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《集合及其運算》復習的幾點感悟

■歐小春

《集合及其運算》是高中數(shù)學學習的起點，也是一輪復習的起點，都說好的開始是成功的一半，那么這部分內(nèi)容如何復習呢？

一、數(shù)學思想方法回顧

(1)在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢時，注意檢驗集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確。

(2)求集合的子集(真子集)個數(shù)問題，需要注意的是：首先，過好轉化關，即把圖形語言轉化為符號語言；其次，當集合的元素個數(shù)較少時，常利用枚舉法解決，枚舉法不失為求集合的子集(真子集)個數(shù)的好方法，使用時應做到不重不漏。

(3)對于集合的運算，常借助數(shù)軸、Venn圖，這是數(shù)形結合思想的又一體現(xiàn)。

二、典型例題分析

1.集合的含義。

例1(1)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一個元素，則a=()。

A.4B.2C.0D.0或4

解析：(1)由ax2+ax+1=0只有一個實數(shù)解，可得當a=0時，方程無實數(shù)解；當a≠0時，則Δ=a2-4a=0，解得a=4(a=0不合題意舍去)。

規(guī)律方法：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集，還是其他類型的集合。

(2)集合元素的三個特性中的互異性對解題的影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性。

2.集合間的基本關系。

例2(1)已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1

(2)設U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+(m+1)x+m=0}，若(UA)∩B=?，則m=____。

解析:(1)當B=?時，有m+1≥2m-1，則m≤2。當B≠?時，若B?A，如圖1。

圖1

解得2

綜上，m的取值范圍是(-∞，4]。

(2)A={-2，-1}，由(UA)∩B=?，得B?A。

因為方程x2+(m+1)x+m=0的判別式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0，所以B≠?。所以B={-1}或B={-2}或B={-1，-2}。

①若B={-1}，則m=1；

②若B={-2}，則應有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4，且m=(-2)·(-2)=4，這兩式不能同時成立，所以B≠{-2}；

③若B={-1，-2}，則應有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3，且m=(-1)·(-2)=2，由這兩式得m=2。

經(jīng)檢驗知m=1和m=2符合條件。所以m=1或2。

規(guī)律方法：(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解。

(2)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)所滿足的關系。常用數(shù)軸、Venn圖來直觀解決這類問題。

3.集合的基本運算。

例3設集合U=R，A={x|2x(x-2)<1}，B={x|y=ln(1-x)}，則圖2中陰影部分表示的集合為()。

圖2

A.{x|x≥1}

B.{x|1≤x<2}

C.{x|0

D.{x|x≤1}

解析：易知A={x|2x(x-2)<1}={x|x(x-2)<0}={x|00}={x|x<1}，則UB={x|x≥1}，陰影部分表示的集合為A∩(UB)={x|1≤x<2}。

規(guī)律方法：(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況。

(2)運算過程中要注意集合間的特殊關系的使用，靈活使用這些關系，會使運算簡化。

三、易錯防范

(1)集合問題解題中要認清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點集，還是其他類型的集合)，要對集合進行化簡。

(3)Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心。

作者單位：湖南省衡陽市第一中學