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借力“聯(lián)系”觀點巧解題

◇湖北張裕仁向顯運

“聯(lián)系”觀點是唯物辯證法中一個很重要的觀點.在數(shù)學解題思維中,有時就需要我們著眼于活用“聯(lián)系”觀點去分析問題,如此才能迅速找到具體的解題思路.而教學實踐又表明，許多學生在解題思維活動中,根本就沒有運用“聯(lián)系”觀點去分析、解決問題的思想意識.為此特擷取2011年安徽卷(理科)第19題加以具體說明,以幫助學生拓寬解題思維.

原題(1) 設x≥1,y≥1,證明:

(2) 設1

1) 試題評價.

這是一道比較有趣的不等式問題,而單獨的不等式證明題,在近年的高考必考內(nèi)容中,很少見,是高考的一個冷點.高考命題立意:為了證明一個較復雜的不等式,可以降低難度,先設計一個簡單的不等式,當簡單不等式獲得證明時,再由此證明這個復雜不等式.顯然,對考生分析、解決問題的能力提出了較高的要求,需要考生關注這2問之間的緊密聯(lián)系(即揣摩高考命題意圖),并加以靈活運用.

2) 亮點分析.

xy(x+y)≤x+y+x2y2.

因為x+y+x2y2-[xy(x+y)+1]=

x2y2-1-[xy(x+y)-(x+r)]=

(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=

(xy-1)(x-1)(y-1),

其中x≥1,y≥1,xy≥1,所以上式大于等于0，從而問題得證.

(2)證法1(一般證法)由條件10、lgb>0、lgc>0,所以要證原式成立即證

即證

即證

lg2blgc+lg2clga+lg2algb≤

lg2algc+lg2blga+lg2clgb,

即證

lg2b(lgc-lga)+lg2c(lga-lgb)+

lg2a(lgb-lgc)≤0.

又lgc-lga=-(lga-lgb)-(lgb-lgc),于是通過代入整理知,即證

(lga-lgb)(lg2c-lg2b)+

(lgb-lgc)(lg2a-lg2b)≤0,

從而通過分解因式知,即證

(lga-lgb)(lgb-lgc)(lga-lgc)≤0.

因為1

綜上,所求證結(jié)論成立.

證法2 (簡捷證法)令logab=x,logbc=y,則由1

logac=logab·logbc=xy,

從而,本題即證

其中x≥1,y≥1.由(1)知,上式顯然成立，故得證.

3) 感悟體驗.

通過上述2種不同的證法,我們能夠明顯地感覺到“簡捷證法”簡單、明了,讓人耳目一新.其根源就在于,解答第(2)問時注意到了該問與第(1)問之間的緊密聯(lián)系——外在結(jié)構(gòu)相同(通過觀察即知),內(nèi)在本質(zhì)一致(借助“換元”的方式即可說明).一般地,若解答題設計多問,則應在解題之初分析解題思路時，就要努力探尋各問之間的關聯(lián)性,以便簡捷求解.

4) 相關鏈接.

反思這是西安市臨潼區(qū)某年的一道高考數(shù)學模擬檢測題,當時閱卷發(fā)現(xiàn)全區(qū)6000多考生,只有2人做對了第(2)問,大部分考生都是直接針對該問具體分析的,而沒有注意到考慮這2問之間的緊密聯(lián)系,即缺乏活用“聯(lián)系”觀點去分析、解決具體問題的思想意識

5) 鞏固練習.

(1) 求直線l的方程及m的值;

(2) 若h(x)=f(x+1)-g′(x)(其中g′(x)是g(x)的導函數(shù)),求函數(shù)h(x)的最大值;

(3) 當0

分析第(1)問利用導數(shù)可得直線l的方程為y=x-1,m的值為-2.

第(2)問,得到函數(shù)h(x)的最大值為2,請注意在此問求解中,又得到函數(shù)h(x)=ln(x+1)-x+2在(-1,0)上遞增,在(0,+∞)上遞減.

由于許多數(shù)學解答題設計多問的目的就是降低試題的難度,而各問之間又往往存在著某種緊密的聯(lián)系,因此將“聯(lián)系”的觀點靈活運用于數(shù)學解題活動中,往往能出奇制勝,得到簡捷、明了的解(證)過程.

(作者單位：湖北省當陽市第二高級中學)