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函數(shù)零點(diǎn)問題的求解策略

◇甘肅蔡鵬

函數(shù)零點(diǎn)，即當(dāng)y=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值.零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是數(shù)值.高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查，主要包括零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)分布.本文將介紹幾種零點(diǎn)問題的求解策略.

1數(shù)形結(jié)合法

A1;B2;C3;D4

圖1

由圖1可知,2個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,所以函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．故選B.

變式已知函數(shù)f(x)=|x-3|+1,g(x)=ax.若方程f(x)=g(x)有2個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

圖2

由圖可知g(x)=ax的圖象從l1的位置轉(zhuǎn)到l2時(shí),方程f(x)=g(x)有2個(gè)不相等的實(shí)根,g(x)在l1時(shí)a=1/3,g(x)在l2時(shí)a=1, 故a的取值范圍是1/3

2二分法

A(a,b)和(b,c);

B(-∞,a)和(a,b);

C(b,c)和(c,+∞);

D(-∞,a)和(c,+∞)

由于a0,

f(b)=(b-c)(b-a)<0,

f(c)=(c-a)(c-b)>0．

因此有f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0.又因?yàn)閒(x)是關(guān)于x的二次函數(shù),函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,因此函數(shù)f(x)的2個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi)．

變式函數(shù)f(x)=log2x-1/x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是().

A(0,1/2);B(1/2,1);

C(1,2);D(2,3)

3導(dǎo)數(shù)法

A (-14,0); B (0,14);

f(0)=e0+4×0-3=-2<0,

方法2此題可先將2個(gè)函數(shù)分離,再借助于數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．可以令g(x)=ex,h(x)=-4x+3．畫出2個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖3.根據(jù)2個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)所在的區(qū)間即可獲解．

圖3

變式已知函數(shù)f(x)=lnx-x+2有一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間為(k,k+1) (k∈N*),則k的值為____．

函數(shù)與方程的考查內(nèi)容除了零點(diǎn)所在的區(qū)間和根的個(gè)數(shù)問題以外,函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用也是常見的題型.在應(yīng)用上述幾種策略解題時(shí)，若直接求解很難奏效,可將條件轉(zhuǎn)化后再利用其求解.

(作者單位：甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué))