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自主招生中的常用解題策略

◇河北李泓序

自主招生作為高校選拔的有益補(bǔ)充越來越受到社會(huì)的廣泛關(guān)注.筆者在學(xué)習(xí)備考的過程中,對(duì)自主招生試題中的一些常用解題策略做如下研究與歸納,在此與讀者共享.

1觀察、歸納與猜想

分析首先,當(dāng)m=1時(shí),n2=1,所以n=1;當(dāng)m=2時(shí),n2=3矛盾;當(dāng)m=3時(shí),n2=9,所以n=3;當(dāng)m=4時(shí),n2=33矛盾;當(dāng)m≥5時(shí),m!是10的倍數(shù).

簡證設(shè)n=10x+i,x∈N,i∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},經(jīng)計(jì)算知n2的個(gè)位數(shù)只能為0,1,4,5,6,9;最后分析右邊,當(dāng)m≥5時(shí)1!+2!+3!+…+m!的個(gè)位數(shù)為3,故矛盾.

故滿足條件的正整數(shù)對(duì)(m,n)=(1,1)或(3,3)．

2變量代換法

sinα+cos2α-sin2α=sinα+1-2sin2α>0.

所以2sin2α-sinα-1<0，-1/2

(1) 求an;(2) 求證: 2n+1·an<7.

3變更主元

xk2+(2x2+9)k+x3+27=

xk2+(2x2+9)k+(x+3)(x2-3x+9)=

[k+(x+3)][kx+(x2-3x+9)].

所以x1=-k-3或x2+(k-3)x+9=0.

Δ=(k-3)2-36=k2-6k-27=

k(k-6)-27≥9×3-27=0.

綜上原方程的解為x1=-k-3,

4逆向思維

(x3+6x-3)2=2(3x2+2)2,

x6-6x4-6x3+12x2-36x+1=0.

令f(x)=x6-6x4-6x3+12x2-36x+1即可．

當(dāng)然除了本文列舉的幾種常用策略,還有一些與高考聯(lián)系特別緊密的方法，在此不再一一列舉了,希望能對(duì)大家的自主招生及高考有所幫助.

(作者單位：河北省邯鄲市第一中學(xué))

其次:分列計(jì)算,當(dāng)n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10時(shí),n2的個(gè)位數(shù)只能為0,1,4,5,6,9.

猜想:對(duì)任意n∈N*,n2的個(gè)位數(shù)只能為0,1,4,5,6,9．