摘 " 要

教師應激發(fā)學生的學習積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。學生是數(shù)學學習的主人，教師是數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者。

關(guān)鍵詞

情境 "數(shù)學教學 "圓周角

【教學過程片段】

1.創(chuàng)設情境。

問題：足球訓練場上教練在球門前畫了一個圓圈進行無人防守的射門訓練如圖（1），甲、乙兩名運動員分別在C、D兩處，他們爭論不休，都說自己所在位置對球門AB的張角大，如果你是教練，請評一評他們兩個人誰的位置對球門AB的張角大？

師：圖中的∠C、∠D與我們前面所學的圓心角有什么區(qū)別？

生1：圖中角的頂點在圓上，而圓心角的頂點在圓心上。

師：這樣的角我們叫它圓周角，今天我們將一起來研究圓周角。（教師板書課題：圓周角）

2.合作探究、提出猜想。

師：誰能仿照圓心角的定義給圓周角下個定義嗎？

生2：頂點在圓上的角叫圓周角。

師：那么大家看黑板上的這個角和圖1中的∠C、∠D一樣嗎？（教師在黑板上畫出一個反例，如圖2）

生3：我覺得不一樣，∠C、∠D除了頂點在圓上，它們角的兩條邊還和圓相交，而黑板上的角卻沒有。

師：你能更準確地給圓周角下個定義嗎？

生3：我覺得圓周角應該是頂點在圓上，兩邊與圓相交的角。

（教師肯定學生的定義，并板書圓周角定義： "頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角）

師：分析圓周角的定義，從定義看圓周角有什么特征？

生4：圓周角有兩個特征：① 角的頂點在圓上，② 角的兩邊都與圓相交。

問題1：判斷下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。

（借助問題1的解決讓學生進一步體會兩個特征必須都具備的角才是圓周角）

問題2：畫弧BC所對的圓心角，然后再畫同弧BC所對的圓周角，你能畫多少個同一條弧所對的圓心角？多少個圓周角？

（設計本問題的目的是：引導學生發(fā)現(xiàn)同弧所對的圓周角有無數(shù)個，圓心角只有一個，這里還要區(qū)別同弧所對的圓周角和所含的圓周角）

師：通過畫圖，你們發(fā)現(xiàn)同一條弧所對的圓心角有幾個？圓周角有幾個？

生5：同一條弧所對的圓心角只有一個，圓周角有無數(shù)個。

（生6上黑板畫同弧所對的圓心角和圓周角，如圖3）

師：還有沒有與∠D、∠E不一樣的圓周角？如果有就上黑板來畫在剛才這位同學畫的圖上。

（生7上黑板在圖3上補畫出∠F、∠G，如圖4）

師：你能說說你畫的∠F、∠G與∠D、∠E的區(qū)別嗎？

生7：我畫的∠F在圓的左邊，∠G經(jīng)過圓心。

師：還有沒有不同的圓周角？

（生8上黑板畫出∠H，如圖5）

師：∠H是弧BC所含的圓周角，不是弧BC所對的圓周角，大家要注意所對與所含的區(qū)別。

師：看圖4，弧BC所對的圓周角可畫無數(shù)個，那么這無數(shù)個圓周角能不能分分類呢？

生9：我覺得∠F、∠E可以是一類，∠D一類，∠G一類，因為圓心O的位置分別在它們的形外、形內(nèi)和形上。

師：分得非常好，根據(jù)圓心和圓周角的位置關(guān)系我們可以將弧BC所對的無數(shù)個圓周角統(tǒng)分為三類：①圓心在形外的圓周角，②圓心在形上的圓周角，③圓心在形內(nèi)的圓周角。

師：這些圓周角到底有哪些特性呢，下面請同學們來合作探究，小組討論交流，完成問題3。

問題3：兩人一小組，根據(jù)下面的三個問題互相交流。

（1）量一量你所畫的所有圓周角的度數(shù)，有何發(fā)現(xiàn)？

（2）量一量你所畫的圓心角的度數(shù)，又有何發(fā)現(xiàn)？

（3）你得出了什么猜想？

（學生測量圓周角和圓心角的度數(shù)，并進行合作、討論交流）

生10：我們發(fā)現(xiàn)這些圓周角都相等且等于圓心角的一半，因此我們得出猜想：同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。

（教師在黑板上板書猜想：同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半）

3.驗證猜想。

師：那怎么來驗證你們的猜想呢？

生11：我覺得猜想有兩個結(jié)論：同弧所對的圓周角相等;同弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半。要驗證這兩個結(jié)論其實只要驗證同弧所對的所有的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半，只要這個結(jié)論能夠驗證，同弧所對的圓周角相等就會自然成立。

師：同弧所對的圓周角有無數(shù)個，又如何來驗證這無數(shù)個圓周角都等于該弧所對的圓心角的一半呢？

生12：剛才我們已經(jīng)把這無數(shù)個圓周角分成了三類，只要從這三類中各找一個代表驗證一下，如果都成立，就可以說明這些圓周角都等于該弧所對的圓心角的一半了。

師：說得很好，那么你們打算從哪一類開始下手驗證呢？

生13：可以從圓心在角的形上的開始驗證，因為它比較特殊只有一個，且最好驗證。

師：好，那你就來說說看。

（生13口述圓心在圓周角邊上的驗證過程，教師將學生的驗證過程用多媒體展示出來）

證明： ∵OA=OB，

∴∠A=∠B.

又 ∵∠COB=∠A+∠B，

∴∠A= ∠COB.

師：其他兩種情況如何驗證呢，大家可以小組交流、討論一下。

（學生交流、討論，但學生一時難以找到證明的途徑，我就把第一種圓心在圓周角邊上的特殊情況投影出來，并和第二種情況的圖形放在一起，讓學生認真觀察，找出兩個圖形之間的聯(lián)系，如圖7）

師：現(xiàn)在觀察這兩幅圖，你們能從中想到解決問題的方式嗎？

生14：在第二種情況的圖形中添一條輔助線——直徑AC，就可以在這幅圖中發(fā)現(xiàn)兩個第一種情況的基本圖形，利用剛才驗證的結(jié)論，易知：∠OAB= ∠COB、∠OAD= ∠COD，從而可知：∠OAB+∠OAD= ∠COB+ "∠COD，即：∠DAB= ∠DOB。

師：解決得非常出色，那第三種情況怎么驗證呢？

（由于圖形相對第二種情況又復雜了一些，學生同樣一時難以找到證明的途徑，我又把第一種圓心在圓周角邊上的特殊情況投影出來，讓學生認真觀察，找出兩個圖形之間的聯(lián)系，如圖8）

生15：和剛才一樣，我們只要在圖中添輔助線——直徑AC，同樣可以發(fā)現(xiàn)兩個第一種情況的基本圖形，利用第一種情況的結(jié)論，同樣可知：∠OAB= ∠COB、∠OAD= ∠COD，從而可知：∠OAB-∠OAD= ∠COB- ∠COD，即：∠DAB= ∠DOB。

師：通過剛才大家的驗證，我們可以肯定：同弧所對的所有的圓周角都等于其所對的唯一的圓心角的一半，因為同弧所對的圓心角只有一個，因此，這些圓周角也是相等的，這樣我們就驗證了大家剛才的猜想：同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。

（教師和學生一起寫出定理的符號語言描述，同時指出這種將得證的第二、三種情況轉(zhuǎn)換為已證的第一種情況的思維是化歸思想，是今后學習常用到的方法）

【設計說明】

在前面所述的《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的理論引領下，本節(jié)課的教學設計充分考慮了學生已有的知識水平，借助學生對圓心角的理解，利用類比的方法讓學生來探究圓周角的概念。同時本節(jié)課又緊緊圍繞“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗”這一思想，在教學設計上充分考慮為學生創(chuàng)造自主探究、合作交流的問題情境和活動內(nèi)容，設計了足球射門這一學生感興趣的問題情境，激發(fā)學生的探究欲望，在分析“同弧所對的圓周角相等，且等于該弧所對的圓心角的一半”這一結(jié)論時，又設計了讓學生自己畫圖、自主測量、自己猜測數(shù)學結(jié)論、共同合作驗證的教學環(huán)節(jié)。整節(jié)課以學生的自主探究為主線，采用“問題情境——合作探究、歸納猜想——驗證猜想——應用拓展”的模式展開教學活動。

【教學反思】

本節(jié)課的教學設計以學生的自主探究為主線、強調(diào)四基的教學及綜合應用能力的培養(yǎng)，并注意及時幫助學生總結(jié)解題過程中收獲的經(jīng)驗，把它口訣化，對提高學生的解題速度和效率是很有幫助的，但由于本節(jié)課學生自主探究的過程較多，所以課的時間安排上有點前松后緊的感覺，所以建議平時教學中要提高學生自主探究的效率，從而提高整個數(shù)學課堂的效率。

【專家點評】

在我們的日常生活中，圓周角和圓心角的現(xiàn)象無處不在，對于這兩個概念的體驗尤為重要，縱觀整節(jié)課我覺得有以下幾個特點：

1.本節(jié)課以足球場上的射門張角大小為問題情景引人，直指數(shù)學問題，使數(shù)學問題的形成和提出自然且親近。情景創(chuàng)設重視聯(lián)系學生的生活實際，讓學生體驗到生活中處處有數(shù)學。

2.用多種感官感受數(shù)學，培養(yǎng)數(shù)學情感。學生在本課中不是用耳朵聽數(shù)學，而是用眼睛觀察、動手畫圖操作，讓學生在做中體會數(shù)學現(xiàn)象，并尋求用數(shù)學知識解釋身邊的數(shù)學現(xiàn)象，在探討、交流、分析中獲得數(shù)學概念，拉近了抽象的數(shù)學概念與生活實際的距離。

3.重視數(shù)學知識的形成過程，讓學生感受到學習數(shù)學的快樂。先通過一系列的問題鏈引導學生進行實踐操作，觀察比較，分類確認，使圓周角與圓心的位置關(guān)系分成三類，這一主要難點自然形成且直觀，接著引導學生從三種情況進行分析，推導圓周角定理的證明過程，順暢地解決了分類證明的難點，定理學完后，馬上進行適當?shù)木毩暭右造柟?，學生在思考與回答的過程中充分體會到學習數(shù)學的快樂。

在上述探索過程中，從特殊到一般，再從一般到特殊，直觀感知、合情推理與嚴格驗證相得益彰，以學生活動為核心，適時滲透“分類”“化歸”“歸納”等數(shù)學思想，有效提高了學生的推理能力，充分體現(xiàn)學生的主體性與教師的啟導作用。本節(jié)課的不足之處在于，對定理的運用時間倉促，特別是應用拓展環(huán)節(jié)沒能給學生充分獨立思考的時間，部分學生還沒能形成構(gòu)造同弧所對的圓周角來解決問題的意識，還需要在后期的學習中加以強化。

（作者為江蘇省常州市金壇區(qū)教師發(fā)展中心教研員）