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        弦角定理

        2016-04-25 04:29:15朱圣輝
        中國科技博覽 2016年9期
        關鍵詞:分割

        朱圣輝

        [摘 要]弦角定理主要用于轉換角與弦直間的關系,貫穿微積分領域,突破了現未達到的數學技術,是一次泰勒定理偉大的革新和完善。

        [關鍵詞]弦角;分割;角度關系;數列的極限;函數的邊值

        中圖分類號:O17-4 文獻標識碼:A 文章編號:1009-914X(2016)09-0237-01

        把圓的圓心設為O點,且要求把等腰三角形的角頂在O點上,另外圓內等腰三角形的兩個頂點交于圓上,分別為A.,C。由于圓的坡度可大可小,從而導致不能2線成比例,造成數量的變化,比例不同,以致分割圓,可以把等腰三角形不斷地分割下去。

        設等腰△AOC的頂角為α,半徑為R,從而求的α所R與圓弧的大小L=nπr2/2 ,作OB⊥CA(CA的垂直平分線),即垂直平分線交于圓上于B點,平分⌒CA。B點交于圓上,連接BC,AB,再作CB,AB的垂直平分線,交于圓上點D,F;繼而作CD,DB的垂直平分線,交于G,E,也就是可以把等腰三角形不斷地分割下去,不斷分割等腰三角形的等腰讓垂直平分線,垂直平分線上的點交于圓,又不斷連接這條腰的兩端,反復這樣地連接下去,以使⌒COA內的等腰三角形面積的總和接近扇形AOC的面積。

        設AD為X,因為OA=R,,CD=ABX,OB又為等腰三角形OCA,CA邊的垂直平分線。

        ∴Op=√r2-x2

        得PB=R-√r2-x2

        ∵CP=X,PB=r-√r2-x2

        得到CB=√cp2+pΒ2=√x2+﹙r-√r2-x2﹚2

        ∵等腰三角形ABC有二條腰且等長,且在⌒CDB 與 ⌒ ABf 中各有一個等腰三角形

        ∴sΔCDB+sΔΒfΑ=2sΔcDΒ=BC×QD=[√x2+﹙r-√r2-x2﹚2]×﹛r-√r2-√x2+[﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜

        ∵作為等腰△CDB的兩腰的垂直平分線,會交于圓G,E.

        ∴需要把DB作為底邊,則△DEB=DB﹒Q2E﹒1/2

        根據海倫公式求出S△ADC的面積

        其中P= r+x S△ABC=x﹙r-√r2-x2﹚

        ∴S= nπr2/360°- x﹙r-√r2-x2﹚ 而又有S△ABC=[√﹙r+x﹚x 2﹙r-x﹚]+xr

        即扇形OAC中的面積減去S△ABC的面積為S值,是S值接近于S△AOC的值

        已知2S△CDB=√x2+﹙r-√r2-x2﹚2+﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜

        已知ODB,則有DW=WB=DB/2=﹛√﹛r-√r2-[√x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜2+[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/4﹜\2

        而OW=√oB2-wB2=√r2-﹛√﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜2+[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/4﹜/4

        ∵W為OE上一點

        ∴WE=R-OW

        ∴4S△DBE=DB×WE/2×4=2DB×WE

        ∴4S△DBE=2DB×WE=﹛√﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜2+[x2+﹙r-√r2-x2﹚﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜

        將方程進行化簡,可以得

        即當設a1=x√r2-x2,a2= x﹙r-√r2-x2 ﹚,而a3= s△CDB,a4= 4S△DBE……

        ∵OA=r, AC=2x

        而從計算中可以表明。數列 是項數幾的函數,a1的根眼是函數極限的特例,設a2為首項。

        ∵CA為X2,XB為Y2,把△ABC作為參照物,CA=2X

        ∴pB=r-√r2-﹙AC2﹚2

        又設CB為X3,DQ為Y3,把△CDB作為參考的,DQ= r-√r2-﹙BC2﹚2

        ∴綜上所述,有yn= r-√r2-﹙xn2﹚2

        1)畫出草圖,在直角坐標系中畫出一個直徑為2R,圓心為(O,O)的圓;

        2)取底邊上兩點,分相在相對應得圓弧上作中點,即取a2的三個頂點,作出曲線,底邊為直線的大致圓象;

        3)借助圓形確定被積函數,求出交點坐標,確定積分上,下限;

        4)拋物線與圓圍成的面積表示成若干個定積分的和;

        5)計算并求出結果。

        ∵圓心的坐標是(O,0)圓的半徑為R,QA=X

        ∴A(X,-√R2-X2) B(-R,O) C(-X,- √R2-X2)

        ∵拋物線經過A,B,C三點,且設Y=aX2A+Bxa+C

        ∴aX2+Bx+c=-√R2-X2

        aR2-Br+C=0

        aX2-Bx+c=-√R2-X2

        解得:a1=√R2-X2∕R2-X2 b=0-b1=c=-R2√R2-X2R2-X2

        故拋物線的方程是Y=xA2(√R2-X2)/(R2-X2)-R2(√R2-X2)/(R2-X2)

        但拋物線與直線所圍成的面積不能使弦角公式非常精確,于是的設拋物線B,C,D主點,且設Y=a2XA2+b2XA+C

        其中D2為CQ中點,D3為CB的中點,作D3D2的反向延長線交圓弧于D1點,作D1D4⊥oB

        D1(-X/2,-√R2-(X/2)2B(-R,O)C(-X,-√R2-X2)

        ∴(X/2)2a-Xb/2+C=-√R2-(X/2)2

        Ar2-Br+C=0

        aX2-Bx+C=-√R2-X2

        ∴a(R2-X2)+b(-R+X)=√R2-X2

        a(R2-X2/4)+b(-R+X/2)=√R2-(X/2)2

        解得:a2=[√R2-X2+b(R2-X2) ] /(R2-X2)

        b2=﹛√r2-﹙x2﹚2(r2-X2)-[r2-﹙x2﹚] 2 √(r2-X2)﹜/﹛[r2-﹙x2﹚] (R-X﹚+(-R+X2)(R2-X2)

        c2=b2r-a2r2

        ∵有兩點B(-R,O)和C(-X,- √R2-X2),且(Ya-y1)/(y2-y1)=(xA-x1)/(x2-x1)

        Ya=(xA+R)√R2-X2)/R-X=(xA+R)√R2-X2) /R-X=(XA(√R2-X2)/(R-X))+ (√R2-X2)/(R-X)=>a3=(√R2-X2) /R-Xb3=(R√R2-X2)/R-X

        當-x﹤XA﹤0時

        ∵直線y=Xaa3+b3在曲線y=a2X2A+b2XA+C的上方

        ∴∫0-X{a3XA+b3-(a2X2A+b2X2A+C)dx

        =∫0-X{(a3-b2)XA-a2X2A+(b3-C)}dx

        =∫0-X{(a3-b2)XA-a2X2A+(b3-C)}dx

        ={(a3-b2}/2)X2A-(a2/3)X2A+(b3-C)XA)|0-X

        =-x2(a3-b2)/2--(a2/3)X2+(b3-C)X

        ∴Limsn=nπR2/360°,sn=x1y12+x2y22+{-((a1-b1)/2)x2-(a2/3)X2+(b1-c)X}

        n→+∞

        關于弦角公式的應用:

        1.求反正弦函數,反余弦函數,反正切函數的值;

        2.利用π= arctan2+ arctan1/5+ arctan1/8求π的值;

        3.求根號值,√X, 3√X,4√X……x√X的值;

        4.適用于人工計算和計算機計算,求角求根號值;

        5.利用分割法或多倍角得sin1度,求正弦值;

        6.解高次方程,求零點。

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