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明確復習重點探索有效途徑
———2016 年高考數(shù)學第2 輪復習建議( 上)

◇北京丁益祥(特級教師)

1第2輪數(shù)學復習重點

1.1夯實核心內(nèi)容

數(shù)學高考考查的內(nèi)容十分豐富,第2輪復習應在第1輪復習的基礎(chǔ)上,聚焦如下核心內(nèi)容:導數(shù)與函數(shù)、不等式,三角函數(shù)、三角變換與解三角形,數(shù)列與函數(shù)、不等式,概率統(tǒng)計與計數(shù)原理,空間圖形與平面圖形,解析幾何與平面幾何、平面向量.

1.2突出數(shù)學思想

高考歷來重視對數(shù)學思想的考查,近年來的數(shù)學高考中著重考查7種數(shù)學思想:函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、有限與無限思想、或然與必然思想.第2輪復習應更加突出數(shù)學思想的應用.

1.3發(fā)展理性思維

理性思維主要包括如下3個方面:從數(shù)和形的角度觀察事物,提出有數(shù)學特點的問題(如唯一性、存在性、不變性、充要性等);運用歸納抽象、邏輯推理、運算求解、演繹證明、空間想象、直覺猜想等思維方法思考和分析問題;利用數(shù)學語言(文字語言、圖形語言、符號語言等)準確地進行表述和交流.

歷年的數(shù)學高考考試大綱都明確指出:數(shù)學是一門思維科學,是發(fā)展學生理性思維的主要載體.高中數(shù)學課程標準也不止一次地強調(diào):數(shù)學對于培養(yǎng)學生理性思維具有其他學科不可替代的重要作用.據(jù)此,中學數(shù)學教學必須十分重視學生理性思維的培養(yǎng),而作為著重檢測學生思維水平和數(shù)學能力的數(shù)學高考,考查學生的理性思維是必然之舉.因此,第2輪復習必定要肩負起發(fā)展學生理性思維的重任.

1.4培養(yǎng)學科能力

“考查基礎(chǔ)知識的同時,注重考查能力”,歷來是數(shù)學高考的命題原則.這里的能力包括2個方面:1)基本能力,是指空間想象能力,抽象概括能力,推理論證能力,運算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力;2)發(fā)展性能力,包括應用意識和創(chuàng)新意識，具體表現(xiàn)為分析和解決實際問題的能力,以及面對創(chuàng)新問題富有新意的思維過程與解法設(shè)計.作為第1輪復習的延伸,第2輪復習中理應把提高學生數(shù)學能力作為主要的復習任務(wù).

2第2輪復習有效途徑

2.1通過重點專題復習夯實核心內(nèi)容

全國各地的高三數(shù)學復習,大多是兩輪制.第1輪以落實雙基為主,適當關(guān)注能力的提高和思維的發(fā)展,因此第1輪復習通常按章節(jié)逐一過關(guān).而第2輪復習的主要任務(wù)是聚焦核心考點,總結(jié)解題方略,發(fā)展思維水平,提高數(shù)學能力.因此,從知識、方法和能力的角度,精選幾個聚焦核心內(nèi)容的專題進行復習,一定是有效的.

專題選題原則:專題復習主要講解具有一定代表性的歷年高考試題以及具有一定綜合性的高考模擬試題或其他典型習題,所選問題應突出本專題的重點知識、重要技能、重要思想、典型方法、常用策略,既要注意選擇一些章內(nèi)知識的綜合問題,更要注意選擇那些在知識網(wǎng)絡(luò)交會點處設(shè)計的、注重發(fā)展思維、考查能力的試題或習題.

專題復習策略:重在解題思路的分析、知識要點的梳理、規(guī)范解法的展示、解題方略的總結(jié)、學科思想的提煉等.

可以選擇如下10個專題.

1) 選擇題、填空題的解法.

在所規(guī)劃的課時內(nèi),盡可能做到主要知識全覆蓋,量多面廣,小題綜合化.要選擇那些小巧靈活、解法多樣的問題,著重體現(xiàn)選擇、填空題的各種不同解法,如直接求解法、特值分析法、數(shù)形結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法、變量替換法、巧用定義法、直覺判斷法、合理估值法、無限逼近法等.通過選擇題和填空題的求解,進一步夯實雙基,同時培養(yǎng)學生思維的靈活性和敏捷性.

2) 數(shù)學思想方法的應用.

數(shù)學思想是數(shù)學知識的精髓,是架設(shè)在知識和能力之間的一座橋梁.第2輪復習中,必須選擇相關(guān)的問題,通過對蘊含在問題本身中的數(shù)學思想的挖掘和提煉,實現(xiàn)對問題的解決.從歷年的高考試題看,數(shù)學思想在各種題型中都有所考查,因此,本專題中選擇題、填空題、解答題3種題型都應有所選擇,所選題目應蘊含7種數(shù)學思想.通過這些問題的求解,一方面應體現(xiàn)數(shù)學思想在解題中的價值,另一方面應提高學生利用數(shù)學思想求解問題的意識.

3) 三角函數(shù)與平面向量.

三角函數(shù)是歷年高考必考的重要內(nèi)容之一,這類問題有時還和平面向量結(jié)合考查.第2輪復習既要重視單一的三角問題,也要適當關(guān)注三角函數(shù)與平面向量的綜合問題.本專題所選題目應側(cè)重于考查三角函數(shù)的化簡和求值、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角變換公式、正余弦定理等核心內(nèi)容,還應適當選擇1或2個三角函數(shù)與平面向量的綜合問題.

4) 數(shù)列與函數(shù)、不等式.

數(shù)列是高等數(shù)學和初等數(shù)學的一個重要銜接點,歷來是數(shù)學高考的重點之一.本專題所選的題目應側(cè)重于考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系、2類數(shù)列的通項與前n項和、數(shù)列運算的6大技能、函數(shù)的單調(diào)性與平均值不等式等核心知識,既要突出數(shù)列章內(nèi)知識的綜合,又要突出數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合.

(1) 求數(shù)列{an}的通項公式;

(2) 記數(shù)列{1/an}的前n項和Tn,求使|Tn-1|<1/1000成立的n的最小值.

歸納與小結(jié)此題是數(shù)列與函數(shù)、不等式的簡單綜合,既考查了數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系、等比數(shù)列的判定以及前n項和公式,又考查了指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)以及不等關(guān)系的處理方法.事實上,n≥10的獲得,依賴于指數(shù)函數(shù)y=2x的單調(diào)性,而不等式“29<512<1 000<1 024=210”的構(gòu)造,體現(xiàn)了不等關(guān)系的放縮技能.

5) 概率統(tǒng)計與計數(shù)原理.

概率與統(tǒng)計是近年來應用問題考查的主要內(nèi)容,對此,第2輪復習必須十分重視.本專題所選題目應側(cè)重于考查抽樣方法,用樣本估計總體(頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差和標準差);古典概型和幾何概型; 4類事件的概率(等可能性事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、對立事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率),理科還應關(guān)注條件概率,重視n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率及二項分布、離散型隨機變量的分布列、期望值與方差.復習中要重視圖表問題的精選與讀圖、識圖的方法指導.

(1) 完成頻率分布表.

(2) 作出頻率分布直方圖.

(3) 根據(jù)國家標準，污染指數(shù)在0～50時，空氣質(zhì)量為優(yōu);在51～100時，為良；在101～150時，為輕微污染；在151～200時，為輕度污染.

請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標準,對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價.

歸納與小結(jié)本題涉及了頻數(shù)、頻率、頻率分布表及頻率分布直方圖的意義和制作方法,涉及了對空氣質(zhì)量問題的評價.這類問題,大多是給出頻率分布表和頻率分布直方圖,然后要求根據(jù)圖表回答相應的問題.而此題給出的只是30個統(tǒng)計數(shù)據(jù)和國家關(guān)于空氣質(zhì)量的標準,要求自己制作頻率分布表和頻率分布直方圖,再根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,結(jié)合國家空氣質(zhì)量標準進行數(shù)據(jù)分析,最后對該市空氣質(zhì)量給出簡短評價,既展現(xiàn)了加工數(shù)據(jù)的具體過程,考查了數(shù)據(jù)處理能力,又著重考查了運用統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力,具有較強的應用價值.

6) 導數(shù)與函數(shù)、方程和不等式.

導數(shù)是歷年高考的重點,通常與函數(shù)、不等式、方程綜合考查.正因為試題是眾多知識的交會,因而往往是高考的把關(guān)試題之一,難度較大.這類試題的求解,對于推理論證能力和運算求解能力都具有較高的要求.因此,作為著重提高學生能力的第2輪復習,理應把導數(shù)與函數(shù)、方程和不等式作為重點專題強化落實.本專題應側(cè)重選擇考查導數(shù)及其幾何意義、導數(shù)公式以及求導法則(復合函數(shù)的求導法則)、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)與函數(shù)的極值和最值、導數(shù)與不等式的證明、導數(shù)與函數(shù)的零點等問題,進行求解訓練.

(1) 討論f(x)的導函數(shù)f′(x)的零點的個數(shù);

(2) 證明:當a>0時f(x)≥2a+aln(2/a).

歸納與小結(jié)此題是導數(shù)與函數(shù)、方程和不等式等眾多知識的交會,考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式、多項式函數(shù)的求導法則以及復合函數(shù)的求導法則,考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的零點、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)證明不等式的方法.此題第(1)問原則上應借助于函數(shù)零點的存在定理,然而,由于當a>0時,使得f′(x)<0成立的具體的某個x值不易求出,因此,這里采用無限逼近的辦法,即有限與無限的思想,較好地解決了問題,值得關(guān)注.第(2)問本質(zhì)上是不等式恒成立問題,這類問題,通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的判斷與最值問題的求解.

此題綜合性較強,具有一定難度.第2輪復習中選擇這樣的導數(shù)問題,對于培養(yǎng)學生的推理論證能力和運算求解能力,都能起到重要的作用.

(未完待續(xù))

(作者單位：北京陳經(jīng)綸中學)