為a2+b2=（）2，過軸線的關(guān)系為a2+b2=12。四個黑點明顯突出出來，它們把極限0-xy的原點0拉成了四個黑點。所以，函數(shù)的坐標運算還是在0-xy內(nèi)進行的，而運算法則還是0-xy的運算法則。因此，0-xy也是0-xy的極限。如圖：

Ⅲ、看θ單位空間直角坐標系0-xyz。

圖難畫（略），主要是八個黑點都突出出來。

極限空間直角坐標系0-xyz是θ單位空間直角坐標系θ-xyz的極限。

4.對分式方程增根問題的研究總結(jié)（還以“論‘超限數(shù)論’的理論基礎”中的例10為例）：

①在研究、探討分式方程“增根”時發(fā)現(xiàn)：有的“增根”是增根，有的“增根”是真根，有的除解出的真根、“增根”外，還有被漏掉的真根。

②增根x=A就是反比例函數(shù)的縱軸。

③當x=±∞時，y（±∞）=B是反比例函數(shù)的橫軸。

④發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)是解決分式方程增根問題的理論基礎。并同時證明，在0數(shù)系里，能同時實施兩套運算法則。但我對于有限無窮∞A在0-x上能進行數(shù)學四則運算，而在0-xy里卻被函數(shù)y拉成了上、下互為相反的兩條射線，使有限無窮∞A變成了絕對無窮∞A，且∞A=∞B。對這個水火不相融的“結(jié)”怎樣“解”，哲理在哪里？我想了好多，沒有想透，有待大家探討。

⑤所以0做除數(shù)有意義，而且意義重大?！奘且粋€數(shù)，在0坐標系和θ坐標系都能參加四則運算。我們規(guī)定：=∞和=0。對于=∞和=0。實際上，=∞和=∞一樣，=0和=0一樣都成立。在現(xiàn)代天文學運算中，總用=0去運算。

⑥探討出一個“超限數(shù)論”運算公理“±∞+A=±∞”。同時還做了一個0和∞參加分式運算時的注意“定則”。

5.討論點與數(shù)的關(guān)系：

前面討論了兩種零0與θ、兩種點、兩種數(shù)標、兩種運算法則、兩種運算形式，前一種是后一種的極限，前一種運算法則也是后一種運算法則的基礎。下面我以0-x和θ-x為例來說明點與數(shù)的關(guān)系。

首先，我們從θ-x上可看出，不管∞1取多少個θ點，也不管θ點取多大或多小，在θ-x上，數(shù)與θ點是不能產(chǎn)生一一對應關(guān)系的，而只能驗算數(shù)所在的線段上有多少個θ點。這是因為每個θ點的直徑都是θ-x上的一個線段，它都表示一個有限數(shù)域。

所以，要想使數(shù)與“點”產(chǎn)生一一對應關(guān)系，只有把數(shù)放在0-x上。因為0-x上的“點”是數(shù)所在線段的另一端（頭），是無單位的極限“點”（即為虛點）。這樣一來，不管數(shù)是整數(shù)還是分數(shù)，是正數(shù)還是負數(shù)，是倒數(shù)還是無理數(shù)，只要數(shù)軸單位一規(guī)定，在數(shù)軸上就能找到它們唯一確定的位置“頭”。所以，在0-x上，數(shù)對應的“點”不受整體點θ的限制。這一點θ-x是做不到的。不信，你看θ-x，取∞1=1，找2的倒數(shù)，是數(shù)軸單位∞1=1的一半，即第一個點的一半，這點的一半還算整體點嗎？

6、從幾何軌跡學的角度看，點的移動形成線，線是點的軌跡；線的移動形成面，面是線的軌跡；面的移動形成體，體是面的軌跡。如果把0-x看成是0“點”從-∞→∞的移動軌跡，也可看出“0做除數(shù)有意義”，任何數(shù)A除以0，仍有=∞A成立。這樣“超限數(shù)論”里運算公式在0-x里仍然成立，只不過讓0執(zhí)行兩套運算法則，即在進行“超限數(shù)論”運算時，把0“看成”θ執(zhí)行θ數(shù)系的運算法則；實際上，在數(shù)學運算中，人們已經(jīng)自覺不自覺地把0執(zhí)行了兩套運算法則。只不過，不全面、不徹底，沒有理論化而已。而在進行常規(guī)數(shù)學運算時，執(zhí)行0數(shù)系的運算法則?！皵?shù)域比較法”永遠成立，因為它是一種由數(shù)與“點”雙重制約的絕妙的相對比較法。它向世人展示，有限和無限有著質(zhì)的區(qū)別，有限和有限也有差異，能比較、能運算。在這個問題上，大家有什么想法、看法，不妨寫出來磋商。

寫到這里，使我再次認識到，有限和無限意義的不同。我們再來看θ-x（如圖），如果讓θ無限縮小下去，并讓θ=0，（這在宇宙間的物質(zhì)微粒變化中是一個不可能，因為0是θ的極限），這時θ-x就變成0-x。大家再想，如果我們只看θ-x上的有限一段EF，還讓θ→0并最后讓θ=0。那么這段數(shù)軸（即EF線段）將變成0。這個道理和畫家畫畫，找物體的“消失點”一樣，消失點能找到，但在我們的視野里，看過去卻是地平線（即消失線，如圖）。想想，讓θ→0，并最后讓θ=0。這時一個有限線段EF在數(shù)軸上能變成0，而整個θ-x卻變成0-x。可見，宇宙直徑之長，它長得永遠永遠不可越。這又一次說明了宇宙之大。

總上所述，點與數(shù)是兩種絕然不同的概念，點是位置，數(shù)是量，點與數(shù)又有著密不可分的運算關(guān)系，說到底就是宇宙間物質(zhì)與數(shù)有著密不可分的運算關(guān)系。離開物質(zhì)去談數(shù)，那只是空談。以上所述，還可看出，以0為基礎的運算法則主要驗算宇宙間物質(zhì)的量與能等；而以θ為基礎的運算法則主要是研究宇宙間的物質(zhì)變化規(guī)律。

7.我的數(shù)學不解之謎：

Ⅰ、大家知道，當數(shù)從正數(shù)發(fā)展到負數(shù)后，產(chǎn)生了實數(shù)。而實數(shù)和數(shù)軸（0-x）上的點形成了一一對應關(guān)系。由于負數(shù)不能開平方（偶次方），有人把i=做成數(shù)學單位，并規(guī)定i2=（）2=-1，這樣產(chǎn)生了虛數(shù)。虛數(shù)把0-xy里的y軸變成了i軸，而實數(shù)和虛數(shù)合在一起，就形成了復數(shù)（a+bi）。復數(shù)和0-xi（即平面內(nèi)的點）形成了一一對應關(guān)系。不解的是，在0-xyz里，即在空間里，y軸能由i軸來代替，而z軸能不能由一種數(shù)來代替呢？我把這個數(shù)叫幻數(shù)γ。如果幻數(shù)γ存在，那么z軸就能被γ軸所代替，且幻數(shù)γ和復數(shù)合起來就形成了眾數(shù)。這里的關(guān)鍵是幻數(shù)γ是否能找到？這是我留下的第一個不解之謎？

Ⅱ、我的第二個不解之謎就是∞A的意義。我在研討∞A時，是在實數(shù)范圍內(nèi)進行的，并時刻和數(shù)軸（0-x）對接，四則運算均成立。后來在進行θ單位數(shù)學研究時，才真正明白了∞A的實際含義，才知道在數(shù)學中應有兩種數(shù)系，即0數(shù)系和θ數(shù)系，而∞A和它的運算公式在兩種數(shù)系里都成立。問題出在，在0-xy的函數(shù)運算中。當我把∞A的理論放在數(shù)學實踐中去驗證時，我首先想到的是分式方程。在研究分式方程增根時，我發(fā)現(xiàn)∞A存在，∞A不存在分式方程就無法建立。問題是∞A的意義變了，∞A不再是相對無窮，∞A被y軸拉成一條y=∞A的射線，而且還有一條y=-∞A的反方向射線。這樣∞A在0-xy里躍身一變，變成了絕對無窮。在函數(shù)值的y軸方向上，產(chǎn)生了兩條互為相反的兩條射線。更為奇妙的是∞A=∞B。這是從數(shù)學運算中驗證出來的真理。不這樣做，分式方程運算就無法正確運行！對于∞A=∞B，后來在0數(shù)系研究反比例函數(shù)時才得到理論驗證。問題是，如果∞A=∞B成立，難道，相對無窮∞A和它的公式在實數(shù)0-x內(nèi)成立就不是真理了？就要作廢了嗎？在0-xy里，y軸也是實軸呀？這個“結(jié)”怎樣“解”，我一直沒想透。不要忘記這個“結(jié)”是在0數(shù)系里產(chǎn)生的？難道，在超限數(shù)論里，函數(shù)從0-x0-xy0-xyz，每添一個根實軸，數(shù)學運算法則就要產(chǎn)生一次相對變更嗎？如果能變更，那么怎樣變更，才能使相對無窮∞A在0-x內(nèi)既能保持四則運算（這個理論基礎不能變），又在0-xy內(nèi)能成為絕對無窮∞A，且∞A=∞B。

Ⅲ、回過頭再來看0數(shù)系和θ數(shù)系：

對于θ數(shù)系的認識人們才剛剛起步，這里面有多少運算規(guī)律和法則，人們還不得也不知。

對于0數(shù)系的認識，數(shù)學界、科技界的認識還比較深刻點。

首先對數(shù)的發(fā)展，從實數(shù)0-x（鎖定一條直線）復數(shù)0-xi（鎖定一個平面）眾數(shù)0-xiγ（鎖定整個空間）。這里，幻數(shù)γ是個什么模樣？而眾數(shù)的模式是什么樣？都不清楚。

再來看函數(shù)的發(fā)展：從實數(shù)0-x的代數(shù)式運算0-xy的f（x）+f（y）=0函數(shù)運算0-xyz的f（x）+f（y）+f（z）=0函數(shù)運算。這里，對于代數(shù)式運算，特別是平面函數(shù)的運算，如直線、雙曲線、拋物線、加速度、高次函數(shù)、微分、積分和偏微分等，在生活和高科系統(tǒng)中，運用得都相對成熟。然而，到現(xiàn)在為止，人們對立體函數(shù)即空間函數(shù)的運用還很少，更談不上成熟。特別是在大學里的那個馬鞍面，至今我也不知道它是反應宇宙空間里什么物質(zhì)的運動形態(tài)。

Ⅳ、∞是不是最大的自然數(shù)？

從0數(shù)系到θ數(shù)系，從生活數(shù)學到超限數(shù)論，這里面有挖不盡的數(shù)學規(guī)律和法則。我們只能一步一步，一層一層地去挖掘去開拓。

四、θ單位數(shù)學的意義篇

1.發(fā)現(xiàn)了兩種意義不同的0和θ，明確了0和θ的意義和關(guān)系。0無單位，θ有單位，0是θ的極限。因而，也形成了兩種意義不同的數(shù)系，即0數(shù)系和θ數(shù)系，兩種意義不同的運算法則；0數(shù)系的運算法則仍然是θ數(shù)系運算法則的基礎。最終把現(xiàn)代數(shù)學中的實點、真點變成了虛點，真線變成了虛線，真面變成了虛面。

2.驗證并修正完善了“論‘超限數(shù)論’的理論基礎”里推導出來的理論公式。

3.發(fā)現(xiàn)了函數(shù)圖像在θ-xy、θ-xyz內(nèi)的平移和中斷。

4.θ單位數(shù)學，在未來“宇宙學”、“天文學”、“物理”、“化學”、“生活”、以及“數(shù)學”本身的研究中，必將發(fā)揮重大作用。

五、結(jié)語

我的三篇論文寫完了，它的核心是“0和θ能不能做除數(shù)”、“∞是不是一個數(shù)”。θ做除數(shù)有意義是毫無意義的，關(guān)鍵是0能不能做除數(shù)。我的觀點是“0做除數(shù)有意義，且意義重大；∞是一個數(shù)，能參加數(shù)學四則運算”，這在“論‘超限數(shù)論’的理論基礎”里已展現(xiàn)的特別特別清楚明白了。并且我在研究∞A時，本來就是在0數(shù)系、0-x上研究的。所以讓0執(zhí)行兩套運算法則是完全可以的、合理的?！?做除數(shù)有意義”的另一個根據(jù)，也是我自己的理念：我認為，數(shù)學的基礎是物質(zhì)，空間依物質(zhì)而存在，正因為宇宙間有物質(zhì)和物質(zhì)的運動，才把宇宙的時間、空間、質(zhì)量、能量展示出來。

不要忘記我所說的0是一個沒有單位，而只表示位置和狀態(tài)的虛點。是的，沒有這個虛點0和0的移動，就沒有幾何里的虛線段和虛數(shù)軸（即極限數(shù)軸），在這里虛線段的長度是實的，沒有線段的移動就沒有幾何里的虛面，在這里虛面的面積是實的；沒有虛面的移動就沒有幾何里的體，這里的體的體積是實的。所以數(shù)的特點是從虛開始的，又以虛終結(jié)，是以虛代實。所以實與虛是對立的統(tǒng)一。所以在0數(shù)系里，點都是虛點，數(shù)都是真數(shù)。這是哲學，是辯證法，是科學。不是虛無主義，也不受信仰和門派的限制，我們不能因為有陽間而生出個“陰間”，更不能因?qū)κ挛锏牟徽J識而去找“上帝”?！瓣庨g”永遠也找不到，“上帝”永遠也請不來。

從以上可看出，實與虛是對立的統(tǒng)一，虛是實的極限，實也永遠達不到虛，也就是說，宇宙間的物質(zhì)，其質(zhì)點小得永遠也達不到0。所以數(shù)是宇宙物質(zhì)的抽象，沒有物質(zhì)也就沒有數(shù)?，F(xiàn)在再回到三篇論文的焦點。0能不能做除數(shù)上來。我們知道，在0數(shù)系里，0都是虛點。在數(shù)軸上，0點的移動形成有向線段，如果給數(shù)軸一單位（尺寸），那么有向線段所表示的數(shù)立馬展示出來，這里的數(shù)就是有向線段的另一“頭”所在的位置。隨著0在數(shù)軸上做不同形式的移動，數(shù)有大有小，線段隨之有長有短。從0點開始，0移得越遠，所經(jīng)歷的線段的頭就越多，也就是頭所表示的數(shù)和數(shù)對應的有向線段的另一頭（即點）就越多。所以在數(shù)軸上，說實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，實質(zhì)上就是實數(shù)與實數(shù)所表示的有向線段的另一頭（即點）一一對應。不這樣一一對應，數(shù)就沒有大小，線段也就沒有長短；不這樣，在幾何里一些定理和逆定理就難以得到證明。如圖：

給出⊙B和線段EF（2≤EF≤3），任取點A，經(jīng)計算AB>r，∴A點在⊙B之外。這證明，⊙B內(nèi)的虛點再多，也是有限點集，也沒有坐標平面內(nèi)的虛點多。再看線段EF，任取點M（-1）和點N（4），∵-1<2，4>3，∴-1所表示的點M和4表示的點N都沒在線段EF之上。這證明，線段EF上的虛點再多，也是一個有限點集，也沒有數(shù)軸0-x上的虛點多。如果宇宙間還有文明類，這個文明類他也不能說我的證明不是真理。我就怎么也想不通，一條任意有限線段上的點能和一條直線上的點一一對應，一般多，甚至和宇宙間的點一一對應，一般多。我總認為這種“一一對應”是不科學的，是不符合哲理的。這是我的理念。

因此，0做除數(shù)有意義。把0去除任一實數(shù)A，即=∞A，就得到∞A個頭（點），即得到∞A條有向線段（數(shù)）。這樣以來，不但在數(shù)軸上能展示數(shù)的大?。从邢蚓€段的長短），而且也能展示數(shù)的多少（即“點”的多少）；不但能進行∞A的運算，也能進行∞A的比較；不但∞A能運算、能比較，而且∞A和∞也能比較。

總之，在我的這三篇論文里，雖然給大家留下不少懸念和難解之謎，錯誤也再所難免，這都是正常的，是符合科技發(fā)展規(guī)律的。一個人的精力和能力都有限，不可能把一個偉大工程一下子挖掘出來，但結(jié)論可以得出：0做除數(shù)有意義，而且意義重大?！奘且粋€數(shù)，也能參加數(shù)學四則運算。讓0執(zhí)行兩套運算法則，是符合客觀規(guī)律的，是合情合理的。這樣一來，0是θ的極限。θ的運算法則，在0數(shù)系里也能實施，也成立。這是幾何與代數(shù)的統(tǒng)一。這樣一來，在0數(shù)系里∞A能運算、能比較，∞作為數(shù)也能運算、能比較，∞A和∞也能進行運算和比較。這樣一來，長就是長，短就是短，多就是多，少就是少，等就是等，有限和無限也能明顯地分離開來。如果一門新的科技誕生，因為它的“正確”，而把過去的科技基礎推翻。我認為這門“新科技”本身的“正確性”就值得懷疑。就說康托爾的“超限數(shù)論”吧，他的“一一對應”標準，把數(shù)和事物弄得多少不辨，長短不分。我認為這個“一一對應”本身就有問題。再來說愛因斯坦，先說他的質(zhì)能公式E=r2m。這個質(zhì)能公式充其量也只能說是核能公式。因為核能量釋放后，參加核反應的單質(zhì)分子通過聚變或裂變形成了其它單質(zhì)分子。在這一過程中，雖然有質(zhì)量損耗，但反應后所生成的新單質(zhì)分子質(zhì)量和反應前原單質(zhì)分子質(zhì)量沒有明顯差別。所以，我認為真正的質(zhì)能公式，應是一定數(shù)量質(zhì)量物質(zhì)，在宇宙湮滅后所放出的能量，這個公式遲早是會和世人見面的。所以愛因斯坦的質(zhì)能公式，只能說明核能E與參加核能反應的物質(zhì)質(zhì)量有r2m關(guān)系。下面再來談愛因斯坦的“引力場”和“兩論”。由于引力場的作用，使空間產(chǎn)生彎曲，所以光線沿彎曲的空間形成曲射。這一現(xiàn)象在得到“驗證”后，人們由反對愛因斯坦的“兩論”到擁護愛因斯坦的“兩論”形成了天壤之別。并喊出“愛因斯坦勝利了”、“牛頓失敗了”。天下的人們怎能用這種心態(tài)去對待科技呢？牛頓哪里失敗了，不對了。難道我們跳起來，地球就不管我們了，就飛走了！難道現(xiàn)在發(fā)射衛(wèi)星、飛船，不是按照“萬有引力”計算的？而是按愛因斯坦的引力場計算的？再說愛因斯坦的計算結(jié)果與實際測量的“空間彎曲度”誤差也太大了。就算“空間彎曲”是對的，也不能說明牛頓錯了呀！我覺得這種“自己對了”、“別人錯了”的說法，本身就存在問題?？萍嫉倪M步只能是發(fā)展與拓寬，而不能是新的科技理論誕生了，且“成功”了，卻導致科技的基礎“塌陷”、“錯了”，甚至是“失敗”了。在我的科技理念里，①科技的發(fā)展與拓寬一點也不能脫離宇宙間的物質(zhì)和物質(zhì)的變幻與運動。②科技的發(fā)展與拓寬必須與科技基礎相對接，與歷史發(fā)展相對接。而不是否定科技基礎，甚至是推翻歷史的存在。③在宇宙空間里，時間是永恒的，它既不能快也不能慢。時間的單位是智能“人”制定的。將來有一天，地球的轉(zhuǎn)速變快了或變慢了，那我們的歷法就得重新修定。在特定條件下，人的壽命可以延長或縮短；提高效益，可以減少工作時間。但一天24小時的時鐘是不能改變的。在宇宙間，體積也是永恒的、不變的。更不能變形和彎曲。如果宇宙的空間能變形、能彎曲。那我們數(shù)學里的坐標軸是否也跟著走形和彎曲。如果那樣，那么在宇宙間將永遠畫不成直線。我們的數(shù)學公式將失去固定的考量框架。愛因斯坦的偏微分方程也是在忽悠中計算出來的。

這種數(shù)學理論成立不成立，數(shù)學界、科技界、教育界，大家都來爭鳴。我真想在本世紀初掀起一場數(shù)學大討論，大論戰(zhàn)，讓大家都來關(guān)心0能不能做除數(shù)的問題。為什么中國只有“成功”、“正確”的刊物，而沒有“爭鳴”、“探討”、“閃光”的刊物。在這點上，中國的科技刊物應向“電視學習”、“向網(wǎng)絡看齊”。我還就是要把0能不能做除數(shù)追問到底！中國的數(shù)學在挺進，中國的數(shù)學在挑戰(zhàn)世界！