摘 要:概率為當前高考的必考內(nèi)容,很多學生在此類題上丟分較多,碰到此類問題感覺無從下手。為幫助學生更好地掌握概率知識,本文以古典概型為例,對概率問題的解題技巧進行了實例分析。
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學;概率;解題技巧
概率為當前高考的必考內(nèi)容。但是在概率學習中,學生成績兩極分化現(xiàn)象嚴重。
一、古典概型介紹
古典概型涉及的問題主要是對有限樣本進行概率求取,且實驗過程中,每個事件結(jié)果發(fā)生的可能性都是相等的。也就是說,古典概型中要求取一個隨機事件發(fā)生的概率,解題中只需要確定隨機事件可能出現(xiàn)的所有基本事件的結(jié)果總數(shù),再將基本事件A在總數(shù)中所占有的分數(shù)標記出來就可以了,如將總結(jié)果數(shù)標記為n;將A事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)標記為m,則A事件發(fā)生的概率可以表示為:
如果樣本空間內(nèi)基本事件總數(shù)能確定是有限個數(shù)的話,此類概率問題就一定屬于古典概型。通常來講,下列類似說法的都為古典概型:①兩顆骰子質(zhì)地均勻,同時拋擲……;②盒子內(nèi)有若干相同小球,其中白球4個,黑球5個,從盒子內(nèi)任意取兩個球……;③在八位數(shù)電話號碼(首位不為0)中,任意選取一個……。對上面說法進行分析可以看出,無論題目在語句上怎樣復(fù)雜,在有限個事件下均能夠完成實驗。因此,此類的概率題目都是可以利用古典概型來進行解答的。
二、古典概型解題技巧及實踐應(yīng)用
古典概型在解題方法上主要有四種方法,分別為列舉法、列表法、樹圖法和排除法。
1.列舉法
概率問題解題中,如果題目能夠滿足一定條件就可以通過列舉法來求概率。一次實驗過程中,總結(jié)果數(shù)n如果為有限個,且各種結(jié)果存在相等可能性,也就是說A事件的發(fā)生概率是:,此式中,n表示總結(jié)果數(shù);m表示A事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)。由此可以判斷:(1)總結(jié)果數(shù)n是為有限個;(2)各種結(jié)果存在相等可能性。這兩個條件為列舉法應(yīng)用的必要條件。
例1 一枚骰子質(zhì)地均勻,投擲過程中,問點3出現(xiàn)的概率?
分析:一枚骰子的面數(shù)有6面,分別對應(yīng)1、2、3、4、5、6這6個數(shù)字,因此在投擲過程中,可能出現(xiàn)的情況有6種。
解:
2.列表法
例1中變量只有一個,且總結(jié)果數(shù)比較小,因此可以用列舉法求解。但如果實驗過程中存在兩個或者更多變量,且結(jié)果數(shù)較多的時候,就需要用列表法或者樹狀圖法來解答了。
例2 十個完全相同的小球,分別標以1~10這十個數(shù)字,將這十個小球放到一個盒子里。盒子搖勻后,從盒子中隨機抽取兩個球,如果抽取到的小球不再放回,則抽取到的小球上的數(shù)字是相鄰整數(shù)的概率是多少?
通過上表可以看出,此題中基本事件總數(shù)是90種,而A事件中所包含的基本事件在總數(shù)上為18種,因此可以得到:
例3 同時投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,投擲過程中,兩個骰子點數(shù)的和是5的概率為多少?
分析:此題中骰子有兩枚,變化結(jié)果復(fù)雜,如果采用列舉法很容易遺漏或者重復(fù),因此采用列表法會更清晰。
從上面表格能看出:兩枚骰子同時投擲,可能出現(xiàn)的基本事件總數(shù)是36種,這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的。而將“兩個骰子點數(shù)的和是5”記作是事件A,事件A的結(jié)果有4種,分別為(1,4)、(4,1)、(2,3)、(3,2),因此P(A)=4/36=1/9。
3.數(shù)圖法
例4 (2014·新疆)在一個口袋中有4個完全相同的小球,把它們分別標號為①、②、③、④。隨機摸出一個小球,記錄后放回,再隨機摸出一個小球,則兩次摸出小球的標號相同的概率是多少?
分析:這道題所考查的就是數(shù)圖法或者是列表法對概率的求取。這兩種方法所得到的事件結(jié)果數(shù)不會出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏的情況。解題過程中,對于兩步可以完成的事件可以利用列表法來求解,而對于兩步或者兩步以上才可以完成的事件,則要通過數(shù)圖法來進行求取。解題知識點為:概率=所求情況數(shù)/基本事件總數(shù)。
解:此題可畫出如下樹狀圖:
4.排除法
例5 甲、乙兩人參加數(shù)學競賽,題目共10道,6道為選擇題,4道為判斷題,甲、乙兩人依次各抽一題。問甲、乙兩人中至少一人抽到選擇題的概率是多少?
分析:將上述十道題依次編號,選擇題為p1,p2,p3,p4,p5,p6;判斷題為x1,x2, x3,x4。如果考慮順序的話,根據(jù)數(shù)圖法能夠獲得的基本事件總數(shù)為90種。將“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”這一事件記作是事件A,則事件A總數(shù)是24;如果不考慮順序的話,基本事件總數(shù)是45種,事件A總數(shù)是12。
此題如果從正面入手,需要分三種情況考慮:甲抽到選擇題,乙抽到選擇題,甲、乙均抽到選擇題。但是如從對立事件來分析的話,則只有甲、乙均抽到判斷題這一種情況,這樣分析起來就簡單多了。
解:
將甲、乙均抽到判斷題記作是事件B,則:
則甲、乙兩人中至少一人抽到選擇題的概率為:
點撥:所謂正難則反,概率問題如果從正面解答比較困難的話,可從反面將對立面事件概率求出,通過排除法進行解答。概率問題中如存在“至多”“至少”這樣的字眼,則可以用排除法。
學好概率問題能夠幫助我們解決生活中很多實際問題。鑒于文章篇幅限制,本文主要對古典概型的解題方法及技巧進行了分析,解題過程中學生需要對這些方法全面掌握,融會貫通,這樣才能真正理解概率問題。
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