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引例探究高考中的歸納推理題

◇河北王艷春

歸納推理是合情推理,是數(shù)學(xué)的基本思維過程,也是人們在學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常運用的思維方式．在解決問題的過程中,歸納推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用．因此歸納推理是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容．通過對歸納推理的考查,點燃學(xué)生創(chuàng)新思維的火花,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新品質(zhì)．歸納推理是對有限資料進行觀察、分析,再憑借個人的經(jīng)驗和直覺等發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì),進而得出一般結(jié)論,即歸納推理是由特殊到一般的推理．本文將通過實例探究歸納推理在高考中的考查方式．

……

據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為________.

等號右邊首項分母分別是2、3、4,末項分母分別是2、4、6,由此猜測第n個等式的右邊是

所以我們推得第n個等式可為

3) 通常歸納的個別情況越多,歸納的結(jié)論可靠性就越大,因此在進行歸納推理時,要盡可能地多分析特殊情況,由此發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,從而獲得一般結(jié)論．

1歸納結(jié)論的正確與否:需要進一步檢驗

歸納推理能力常常以列舉、歸納、猜測、證明的形式考查,歸納得出的結(jié)論是否屬實,還需邏輯證明和實踐檢驗,即結(jié)論不一定可靠.

(1) 令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表達式;

(2) 略．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

由上可知,結(jié)論對n∈N+成立.

2規(guī)律的發(fā)現(xiàn)：需要深入探究已知關(guān)系

數(shù)列知識里面處處充盈著歸納推理,所以數(shù)列是考查歸納推理能力的最好的載體．

A3 690;B3 660;

C1 845; D1 830

a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7-a6=11，a8-a7=13，…

1)a1+a3=2，a5+a7=2，a9+a11=2,…

2)a2+a4=8×1，a6+a8=24=8×3，a10+a12=40=8×5,…

通過直觀觀察可得:1)中各項構(gòu)成一個常數(shù)列;2)各項中的常量為8,可變部分依次為1、3、5、…即奇數(shù)列.由此可得{an}的前60項和為

(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)+(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)=2×15+8×(1+3+5+…+29)=1 830.

方法2利用數(shù)列的遞推式的意義結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解．

因為an+1+(-1)nan=2n-1,得：a2=1+a1，

a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，

a7=2-a1，a8=15-a1，a9=a1，a10=17+a1，

a11=2-a1，a12=23-a1，…，a57=a1，

a58=113+a1，a59=2-a1，a60=119-a1.

所以可證明bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n-3+a4n-2+a4n-1+an+16=bn+16.

3創(chuàng)新問題的歸納：需要進行合理的轉(zhuǎn)化

近年高考常有以“新定義”“新符號”“新運算”“新性質(zhì)”等形式呈現(xiàn)的試題,此類試題能考查學(xué)生閱讀理解能力,通過觀察、歸納逐步理解題意,提取有用信息,獨立探究提出解決問題的思路,滲透了歸納推理能力．

n=ak×2k+ak-1×2k-1+…+a1×21+a0×20.

當i=k時ai=1.當0≤i≤k-1時ai為0或1.

定義bn如下:在n的上述表示中,當a0、a1、a2、…、ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時,bn=1;否則bn=0.

(1)b2+b4+b6+b8=________;

(2) 記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù),則cm的最大值是________.

2=1×21+0×20,a1=1,a0=0,b2=1;

以此類推：

3=1×21+1×20,b3=0;

4=1×22+0×21+0×20,b4=1;

5=1×22+0×21+1×20,b5=0;

6=1×22+1×21+0×20,b6=0,

7=1×22+1×21+1×20,b7=1,

8=0×23+1×22+1×21+1×20,b8=1.

所以b2+b4+b6+b8=3.

(2) 由(1)知cm的最大值為2．

歸納推理是現(xiàn)行普通高中數(shù)學(xué)教材中一項重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容.隨著新課改的不斷深入,歸納推理不但成為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的熱點與亮點,而且也成為了高考數(shù)學(xué)中的一個具有獨特價值的考點.在最近幾年的全國高考中涌現(xiàn)出了許多有關(guān)歸納推理的試題,因此應(yīng)引起廣大師生的重視．

(作者單位：河北省灤平縣第一中學(xué))