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        還原課堂本真 追求實(shí)效高能

        2016-04-29 00:00:00章薇薇

        一、頭腦風(fēng)暴——百花齊放才是春

        背景:本題是某區(qū)數(shù)學(xué)期中試卷上第28題,其第二問的難度不大,但是計(jì)算量較大,使得很多學(xué)生望題生畏,不敢嘗試。

        案例1 原題呈現(xiàn):在平行四邊形ABOC中,AO⊥BO,且AO=BO。以AO、BO所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系,已知B(-6,0),直線y=3x+b過點(diǎn)C且與x軸交于點(diǎn)D。

        (1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);

        (2)點(diǎn)E為y軸正半軸上一點(diǎn),當(dāng)∠BED=45°時(shí),求直線EC的解析式。

        圖1

        說明:對(duì)于第一小題,大部分學(xué)生能自己解決,但是在做第二小題時(shí),學(xué)生對(duì)于條件“∠BED=45°”不知如何下手,只是知道這個(gè)45°肯定要起到意想不到的作用,可是45°有何用,讓學(xué)生進(jìn)入了思考。

        生1:這個(gè)45°不能破壞,最好能放在直角三角形中,故過點(diǎn)D向BE作高,構(gòu)造直角三角形。如圖2過D作DH⊥BE,設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,t),則BE=[36+t2],BD=10,ED=[16+t2],由面積法可得:[12]DH·BE=[12]BD·OE,則DH=[10t36+t2],當(dāng)∠BED=45°時(shí),[2]DH=ED,[2]·[10t36+t2]=[16+t2],[100t236+t2]=[16+t22],[t2]=144或4,則t=±12或±2,則t=12,即E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,12)。

        圖2

        師:剛才這位同學(xué)用三角形的面積法求出了DH,進(jìn)而利用∠BED=45°,發(fā)現(xiàn)△EHD為等腰直角三角形,DH∶ED=1∶[2],找到等量關(guān)系。

        圖3

        生2:我也是將45°放在直角三角形中,我是過點(diǎn)B作BK⊥DE,交AO于點(diǎn)G,如圖3,易得△EBK是等腰直角三角形,EK=BK,且易得∠BEO=∠OED=∠KBD,進(jìn)而得到△EGK≌△BDK,EG=BD=10,再由tan∠KBD = tan∠OED得

        [GOBO]=[ODEO],[GO6]=[410+GO],

        GO=2或-12,OE=12。

        師:同樣是將45°角放入直角三角形中,同樣也是作高,但這位同學(xué)得到等腰直角三角形后,想到相等的邊,進(jìn)而想到了三角形全等,再用反A型相似,得到了GO,將EO的長度轉(zhuǎn)化成了EG與GO兩段,分別進(jìn)行求解,其計(jì)算量降低了不少,是個(gè)非常不錯(cuò)的解題思路。

        生3:我發(fā)現(xiàn)題中∠ABO=∠BED=45°,則∠BEO=∠OED,我就想試著用相似來解決。

        圖4

        如圖4,延長BA,過E作EF⊥BA,設(shè)AE=a,由∠BED=45°=∠ABD,則∠BEO=∠OED,∠BFE=∠EOD=90°,則△EBF ∽△DEO,[EFOD]=[BFEO](或tan∠FBE= tan∠OED),由題意,EF=[22]a,F(xiàn)B=[22]a+6[2],則[46+a]=[22a22a+62],則a=-8或6,則E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,12)。

        師:這種做法,利用了角度之間的轉(zhuǎn)化,得到角相等,利用相似三角形(相等角的三角函數(shù)值相等)找到等量關(guān)系。相對(duì)而言,這個(gè)方程大家是會(huì)解的,只是面對(duì)這樣的方程,等式的右邊,分子分母上都是分?jǐn)?shù),計(jì)算很不方便,怎么辦呢?

        生齊:將等式右邊的分子分母同時(shí)乘[2]這樣計(jì)算就方便多了。

        生4:老師說過,當(dāng)代數(shù)的方法解決一個(gè)問題較復(fù)雜的時(shí)候,我們可以引進(jìn)圓來試試,若這個(gè)45°當(dāng)成圓的一個(gè)圓心角,則這個(gè)以45°為圓心角的等腰三角形底角為67.5°,且其同弧所對(duì)的圓周角為22.5°,這兩個(gè)角不具有特殊性。故這種想法不合適。

        若將45°構(gòu)成一個(gè)圓的圓周角,則同弧所對(duì)的圓心角為90度。這個(gè)角度較特殊,可以嘗試一下。

        圖5

        如圖5,∠BED=45°,若將∠BED當(dāng)作一個(gè)圓周角,那么該圓的圓心角為90°。

        則易得圓心為BD中垂線與BA的交點(diǎn)N,半徑為5[2],則易得Rt△EMN中,EN=5[2],MN=1,則EM=7,即EA=6,OE=12,從而得E(0,12)

        師:此法是借助△EBD的外接圓來進(jìn)行解答,其方法相對(duì)來說最簡單,但難點(diǎn)在于此圓的構(gòu)造,不是一般同學(xué)能想到的,正如這位同學(xué)所說,當(dāng)感覺面對(duì)45°這種特殊角,想用卻用不起來時(shí),不妨構(gòu)造外接圓,嘗試一下,可能會(huì)有意想不到的收獲。

        二、抓本質(zhì)——撥開云霧見青天

        背景:《一元二次方程》配方法第2課時(shí),二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程如何求解。

        案例2 教師在帶領(lǐng)學(xué)生回顧完隔天所學(xué)的二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的解答步驟后,又練習(xí)了3個(gè)方程。x2-4x-3=0,x2-[83]x=1,x2-99=2x(這三個(gè)方程,類型包含帶分?jǐn)?shù)的,還有方程要先整理后再求解的)。學(xué)生求解,個(gè)別學(xué)生板演,教師批閱點(diǎn)撥后。教師順勢(shì)拋出了方程3x2-6x-1=0。

        師:這個(gè)方程,同學(xué)們會(huì)解嗎?

        生齊:不會(huì)。

        師:這方程與昨天的方程有何區(qū)別?

        生齊:這方程二次項(xiàng)系數(shù)不是1。

        師:怎么把二次項(xiàng)系數(shù)化為1呢?

        生:兩邊同時(shí)除以3。

        師:兩邊同時(shí)除以3后,新的方程是怎么樣的?

        生:x2-2x-[13]=0。

        師:在除的過程中要注意什么?

        生:每一項(xiàng)都要除以3。

        師:這個(gè)方程你會(huì)解了嗎?

        ……

        大部分學(xué)生開始用隔天所學(xué)的方法開始解題……

        突然有一個(gè)學(xué)生偷偷地,輕聲地問他的同桌,為什么要除以3?

        分析:這是一個(gè)真實(shí)的課堂情境,提這個(gè)問題的孩子數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好,他問這個(gè)問題時(shí),上課教師并沒有發(fā)現(xiàn),而筆者聽課時(shí)正好坐在他的右邊,故聽到了這個(gè)不同的聲音。面對(duì)這個(gè)孩子的提問,大部分教師會(huì)覺得很驚訝,理所當(dāng)然地認(rèn)為,其目的就是為了把二次項(xiàng)系數(shù)化為1呀?但是為什么要把系數(shù)化為1,老師沒有將原因很好地告訴學(xué)生。其實(shí),其真正原因是:學(xué)生隔天學(xué)會(huì)了二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程用配方法來求解,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí),要想辦法把不會(huì)解的方程化為會(huì)解的方程類型,即把未知轉(zhuǎn)化為已知,所以要把二次項(xiàng)系數(shù)化為1……

        我們的數(shù)學(xué)課堂,不僅要讓學(xué)生知其然,更要讓學(xué)生知其所以然,故在新授課時(shí),不光要講解方法,更應(yīng)該跟學(xué)生講清數(shù)學(xué)思想,從而讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué),學(xué)好數(shù)學(xué)。

        三、思辨——此時(shí)無聲勝有聲

        背景:通過對(duì)前面知識(shí)的學(xué)習(xí),學(xué)生已掌握了全等三角形定義及性質(zhì),對(duì)將要學(xué)習(xí)的三角形全等判定——“邊角邊”(SAS)有了一定的認(rèn)識(shí),現(xiàn)需探究“兩條邊相等,一對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等”。

        案例3 教師在回顧了全等三角形的定義及判定1后,問:兩條邊相等,一對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等嗎?

        學(xué)生有的認(rèn)為這兩個(gè)三角形全等,有的認(rèn)為這兩個(gè)三角形不全等,但又不知如何舉出反例。

        只見教師拿出兩張完全重合的三角形紙片,如圖6,△ABC與△DEF,顯然△ABC≌△DEF。

        教師拿起△ABC紙片,將△ABC折疊,使得點(diǎn)C落在BC邊上,記為點(diǎn)C',如圖7,然后讓學(xué)生觀察:△ABC'與△DEF中,ED=AB,DF=AC',∠B=∠E,但△ABC'與△DEF全等嗎?

        分析:本節(jié)課主要采用引探式教學(xué)方法,在活動(dòng)中教師著眼于“引”,盡力激發(fā)學(xué)生求知的欲望,學(xué)生著眼于“探”,通過觀察與思考,感悟兩邊及一角相等,但是這兩個(gè)圖形不全等,進(jìn)而挖掘出其全等的本質(zhì),兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等,讓學(xué)生更加深刻地理解夾角相等的重要性。這樣的設(shè)計(jì)過程中,教師的話語不多,卻勝在無聲勝有聲,潤生細(xì)無聲。

        有效的數(shù)學(xué)課堂,定是能讓學(xué)生“問得出問題”“說得出理由”“經(jīng)得起實(shí)踐”的課堂。只有還原本真課堂,抓住學(xué)生思維的火花,讓星星之火燎原,向著課堂的深處,廣處發(fā)展;我們更要抓住知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì),讓學(xué)生知道知識(shí)的“來龍去脈”,進(jìn)而更好地建構(gòu)知識(shí)框架;我們還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“思辨”,學(xué)會(huì)用一分為二的眼光來觀察數(shù)學(xué),分析數(shù)學(xué),進(jìn)而更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美,數(shù)學(xué)之真諦!

        (作者為江蘇省無錫市旺莊中學(xué)教師)

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