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淺談三角函數(shù)變換技巧

◇遼寧趙飛

一般來說,三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換具有不定性、多向性,這就使得在解題的過程中出現(xiàn)了多種多樣的方法．但無論怎么進行變換,解題的基本規(guī)律和基本思想是不會改變的．

1常見三角函數(shù)變換類型

1.1變換函數(shù)名稱

函數(shù)名稱變換是三角函數(shù)變換中比較常見的類型,其中的切、割化弦又是最為常見的函數(shù)名稱變換．此變換主要考慮化形式和化函數(shù)2個方面,正弦和余弦在三角函數(shù)中應用最廣,并且是6個三角函數(shù)的基礎(chǔ),正切和余切次之．常見的函數(shù)名稱轉(zhuǎn)化方式有2種:弦化切，切割化弦．

1.2變換三角函數(shù)的“角”

三角函數(shù)中的“角”主要指的是補角、余角、半角、差角,三角變換的表現(xiàn)形式之一就是對這些“角”實施變換．當這些三角函數(shù)的“角”在變化的時候,運算過程中的一些相應的函數(shù)名稱和符號等都會隨之而變化．利用三角之間的半、差、和、余、補等關(guān)系,將未知角用已知角表示出來,再利用相關(guān)的關(guān)系進行運算,這樣三角函數(shù)問題就順利地解決了．

因為cos(2A+B)=3/5>0, 0<2A+B<3π/2.所以0<2A+B<π/2,sin(2A+B)=4/5,所以

cosB=cos [2(A+B)-(2A+B)]=cos(2A+2B)·

cos(2A+B)+sin(2A+2B)·sin(2A+B)=

1.3變換三角函數(shù)的“形”

2常見三角函數(shù)變換解題技巧

2.1弦、切互化

弦、切互化是在三角函數(shù)題目解答中比較常用的基礎(chǔ)方法．利用弦化切的方法將三角函數(shù)中存在的正切函數(shù)進行化弦后,再進行問題的證明和解答．

2.2等量代換角

在解題的過程中,首先判斷已知角和未知角之間是否存在著某種關(guān)系．若存在確定的關(guān)系,可以利用角的等量代換進行轉(zhuǎn)化．如θ=(θ+φ)-φ=φ-(φ-θ)=(θ+φ)/2+(φ-θ)/2.這樣通過角之間簡單的轉(zhuǎn)換，將比較復雜的問題變成平時經(jīng)常解決的問題,進而簡單求解．

2.3逆用公式或變用公式

在解題的過程中,可以采用逆推的方法進行解答,就是從結(jié)論開始逆向探究條件．公式也可以經(jīng)過變換后再使用,這樣的解題方法有時能起到很好的效果．但在使用的過程中,必須對公式及其證明很熟悉．例如2sin2x=1-cos 2x,2cos2x=1+cos 2x等．讓學生對公式的證明以及由公式推導出來的相關(guān)結(jié)論熟練掌握,如此才能做到熟能生巧．

綜上，三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換思想,是找出差異、建立聯(lián)系、選對公式、促進轉(zhuǎn)化．本著這個基本思想來解題,即可順利找到解題的方向,化未知為已知.選擇正確的定理和公式,找出角或者是函數(shù)名稱間的差異,無論題目怎么變換，都可以做到化繁為簡、輕松解答．

(作者單位：遼寧省建平縣實驗中學)