摘 " 要

預(yù)習(xí)是一種學(xué)習(xí)方式，對(duì)于提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)習(xí)慣具有重要的意義。那么，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生預(yù)習(xí)什么？什么內(nèi)容適宜預(yù)習(xí)？怎么預(yù)習(xí)更有效？學(xué)生自主預(yù)習(xí)與教師相機(jī)引導(dǎo)有何關(guān)系？這是每一位教師都必須思考的問(wèn)題。本文擬結(jié)合一次課外預(yù)習(xí)輔導(dǎo)的實(shí)錄，談?wù)劰P者的一些思考。

關(guān)鍵詞

預(yù)習(xí)輔導(dǎo) "數(shù)學(xué)教學(xué)

一、輔導(dǎo)實(shí)錄

暑假的一天，筆者來(lái)到學(xué)校辦公室，看到一位教師正在給同事的孩子個(gè)別輔導(dǎo)。孩子是七年級(jí)升八年級(jí)，輔導(dǎo)的內(nèi)容是學(xué)校編印的八年級(jí)暑期預(yù)習(xí)作業(yè)，其中有這樣一道填空題：

Rt△ABC中，AC=3，BC=4，則AB2= " " " " 。

孩子習(xí)題本上，這道題還空在那里。那位老師畫出圖形，正準(zhǔn)備講解，我立即擺了擺手示意停下，然后和孩子進(jìn)行了如下對(duì)話：

師：知道這道題已知什么、求什么嗎？

生：知道，已知直角三角形兩邊求第三邊。

師：知道用什么方法嗎？

生：知道，勾股定理。

師：你自己嘗試一下，行嗎？

生：好的。

等了一分鐘，孩子在橫線上填上7或25。

師：為什么是兩個(gè)答案？

生：沒(méi)有交代哪個(gè)角是直角，要分∠C是直角和∠A是直角兩種情況。

師：還有∠B呢？

生：不可能，因?yàn)锳C=3，BC=4，說(shuō)明AC邊不是最大邊，所以∠B不可能是直角。

師：你怎么知道∠B不可能是直角的？

生：如果∠B是直角，那么∠A應(yīng)該大于直角，三角形的三個(gè)角的和就大于180o，不行。

師：你很聰明，那你為什么空著不做？

生：我在想：為什么題目是求AB2，而不是直接求AB呢？我不敢往下做。

師：如果AB2=25，那么AB等于多少？

生：5。

師：如果AB2=7，那么AB等于多少？

生： 。

師：不錯(cuò)，說(shuō)明你已經(jīng)預(yù)習(xí)了二次根式，知道老師為什么只要求AB2了嗎？

……

二、問(wèn)題思考

這次對(duì)預(yù)習(xí)作業(yè)的個(gè)別輔導(dǎo)，不禁讓筆者思考數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些現(xiàn)象與問(wèn)題：我們鼓勵(lì)學(xué)生預(yù)習(xí)，那么學(xué)生如何進(jìn)行有效預(yù)習(xí)？通過(guò)預(yù)習(xí)，學(xué)生能知道數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程、緣由和背后的數(shù)學(xué)價(jià)值與數(shù)學(xué)文化嗎？當(dāng)教師喋喋不休地“講解”時(shí)，學(xué)生愿意聽你講嗎？你了解學(xué)生已知道了什么、最需要什么嗎？當(dāng)學(xué)生面臨思維障礙時(shí)，是教師直接“講”給他聽還是有更好的方法呢？筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，就以上問(wèn)題談?wù)剛€(gè)人的幾點(diǎn)想法。

1.了解學(xué)生是有效預(yù)習(xí)與教學(xué)的前提。

奧蘇貝爾認(rèn)為：“影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么?！彼^了解學(xué)生，就是“了解學(xué)生，把握學(xué)生的心理需求、認(rèn)知基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu)，選擇合適的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段”。

上述案例是勾股定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用問(wèn)題。筆者的最初判斷是：孩子通過(guò)自主預(yù)習(xí)，應(yīng)該知道直接用勾股定理求解，問(wèn)題的難點(diǎn)（也是學(xué)生最容易犯的錯(cuò)誤）應(yīng)該是理解題意：學(xué)生容易將“已知直角三角形的兩邊求第三邊”誤判為“已知直角三角形兩直角邊求斜邊”導(dǎo)致解錯(cuò)。這并不是知識(shí)（定理的掌握）的問(wèn)題，而是思維品質(zhì)問(wèn)題。那位教師看到預(yù)習(xí)作業(yè)本上題目空在那里便準(zhǔn)備“講”，筆者就想：你講的內(nèi)容學(xué)生會(huì)感興趣嗎？或許他已經(jīng)掌握了呢？因此，講什么、怎么講取決于學(xué)生知道或掌握了什么、有什么心理需要。筆者通過(guò)師生對(duì)話，對(duì)這位學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與認(rèn)知心理有了具體的了解。

從認(rèn)知基礎(chǔ)上看，該生至少具備5個(gè)方面的認(rèn)知：①知道了勾股定理的條件、結(jié)論;②能清醒地意識(shí)到“條件沒(méi)有明確哪個(gè)角是直角，要分情況討論”;③已經(jīng)自學(xué)了二次根式內(nèi)容;④知道∠B不是最大角;⑤在說(shuō)明“∠B不是最大角”時(shí)，不僅知道“三角形中大角對(duì)大邊”（盡管這是教材選學(xué)內(nèi)容），潛意識(shí)里還運(yùn)用了反證法的思想。說(shuō)明這位學(xué)生不僅掌握了相關(guān)知識(shí)，而且思維縝密性強(qiáng)。如果教者僅僅停留在知識(shí)層面的“講解”上，顯然不能滿足這位學(xué)生的認(rèn)知需要。

從認(rèn)知心理上說(shuō)，由于該生已經(jīng)自主學(xué)習(xí)了二次根式，他知道AB2=25時(shí)AB=5、AB2=7時(shí)AB=，學(xué)生的困惑是：為什么預(yù)習(xí)作業(yè)還要求AB2？筆者為什么要分別追問(wèn)“如果AB2=25，那么AB等于多少？”“如果AB2 =7，那么AB等于多少？”，就是要進(jìn)一步了解學(xué)生的認(rèn)知與心理。學(xué)生提出“為什么題目要求AB2，而不直接求AB”，通過(guò)進(jìn)一步追問(wèn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生因?qū)︻}目產(chǎn)生懷疑而“不敢往下做”，竟放棄了題目的解答。這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最典型的“有‘疑’無(wú)‘質(zhì)’”，顯然屬于認(rèn)知心理問(wèn)題。

2.有效預(yù)習(xí)源于內(nèi)容選擇與問(wèn)題設(shè)計(jì)。

關(guān)于要不要預(yù)習(xí)的問(wèn)題在教師中存在不少爭(zhēng)議。一方面，部分教師反對(duì)預(yù)習(xí)，甚至一些名師、專家不提倡預(yù)習(xí)。南師大教授涂榮豹就認(rèn)為：“如果學(xué)生要學(xué)的東西，通過(guò)預(yù)習(xí)都知道了，謎底揭穿了成了已知的，還有什么可探究的？”北京第二十二中學(xué)已故著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師孫維剛也認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)不需要預(yù)習(xí)。另一方面，在所謂的導(dǎo)學(xué)案中，許多預(yù)習(xí)作業(yè)就是讓學(xué)生“看書”：“概念”能記住，會(huì)填寫幾個(gè)關(guān)鍵詞;“定理（或法則）”知道條件、結(jié)論并會(huì)運(yùn)用;例習(xí)題能看懂、會(huì)做。一句話，除了知識(shí)就是技能，忽視了對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)、思維品質(zhì)的提升、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，甚至忽視學(xué)生人生成長(zhǎng)中極為重要的一些東西。筆者認(rèn)為：?jiǎn)栴}不在于要不要預(yù)習(xí)，而在于如何有效預(yù)習(xí)，前提是如何進(jìn)行基于學(xué)生認(rèn)知的預(yù)習(xí)內(nèi)容的選擇和預(yù)習(xí)問(wèn)題的設(shè)計(jì)。

（1）預(yù)習(xí)要求因教學(xué)內(nèi)容而定。

初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容主要有數(shù)學(xué)概念、公理、公式、法則、定理及運(yùn)用，數(shù)學(xué)例習(xí)題，數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)閱讀，章節(jié)小結(jié)等，要引導(dǎo)學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)（這里指廣義的知識(shí)）的同時(shí)，了解其背后所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值與情感價(jià)值。如何選擇預(yù)習(xí)內(nèi)容與預(yù)習(xí)要求，要視學(xué)習(xí)內(nèi)容而定。

數(shù)學(xué)中的形式性、程序性、識(shí)記性知識(shí)以學(xué)生自主預(yù)習(xí)為主。如冪、根號(hào)、三角形、平行四邊形、圓、平均數(shù)、概率等數(shù)學(xué)符號(hào)的表示，代數(shù)運(yùn)算、幾何證明格式，幾何圖形中的標(biāo)記……要求學(xué)生了解規(guī)范，做好識(shí)記，并在閱讀教材的基礎(chǔ)上，查閱資料了解符號(hào)（或形式）的形成與來(lái)源。

數(shù)學(xué)概念（如定義、規(guī)定）比較適宜學(xué)生自主預(yù)習(xí)基礎(chǔ)上的教師點(diǎn)撥。如《平面直角坐標(biāo)系》一節(jié)，就要讓學(xué)生通過(guò)預(yù)習(xí)了解：必要性（為什么要引入坐標(biāo)系，即平面直角坐標(biāo)系的價(jià)值）;是什么（設(shè)計(jì)情境讓學(xué)生知道平面直角坐標(biāo)系結(jié)構(gòu)及外延與內(nèi)涵）;合理性（為什么要這樣建立坐標(biāo)系？有沒(méi)有其他方法和類型？為什么規(guī)定橫坐標(biāo)在前面、縱坐標(biāo)在后面）;與相關(guān)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系（由一維到二維、坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系）;所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合、分類、模型）;背后的數(shù)學(xué)文化（笛卡爾與坐標(biāo)系、坐標(biāo)系的發(fā)明對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)）等等。這些內(nèi)容，有些可以通過(guò)學(xué)生“看書”解決，有些需要查閱資料（如閱讀課外書籍、上網(wǎng)搜索）解決，而有些則要通過(guò)課堂上教師的問(wèn)題引導(dǎo)與啟發(fā)而實(shí)現(xiàn)。

教材中的定理、公式等探索性強(qiáng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容更適宜教師引導(dǎo)下的學(xué)生自主探究。教師應(yīng)該精心設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，逐步引導(dǎo)學(xué)生探究。如《勾股定理》的預(yù)習(xí)可設(shè)計(jì)如下問(wèn)題鏈，為課堂探究與交流做準(zhǔn)備：①回憶小學(xué)了解到的“勾三股四弦五”，這句話是什么意思？②對(duì)于一般直角三角形，通過(guò)測(cè)量三邊的長(zhǎng)，并分別計(jì)算以這三邊為邊的3個(gè)正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？得到什么猜想？③如何用語(yǔ)言表達(dá)你的猜想？④如何通過(guò)面積拼圖驗(yàn)證三邊關(guān)系？⑤你還有哪些證明方法？⑥通過(guò)閱讀書籍或上網(wǎng)搜索，了解與勾股定理有關(guān)的數(shù)學(xué)故事和數(shù)學(xué)史……

（2）預(yù)習(xí)要根據(jù)學(xué)生情況設(shè)計(jì)。

預(yù)習(xí)要求的確定除了取決于學(xué)習(xí)內(nèi)容外，還與學(xué)生的年齡結(jié)構(gòu)、認(rèn)知基礎(chǔ)等因素密切相關(guān)，同一學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)不同認(rèn)知能力的學(xué)生要提出不同的預(yù)習(xí)要求。學(xué)生年齡越小、年級(jí)越低，學(xué)生預(yù)習(xí)能力越弱，設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈就越要細(xì)化;隨著學(xué)生知識(shí)與方法的積累、探究與思維能力的提高，不少問(wèn)題學(xué)生能夠自主完成，預(yù)習(xí)問(wèn)題的設(shè)置就要更具有開放性和挑戰(zhàn)性。

如蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)第二章第1節(jié)《正數(shù)與負(fù)數(shù)》，預(yù)習(xí)作業(yè)可設(shè)計(jì)如下問(wèn)題鏈：①某日某地的氣溫最高溫度為10℃，如何用正號(hào)表示？最低溫度為零下5℃，如何用負(fù)號(hào)表示？②兩個(gè)地區(qū)的海拔高度分別為+200m和-50m，+200m和-50m分別表示什么意思？③-1怎么讀？④如果用+50m表示向南50m，則向北30m如何表示？-25m表示什么意思？⑤如果用-5000元表示支出5000元，則+3000元表示什么意思？⑥0是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？⑦請(qǐng)你上網(wǎng)搜索：正負(fù)號(hào)是哪位數(shù)學(xué)家什么時(shí)候創(chuàng)造的？為什么要發(fā)明正負(fù)號(hào)？他對(duì)數(shù)學(xué)有何貢獻(xiàn)？……

又如案例中的八年級(jí)學(xué)生，已經(jīng)具有一定的知識(shí)與方法的積累，思維具有一定的深刻性與批判性，因此，預(yù)習(xí)目標(biāo)應(yīng)該確定在更高層次。一是梳理建構(gòu)知識(shí)，讓學(xué)生研究教材的編排，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：題目之所以只要求AB2，是因?yàn)榫幷呖紤]到在教材安排上，二次根式在勾股定理之后，預(yù)習(xí)勾股定理時(shí)還沒(méi)有涉及二次根式，這是編者的有意而為;二是提出勾股定理的更多證明方法并加以歸納;三是上網(wǎng)搜索勾股定理背后的數(shù)學(xué)故事，以此激發(fā)數(shù)學(xué)興趣與探求真理的精神。這或許是學(xué)生最為迫切的認(rèn)知需求與情感需求。

3.基于預(yù)習(xí)的教師引導(dǎo)與學(xué)生探究。

在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)與學(xué)生探究相結(jié)合是數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的主要方式，如定理公式、法則的學(xué)習(xí)，應(yīng)該在教師引導(dǎo)與啟發(fā)下，學(xué)生通過(guò)操作、觀察、猜想、驗(yàn)證、計(jì)算和推理，發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用結(jié)論，并在這個(gè)過(guò)程中掌握探究方法、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、揭示數(shù)學(xué)內(nèi)涵、滲透數(shù)學(xué)思想、感受數(shù)學(xué)文化、激發(fā)數(shù)學(xué)情感。本案例中的《勾股定理》學(xué)習(xí)，可讓學(xué)生先預(yù)習(xí)問(wèn)題鏈，再?gòu)牧鶄€(gè)方面引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)。

（1）指導(dǎo)探究方法。針對(duì)八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征，在教學(xué)中選擇引導(dǎo)探索法：①由實(shí)際情境引入問(wèn)題，通過(guò)拼圖、分析等自主探索活動(dòng)獲得直觀感知，由特殊情形的直角三角形發(fā)現(xiàn)三邊關(guān)系;②由淺入深、由特殊到一般引導(dǎo)學(xué)生得出一般直角三角形三邊關(guān)系;③啟發(fā)學(xué)生在拼圖操作基礎(chǔ)上，“由圖形到等式”聯(lián)想“面積與代數(shù)恒等式”，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證直角三角形的三邊關(guān)系;④進(jìn)一步啟發(fā)證明方法的多樣性;⑤運(yùn)用定理解決初始的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，感受定理的作用。

（2）積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如這里的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包括方法經(jīng)驗(yàn)、策略經(jīng)驗(yàn)、思路經(jīng)驗(yàn)等。如研究圖形的方法經(jīng)驗(yàn)：圖形定義、判定、性質(zhì)、運(yùn)用和相互關(guān)系;分析問(wèn)題的策略經(jīng)驗(yàn)：由形到數(shù)、由特殊到一般等;探究問(wèn)題的路徑經(jīng)驗(yàn)：通過(guò)操作、觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算、推理分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。

（3）揭示數(shù)學(xué)內(nèi)涵。勾股定理的數(shù)學(xué)本質(zhì)有兩個(gè)：一是直角三角形中“變中不變”，直角三角形形狀（三邊大?。┰谧兓皟芍苯沁叺钠椒胶偷扔谛边叺钠椒健边@個(gè)相等關(guān)系不變;二是圖形特征可以用相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系來(lái)描述。

（4）滲透數(shù)學(xué)思想。由圖形關(guān)系得到數(shù)量關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想;由圖形的割、補(bǔ)、拼得到一般圖形到特殊圖形的轉(zhuǎn)化，滲透轉(zhuǎn)化思想;由勾三股四弦五到任意直角三角形三邊關(guān)系，滲透從特殊到一般思想等;通過(guò)拓展性問(wèn)題滲透分類思想。

（5）感受數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義不止于解題，也不只是一個(gè)定義、幾個(gè)公理、幾條定理、幾步運(yùn)算的掌握。數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)和演變過(guò)程充滿了傳奇色彩：為什么將勾股定理稱為千古第一定理？為什么在國(guó)外稱為畢達(dá)哥拉斯定理，而中國(guó)稱為勾股定理或商高定理？定理迄今已有幾百種證明方法，為什么那么多人孜孜以求地探索其證法，甚至連美國(guó)總統(tǒng)也樂(lè)此不疲？你能用幾種方法證明？為什么2002年在我國(guó)召開的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)將弦圖作為會(huì)徽？華羅庚提議送上太空與外星人交流的“青朱出入圖”是什么？勾股數(shù)的奇妙在哪里？這些問(wèn)題其中大多數(shù)可以通過(guò)學(xué)生課前預(yù)習(xí)、課上交流的方式完成，也有部分可以通過(guò)延伸閱讀提出發(fā)展性問(wèn)題。

（6）激發(fā)數(shù)學(xué)情感。學(xué)生在自主探究中猜想結(jié)論并證明了結(jié)論，從而體驗(yàn)成功的快樂(lè)，定理的歸納與演繹中所體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)理性精神、定理的構(gòu)造與發(fā)現(xiàn)的歷史中所浸潤(rùn)的數(shù)學(xué)文化，無(wú)疑會(huì)讓學(xué)生在啟迪思維、提升能力的同時(shí)陶冶情操、豐富情感。

三、結(jié)語(yǔ)

預(yù)習(xí)作為一種學(xué)習(xí)習(xí)慣和終身學(xué)習(xí)能力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺。然而，預(yù)習(xí)的方式與要求要因數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知而選擇，應(yīng)有所側(cè)重;預(yù)習(xí)不只是知識(shí)與技能，還要關(guān)注學(xué)生的思維與情感;預(yù)習(xí)必須和教師引導(dǎo)、學(xué)生探究有機(jī)結(jié)合。只有這樣，學(xué)習(xí)效果才能實(shí)現(xiàn)最大化。（作者為江蘇省泰州市教育局教研室教研員）