一、頭腦風(fēng)暴——百花齊放才是春

背景：本題是某區(qū)數(shù)學(xué)期中試卷上第28題，其第二問的難度不大，但是計(jì)算量較大，使得很多學(xué)生望題生畏，不敢嘗試。

案例1 原題呈現(xiàn)：在平行四邊形ABOC中，AO⊥BO，且AO=BO。以AO、BO所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，已知B（-6，0），直線y=3x+b過點(diǎn)C且與x軸交于點(diǎn)D。

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)E為y軸正半軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠BED=45°時(shí)，求直線EC的解析式。

圖1

說明：對(duì)于第一小題，大部分學(xué)生能自己解決，但是在做第二小題時(shí)，學(xué)生對(duì)于條件“∠BED=45°”不知如何下手，只是知道這個(gè)45°肯定要起到意想不到的作用，可是45°有何用，讓學(xué)生進(jìn)入了思考。

生1：這個(gè)45°不能破壞，最好能放在直角三角形中，故過點(diǎn)D向BE作高，構(gòu)造直角三角形。如圖2過D作DH⊥BE，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），則BE=[36+t2]，BD=10，ED=[16+t2]，由面積法可得：[12]DH·BE=[12]BD·OE，則DH=[10t36+t2]，當(dāng)∠BED=45°時(shí)，[2]DH=ED，[2]·[10t36+t2]=[16+t2]，[100t236+t2]=[16+t22]，[t2]=144或4，則t=±12或±2，則t=12，即E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，12）。

圖2

師：剛才這位同學(xué)用三角形的面積法求出了DH，進(jìn)而利用∠BED=45°，發(fā)現(xiàn)△EHD為等腰直角三角形，DH∶ED=1∶[2]，找到等量關(guān)系。

圖3

生2：我也是將45°放在直角三角形中，我是過點(diǎn)B作BK⊥DE，交AO于點(diǎn)G，如圖3，易得△EBK是等腰直角三角形，EK=BK，且易得∠BEO=∠OED=∠KBD，進(jìn)而得到△EGK≌△BDK，EG=BD=10，再由tan∠KBD = tan∠OED得

[GOBO]=[ODEO]，[GO6]=[410+GO]，

GO=2或-12，OE=12。

師：同樣是將45°角放入直角三角形中，同樣也是作高，但這位同學(xué)得到等腰直角三角形后，想到相等的邊，進(jìn)而想到了三角形全等，再用反A型相似，得到了GO，將EO的長度轉(zhuǎn)化成了EG與GO兩段，分別進(jìn)行求解，其計(jì)算量降低了不少，是個(gè)非常不錯(cuò)的解題思路。

生3：我發(fā)現(xiàn)題中∠ABO=∠BED=45°，則∠BEO=∠OED，我就想試著用相似來解決。

圖4

如圖4，延長BA，過E作EF⊥BA，設(shè)AE=a，由∠BED=45°=∠ABD，則∠BEO=∠OED，∠BFE=∠EOD=90°，則△EBF ∽△DEO，[EFOD]=[BFEO]（或tan∠FBE= tan∠OED），由題意，EF=[22]a，F(xiàn)B=[22]a+6[2]，則[46+a]=[22a22a+62]，則a=-8或6，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，12）。

師：這種做法，利用了角度之間的轉(zhuǎn)化，得到角相等，利用相似三角形（相等角的三角函數(shù)值相等）找到等量關(guān)系。相對(duì)而言，這個(gè)方程大家是會(huì)解的，只是面對(duì)這樣的方程，等式的右邊，分子分母上都是分?jǐn)?shù)，計(jì)算很不方便，怎么辦呢？

生齊：將等式右邊的分子分母同時(shí)乘[2]這樣計(jì)算就方便多了。

生4：老師說過，當(dāng)代數(shù)的方法解決一個(gè)問題較復(fù)雜的時(shí)候，我們可以引進(jìn)圓來試試，若這個(gè)45°當(dāng)成圓的一個(gè)圓心角，則這個(gè)以45°為圓心角的等腰三角形底角為67.5°，且其同弧所對(duì)的圓周角為22.5°，這兩個(gè)角不具有特殊性。故這種想法不合適。

若將45°構(gòu)成一個(gè)圓的圓周角，則同弧所對(duì)的圓心角為90度。這個(gè)角度較特殊，可以嘗試一下。

圖5

如圖5，∠BED=45°，若將∠BED當(dāng)作一個(gè)圓周角，那么該圓的圓心角為90°。

則易得圓心為BD中垂線與BA的交點(diǎn)N，半徑為5[2]，則易得Rt△EMN中，EN=5[2]，MN=1，則EM=7，即EA=6，OE=12，從而得E（0，12）

師：此法是借助△EBD的外接圓來進(jìn)行解答，其方法相對(duì)來說最簡單，但難點(diǎn)在于此圓的構(gòu)造，不是一般同學(xué)能想到的，正如這位同學(xué)所說，當(dāng)感覺面對(duì)45°這種特殊角，想用卻用不起來時(shí)，不妨構(gòu)造外接圓，嘗試一下，可能會(huì)有意想不到的收獲。

二、抓本質(zhì)——撥開云霧見青天

背景：《一元二次方程》配方法第2課時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程如何求解。

案例2 教師在帶領(lǐng)學(xué)生回顧完隔天所學(xué)的二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的解答步驟后，又練習(xí)了3個(gè)方程。x2-4x-3=0，x2-[83]x=1，x2-99=2x（這三個(gè)方程，類型包含帶分?jǐn)?shù)的，還有方程要先整理后再求解的）。學(xué)生求解，個(gè)別學(xué)生板演，教師批閱點(diǎn)撥后。教師順勢(shì)拋出了方程3x2-6x-1=0。

師：這個(gè)方程，同學(xué)們會(huì)解嗎？

生齊：不會(huì)。

師：這方程與昨天的方程有何區(qū)別？

生齊：這方程二次項(xiàng)系數(shù)不是1。

師：怎么把二次項(xiàng)系數(shù)化為1呢？

生：兩邊同時(shí)除以3。

師：兩邊同時(shí)除以3后，新的方程是怎么樣的？

生：x2-2x-[13]=0。

師：在除的過程中要注意什么？

生：每一項(xiàng)都要除以3。

師：這個(gè)方程你會(huì)解了嗎？

……

大部分學(xué)生開始用隔天所學(xué)的方法開始解題……

突然有一個(gè)學(xué)生偷偷地，輕聲地問他的同桌，為什么要除以3？

分析：這是一個(gè)真實(shí)的課堂情境，提這個(gè)問題的孩子數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好，他問這個(gè)問題時(shí)，上課教師并沒有發(fā)現(xiàn)，而筆者聽課時(shí)正好坐在他的右邊，故聽到了這個(gè)不同的聲音。面對(duì)這個(gè)孩子的提問，大部分教師會(huì)覺得很驚訝，理所當(dāng)然地認(rèn)為，其目的就是為了把二次項(xiàng)系數(shù)化為1呀？但是為什么要把系數(shù)化為1，老師沒有將原因很好地告訴學(xué)生。其實(shí)，其真正原因是：學(xué)生隔天學(xué)會(huì)了二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程用配方法來求解，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，要想辦法把不會(huì)解的方程化為會(huì)解的方程類型，即把未知轉(zhuǎn)化為已知，所以要把二次項(xiàng)系數(shù)化為1……

我們的數(shù)學(xué)課堂，不僅要讓學(xué)生知其然，更要讓學(xué)生知其所以然，故在新授課時(shí)，不光要講解方法，更應(yīng)該跟學(xué)生講清數(shù)學(xué)思想，從而讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)。

三、思辨——此時(shí)無聲勝有聲

背景：通過對(duì)前面知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已掌握了全等三角形定義及性質(zhì)，對(duì)將要學(xué)習(xí)的三角形全等判定——“邊角邊”（SAS）有了一定的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)需探究“兩條邊相等，一對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等”。

案例3 教師在回顧了全等三角形的定義及判定1后，問：兩條邊相等，一對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等嗎？

學(xué)生有的認(rèn)為這兩個(gè)三角形全等，有的認(rèn)為這兩個(gè)三角形不全等，但又不知如何舉出反例。

只見教師拿出兩張完全重合的三角形紙片，如圖6，△ABC與△DEF，顯然△ABC≌△DEF。

教師拿起△ABC紙片，將△ABC折疊，使得點(diǎn)C落在BC邊上，記為點(diǎn)C'，如圖7，然后讓學(xué)生觀察：△ABC'與△DEF中，ED=AB，DF=AC'，∠B=∠E，但△ABC'與△DEF全等嗎？

分析：本節(jié)課主要采用引探式教學(xué)方法，在活動(dòng)中教師著眼于“引”，盡力激發(fā)學(xué)生求知的欲望，學(xué)生著眼于“探”，通過觀察與思考，感悟兩邊及一角相等，但是這兩個(gè)圖形不全等，進(jìn)而挖掘出其全等的本質(zhì)，兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等，讓學(xué)生更加深刻地理解夾角相等的重要性。這樣的設(shè)計(jì)過程中，教師的話語不多，卻勝在無聲勝有聲，潤生細(xì)無聲。

有效的數(shù)學(xué)課堂，定是能讓學(xué)生“問得出問題”“說得出理由”“經(jīng)得起實(shí)踐”的課堂。只有還原本真課堂，抓住學(xué)生思維的火花，讓星星之火燎原，向著課堂的深處，廣處發(fā)展；我們更要抓住知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，讓學(xué)生知道知識(shí)的“來龍去脈”，進(jìn)而更好地建構(gòu)知識(shí)框架；我們還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“思辨”，學(xué)會(huì)用一分為二的眼光來觀察數(shù)學(xué)，分析數(shù)學(xué)，進(jìn)而更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)之真諦！

（作者為江蘇省無錫市旺莊中學(xué)教師）