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放縮法在數(shù)列不等式證明中的應(yīng)用

◇山東孫梅彥

在高考中,對(duì)數(shù)列求和的考查多種多樣,其中證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式問題是高考熱點(diǎn)與難點(diǎn),解此類問題常用到“放縮法”．明析放縮法的技巧,對(duì)于同學(xué)們熟練解決此類問題大有裨益.下面就常用的放縮方法舉例分析.

1裂項(xiàng)放縮

(1) 求a2的值;

(2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(3) 證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有

(3) 證明: 由(2)知,an=n2,n∈N*.

綜上,對(duì)一切正整數(shù)n,有

(k>1,k∈N*)等.

2累乘放縮

(1) 求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;

(2) 證明: 由題設(shè)和(1)中的計(jì)算結(jié)果知

當(dāng)n=1時(shí),T1=1/4.

綜上可得對(duì)任意的n∈N*,均有Tn≥1/4n.

3利用均值不等式

(2) 設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列,其各項(xiàng)和為gn(x),比較fn(x)與gn(x)的大小,并加以證明.

(2) 由題意,設(shè){an}、{bn}分別是滿足條件的等差和等比數(shù)列,{an}的公差為d,則an=1+(n-1)d,bn=xn-1且xn=1+nd,即d=(xn-1)/n．

若x=1,則an=bn,所以fn(x)=gn(x);

即bn

綜上所述, 當(dāng)x=1時(shí),fn(x)=gn(x);當(dāng)x>0且x≠1時(shí),fn(x)

以上是數(shù)列與不等式綜合題型中的常規(guī)放縮技巧,由于放縮法是一種非等價(jià)轉(zhuǎn)化,放縮沒有確定的準(zhǔn)則和程序,放縮目的性很強(qiáng),需按題意適當(dāng)放縮.本文只是從部分角度來探究放縮法的一些技巧.

(作者單位：山東省乳山市第一中學(xué))