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“直流電路”函數(shù)圖象歸納

◇北京于虎李萍時(shí)子豪

通過初中物理的學(xué)習(xí),我們知道,電路知識(shí)常用的有4個(gè)物理量:P、U、I、R．已知2個(gè)物理量可以求出另外2個(gè),比如R=U/I,P=UI．

高中物理“直流電路”一章側(cè)重閉合電路,即包括電源內(nèi)電路一起考慮,多了2個(gè)物理量:電源電動(dòng)勢(shì)E、電源內(nèi)電阻r．一般不考慮二者的變化,所以不論二者是已知還是未知,都成了數(shù)學(xué)理論中的“常數(shù)”．從物理角度看來(lái),下面要討論的一些函數(shù)關(guān)系中,全都是二者作為“控制變量”,然后才能突出自變量與因變量．從排列組合角度看,除了E、r控制變量之外,P、U、I、R44個(gè)物理量中抽取其中任意2個(gè)物理量,應(yīng)該有6種組合,即存在6種函數(shù)關(guān)系可以研究．本文按此原則一一列舉．

為方便記憶,按自然順序分析P-U、P-I、P-R、U-I、U-R、I-R函數(shù)．

當(dāng)然,本文所涉及的外電路是純電阻的情況，而且,R變化是P、U、I變化的根本原因．

1P-U關(guān)系

電源輸出功率P與路端電壓U,有什么神秘的函數(shù)關(guān)系呢?陌生嗎？請(qǐng)看近年高考題．

圖1

此題可以稱作高考中的好題,有相當(dāng)多同學(xué)依據(jù)學(xué)過和自己理解的P-R函數(shù)圖象選擇了選項(xiàng)D,當(dāng)然,如果選擇選項(xiàng)A、B更是沒有道理．盡管有多種不同的思路可以分析出正確選項(xiàng),但我們?cè)谶@里只討論函數(shù)關(guān)系．

函數(shù)關(guān)系分析的最終目標(biāo)是以電池的輸出功率P為因變量、以路端電壓U為自變量的具體函數(shù)表達(dá)式,必須考慮的另一個(gè)問題是注意尋找恒定物理量,也就是電源的電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)電阻r．

分析這個(gè)函數(shù)表達(dá)式,可以得到以下4個(gè)結(jié)論:

1)P-U函數(shù)圖象是一條有最大值的拋物線;

2) 當(dāng)U=0時(shí)P=0,即過坐標(biāo)原點(diǎn)(對(duì)應(yīng)短路狀態(tài));

3) 化為P=(E-U)U/r,得知U=E/2時(shí),P有最大值(對(duì)應(yīng)R=r);

4)P=0的另一個(gè)狀態(tài)是U=E(對(duì)應(yīng)斷路狀態(tài))．

2P-I關(guān)系

電源的輸出功率與電路中的電流之間關(guān)系,與P-U關(guān)系類似．下面給出推導(dǎo)過程．

所求功率P=UI，閉合電路歐姆定律E=U+Ir, 2式聯(lián)立得P=-I2r+EI.

圖2

關(guān)系曲線,即P-I函數(shù)圖象,是一條有極大值的拋物線,如圖2所示．

順便比較一下另外2種有關(guān)函數(shù)．除了以上輸出功率,還有電源總功率和電源內(nèi)部消耗的功率．電源總功率等于二者之和,也是推導(dǎo)P=-I2r+EI的又一思路．

電源總功率與電路中的電流之間關(guān)系,比較簡(jiǎn)單PE=EI,直接就是正比例函數(shù)．

電源內(nèi)部消耗的功率Pr=I2r．平方正比,拋物線．

請(qǐng)看下面題目,三者分得清嗎?

圖3

A反映Pr變化的圖線是b;

B電源電動(dòng)勢(shì)為4 V;

C電源內(nèi)電阻為2 Ω;

D當(dāng)電流為1 A時(shí),電源輸出功率最大

答案B、C、D.

3P-R關(guān)系

電源的輸出功率P與外電阻R的關(guān)系推導(dǎo):

圖4

電源總功率PE=EI、電源內(nèi)部消耗的功率Pr=I2r,物理量I應(yīng)用歐姆定律轉(zhuǎn)換成變量R,則有PE-R和Pr-R函數(shù)及圖象,此二者應(yīng)用較少,這里不多談及．

圖5

(1) 電源的最大輸出功率;

(2)R1上消耗的最大功率;

(3)R2上消耗的最大功率．

答案 (1) 2.25W; (2) 1.5W; (3) 2W．

4U-I關(guān)系

這個(gè)函數(shù)關(guān)系應(yīng)該是我們最熟悉的,實(shí)驗(yàn)也經(jīng)常用到．研究U-I關(guān)系,函數(shù)圖線叫“電源的U-I關(guān)系曲線”．U=E-Ir,U-I圖象中的直線跟縱軸的交點(diǎn)即為電源E,圖線斜率的絕對(duì)值即為電源內(nèi)電阻r．

提醒大家,學(xué)習(xí)電阻時(shí)還有一種圖線叫“元件的伏安特性曲線”(這里所說的“曲線”是一種統(tǒng)稱,我們見得更多的是直線).這種圖線還經(jīng)常與“電源的U-I關(guān)系曲線”綜合使用．

圖6

AE1>E2,r1>r2;

B若U1>U2,則I1>I2;

C適當(dāng)選擇R,可使U1>U2,I1=I2;

D適當(dāng)選擇R,可使I1=I2,U1=U2

答案A、B、D．

提示:畫出幾個(gè)R的伏安特性曲線,研究與U-I關(guān)系曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

5U-R關(guān)系

1) 當(dāng)負(fù)載電阻R趨向于0時(shí),r/R趨向無(wú)窮大,U趨向于0．

2) 若R增大，r/R減小,則U增大，即U-R關(guān)系是增函數(shù)．

3) 當(dāng)負(fù)載電阻R趨向無(wú)窮大時(shí),r/R趨向0,路端電壓U趨向電源電動(dòng)勢(shì)E,函數(shù)為漸近線．

圖7

(1) 電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻.

(2) 如果滑片接到a端,求R的許可范圍.

答案 (1)E=12 V,r=2 Ω. (2) 不小于4.9 Ω.

當(dāng)我們自認(rèn)為學(xué)會(huì)了的時(shí)候,看下面高考題就暈了,但暈了正常!

(1) 由圖線可知電池的電動(dòng)勢(shì)E=________V,內(nèi)阻r=________Ω．

圖8

答案2, 0.5．

提示:盯準(zhǔn)了變量,函數(shù)式變化,稱為“曲化直”．

6I-R關(guān)系

圖9

如圖9所示，物理語(yǔ)言說是“向左平移了一個(gè)r”，這里沒有負(fù)值,上面的坐標(biāo)點(diǎn)表示R=0,即短路狀態(tài),I=E/r(危險(xiǎn))．另一個(gè)如圖坐標(biāo)點(diǎn)什么意思？算作舉個(gè)例子吧.

別急,你認(rèn)為自己會(huì)了?看下面的高考題,暈的程度同上題．

圖10　　　　　　　　　圖11

答案 2.9; 0.9．

(作者單位：北京市第171中學(xué))