袁利毫, 羅禮勇,2, 昝英飛, 李新飛

(1.哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001； 2.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

?

輸入受限的網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)有限時(shí)間一致性

袁利毫1, 羅禮勇1,2, 昝英飛1, 李新飛1

(1.哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001； 2.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：針對(duì)網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)的有限時(shí)間協(xié)調(diào)一致性問(wèn)題，考慮控制力矩有界和速度信息不可測(cè)的實(shí)際情況?；谟邢迺r(shí)間控制技術(shù)，利用雙曲正切函數(shù)，設(shè)計(jì)出了網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)分布式有限時(shí)間一致性控制算法。利用代數(shù)圖論、Lyapunov穩(wěn)定性理論和齊次性理論，證明了設(shè)計(jì)出的控制算法能夠使得所有智能體的位置和速度在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致,并且滿足控制力矩有界的條件。最后數(shù)值仿真結(jié)果表明在控制力矩有界和速度信息不可獲取的情況下，所設(shè)計(jì)出控制算法的有效性和可行性。

關(guān)鍵詞：Euler-Lagrange系統(tǒng)；有限時(shí)間；速度信息不可測(cè)；一致性算法

由于Euler-Lagrange方程能夠建模大量的機(jī)械系統(tǒng),如操作機(jī)械臂[1-4]、水下機(jī)器人[5-9]等。對(duì)網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)(NELS)協(xié)調(diào)控制的研究有著重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。Liu等[10]在切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中,利用分布式自適應(yīng)控制方法研究了含通信時(shí)延的NELS的一致性。Min等[11-12]分別考慮了參數(shù)不確定的NELS分布式自適應(yīng)協(xié)調(diào)一致性問(wèn)題和帶耦合時(shí)滯的多Lagrange系統(tǒng)的狀態(tài)一致性。在有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中,Liu等[13]研究了一組參數(shù)不確定的NELS自適應(yīng)一致性，設(shè)計(jì)了三種情況下系統(tǒng)的分布式自適應(yīng)協(xié)調(diào)一致算法。Yang等[14]研究了NELS的魯棒同步跟蹤控制問(wèn)題,針對(duì)系統(tǒng)的低耦合不確定性問(wèn)題提出了一種新的分布式滑?？刂品桨浮iu等[15]研究了NELS編隊(duì)跟蹤控制,同時(shí)針對(duì)了外界噪聲干擾和執(zhí)行器故障兩種情況,設(shè)計(jì)的控制方案保證了跟隨者狀態(tài)跟蹤到領(lǐng)航者。

與漸近收斂相比較,有限時(shí)間收斂具有更好的收斂性能,能夠使系統(tǒng)具有快速、精確跟蹤等優(yōu)點(diǎn)。Liu等[16]在無(wú)向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中考慮了無(wú)領(lǐng)航者的NELS一致性,設(shè)計(jì)的分布式控制算法保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間里達(dá)到一致。Aldana等[17]在無(wú)向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中研究了用Euler-Lagrange方程描述的異質(zhì)機(jī)器人的一致性問(wèn)題,同時(shí)考慮了是否存在領(lǐng)航者的兩種情況。Yu等[18]采用終端滑?？刂品桨?研究了機(jī)械臂有限時(shí)間協(xié)調(diào)跟蹤控制。Su等[19]考慮了由Lagrange方程建模的機(jī)器人系統(tǒng)分布式有限時(shí)間協(xié)調(diào)跟蹤控制問(wèn)題。

本文針對(duì)控制力矩有界的NELS分布式有限時(shí)輸出反饋控制問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了NELS的分布式有限時(shí)間一致性算法。與文獻(xiàn)[16]相比較，本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于：1) 論文在速度不可測(cè)的情況下，通過(guò)構(gòu)造動(dòng)態(tài)濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)無(wú)需速度信息的網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)有限時(shí)間一致性；2) 設(shè)計(jì)的控制算法在控制力矩先驗(yàn)有界時(shí)，能夠使得系統(tǒng)在有限時(shí)間里達(dá)到一致。

1非線性控制方法

1.1 網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)模型

假設(shè)第i個(gè)智能體Lagrange系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型由如下Euler-Lagrange方程建模：

(1)

式(1)有下面兩個(gè)重要的性質(zhì)：

(2)

1.2代數(shù)圖論

利用圖論基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)表示n個(gè)智能體之間的信息交。假設(shè)圖G={v,ε}是含有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖,v={v1,v2,…,vn}為節(jié)點(diǎn)集,ε={e1,e2,…,en}為邊集。 若(vi,vj)∈ε表示頂點(diǎn)vj能夠獲取頂點(diǎn)vi的信息,同時(shí)把vj稱作vi的子節(jié)點(diǎn),vi叫做vj的父節(jié)點(diǎn)。在無(wú)向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖中(vi,vj)∈ε等價(jià)于(vj,vi)∈ε。圖G是連通的,若滿足條件使得G中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有一條邊能夠?qū)⑵溥B接。設(shè)A=[aij]∈Rm×m為圖G的加權(quán)鄰接矩陣,其元素aij定義為：當(dāng)(vi,vj)∈ε時(shí),aij>0,否則aij=0。

1.3非線性穩(wěn)定性定理

定義1[4]考慮如下系統(tǒng)

(3)

式中：f:U0→Rm,f(x)=[f1(x)f2(x) …fm(x)]T是一個(gè)連續(xù)的向量場(chǎng)函數(shù)。設(shè)(r1,r2,…,rm)∈Rm，其中rp>0,p=1,2,…,m,若對(duì)任意的ε>0,滿足fp(εr1x1,εr2x2,…,εrmxm)=εk+rpfp(x),?x∈Rm成立,則稱f(x)關(guān)于(r1,r2,…,rm)是齊次度為k∈R的齊次函數(shù)。如果f(x)是齊次的,則有系統(tǒng)(3)是齊次的。

引理2[21]考慮如下系統(tǒng)

(4)

(5)

1.4符號(hào)定義

為了方便，對(duì)x=[x1…xn]∈Rm，0<α<1，首先定義sig(x)α=[|x1|αsgn(x1)…|x1|αsgn(x1)]，其中sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。

2控制算法設(shè)計(jì)

考慮系統(tǒng)式(1),針對(duì)速度不可測(cè)問(wèn)題,設(shè)計(jì)控制力矩有界的分布式一致性算法τi,使得系統(tǒng)在有限時(shí)間里,滿足如下控制目標(biāo)：

(6)

式中：ξi為輔助變量，用于估測(cè)速度，t大于T,且T為一大于零的固定數(shù)。

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)的有限時(shí)間一致性,設(shè)計(jì)如下分布式有限時(shí)間一致性算法：

(7)

(8)

其中，對(duì)任意的y→0時(shí)，有tanh(y)=cly+o(y)，cl為正常數(shù)，l=1,2，o(y)為y的高階無(wú)窮小量，ki、λi是大于零的常數(shù),aij是鄰接矩陣A的(i,j)位置元素，α1=α2/(2-α2)。

證明 1)證明系統(tǒng)(1)在控制算法(7)、(8)作用下的全局漸近穩(wěn)定性，選取如下Lyapunov函數(shù)：

(9)

計(jì)算V對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，將式(7)、(8)代入式(9)整理可得:

(10)

(11)

2)為證明系統(tǒng)(1)在(7)、(8)局部有限時(shí)間穩(wěn)定,首先定義:

于是,系統(tǒng)(1)在算法(7)～(8)下可以改寫成如下形式：

(12)

其中：

同樣,通過(guò)選取如下Lyapunov函數(shù)：

tanh(sig(s)α1)ds

(13)

接下來(lái)推導(dǎo)

(14)

(15)

3)證明所有控制力矩都有界，對(duì)任意常數(shù)c>0和向量x∈Rm，有‖tanh(cx)‖≤1,則控制力矩的界‖τi‖。因此,如果,則有‖τi‖≤τMi。

注1針對(duì)系統(tǒng)(1),當(dāng)系統(tǒng)能夠獲取自身速度信息時(shí)，可設(shè)計(jì)如下分布式有限時(shí)間一致性算法：

(16)

式中:kpi、kdi為正實(shí)數(shù)，0<α1<1,α1=α2/(2-α2)。

注2在分布式有限時(shí)間一致性算法(7)、(8)中當(dāng)α1=α2=1時(shí),可得到如下漸近收斂的控制算法：

(17)

(18)

其中,ki、λi與算法(7)、(8)中定義相同。

3數(shù)值仿真

為了檢驗(yàn)系統(tǒng)(1)在算法(7)、(8)下的有效性，基于MATLAB/Simulink環(huán)境，搭建數(shù)值仿真模

型來(lái)進(jìn)行仿真驗(yàn)證?？紤]由4個(gè)機(jī)械臂組成的系統(tǒng)，其相互間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

假設(shè)4個(gè)機(jī)械臂具有如下Euler-Lagrange方程建模的動(dòng)力學(xué)模型：

式中：

cos(q2-αe)+J1+J2

g1=(m1l1+m2l1)gcos(q1)+m2l2gcos(q1+q2)

g2=m2l2gcos(q1+q2)

其中，機(jī)械臂連桿質(zhì)量為m1=1.2、m2=1.5,兩連桿間長(zhǎng)度為l1=1.0、l2=0.8,其接點(diǎn)到質(zhì)心距離為lc1=0.6、lc2=0.7,兩連桿之間的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1=0.35、J2=0.4、g=9.8m/s2、αe=30°。選取ki=3、λi=5、α1=2/3、α2=4/5。

圖1　4個(gè)機(jī)械臂間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1　The topology associated with four manipulators

仿真結(jié)果如圖2～4所示。圖2與圖3分別表示各機(jī)械臂的位置和速度變化曲線，從圖2、圖3可以看出在有限時(shí)間里四個(gè)機(jī)械臂的位置和速度均能達(dá)到一致。圖4表示控制力矩隨時(shí)間的變化曲線，從圖4中看出控制力矩的上界τi=10。數(shù)值仿真結(jié)果與理論相一致，表明了提出的控制算法的正確性。

(a) q(1)組位置變化曲線　　　　　　　　　　　　　(b) q(2)組位置變化曲線圖2　4個(gè)機(jī)械臂之間的兩組位置變化Fig.2　Two groups of positions for the four manipulators

(a) q(1)組速度變化曲線　　　　　　　　　　　　　(b) q(2)組速度變化曲線圖3　4個(gè)機(jī)械臂之間的兩組速度變化Fig.3　Two group of the velocity for the four manipulators

(a) q(1)組控制力矩變化曲線　　　　　　　　　　　　　(b) q(2)組控制力矩變化曲線圖4　4個(gè)控制力矩兩組變化曲線Fig.4　Two groups time history curves for the four controller

4結(jié)論

1)基于齊次性理論，給出了NELS全局有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件，通過(guò)利用飽和函數(shù)和構(gòu)造動(dòng)態(tài)濾波器實(shí)現(xiàn)了控制力矩有界和速度信息不可測(cè)的NELS有限時(shí)間一致性。

2)數(shù)值仿真結(jié)果表明了NELS建模的各機(jī)械臂位置和速度都在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致，控制力矩存在上界，表明了NELS分布式有限時(shí)間控制算法的有效性和可行性。

3)進(jìn)一步考慮外界干擾等實(shí)際情況，利用滑模控制等方法研究基于Euler-Lagrange方程建模的水下多機(jī)器人系統(tǒng)編隊(duì)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]LI Zhijun, LI Jianxun, KANG Yu. Adaptive robust coordinated control of multiple mobile manipulators interacting with rigid environments[J]. Automatica, 2010, 46(12): 2028-2034.

[2]VALENTIN F, TOBIAS M, ALEXANDER H, et al. Dynamic modeling of constant curvature continuum robots using the Euler-Lagrange formalism[C]// IEEE International Conference on Intelligent Robots and Systems, USA, Chicago, 2014: 2428-2433.

[3]JIN Maolin, LEE J, CHOI C. Practical nonsingular terminal sliding-mode control of robot manipulators for high-accuracy tracking control[J]. IEEE transactions on industrial electronics, 2009, 56(9): 3593-3601.

[4]HONG Yiguang, XU Yangsheng, HUANG Jie. Finite-time control for robot manipulators[J]. Systems and control letters, 2002, 46(4): 243-253.

[5]WU Xiaofeng, WU Zewei, CAI Jianping. Recovery control for the parent-child autonomous underwater vehicles via a master-slave synchronization scheme[C]// The 33rd Chinese Control Conference. Nanjing, China, 2014: 1317-1320.

[6]CHEN Weichen, JEN S K, JING F T. Modeling and simulation of an AUV simulator with guidance system[J]. IEEE journal of oceanic engineering, 2013, 38(2): 211-225.

[7]CORINA B, MATTHEW W, DUNNUGAN Y P. Dynamic coupling and control issues for a lightweight underwater vehicle manipulator system[C]// IEEE The 2014 Oceans-St. John's, St. John's, NL, 2014: 1-6.

[8]EVEV B, KRISTIN Y. P. Formation control of 6-DOF Euler-Lagrange systems with restricted inter-vehicle communication[C]// IEEE Conference on Decision and Control Manchester Grand Hyatt Hotel, San Diego, CA, USA, 2006: 5718-5723.

[9]JONGHOON P, WANKYUN C. Nonlinear H∞optimal PID control of autonomous underwater vehicles[C]// IEEE International Symposium on Underwater Technology, Tokyo, Japan, 2000: 193-198.

[10]LIU Yuan, MIN Haibo, WANG Shicheng. Distributed adaptive consensus for multiple mechanical systems with switching topologies and time-varying delay[J]. Systems and control letters, 2014, 64(2): 119-126.

[11]MIN Haibo, SUN Fuchun. Distributed adaptive consensus algorithm for networked Euler-Lagrange systems[J]. IET Control theory and applications, 2011, 5(1): 145-154.

[12]MIN Haibo, WANG Shicheng, SUN Fuchun. Robust consensus for networked mechanical systems with coupling time delay[J]. International journal of control, automation, and systems, 2012, 10(2): 227-237.

[13]LIU Jun, JI Jinchen ZHOU Jin, et al. Adaptive group consensus in uncertain networked Euler-Lagrange systems under directed topology[J]. Nonlinear dynamics, 2015, 82(3): 1145-1157.

[14]YANG Zijiang, QIN P. Distributed robust control for synchronized tracking of networked Euler-Lagrange systems[J]. International journal of systems science, 2015, 46(4): 720-732.

[15]LIU Lei, SHAN Jinjun. Distributed formation control of networked Euler-Lagrange systems with fault diagnosis[J]. Journal of the Franklin Institute, 2015, 352(3): 952-973.

[16]劉源, 王仕成. 無(wú)領(lǐng)航者的多Euler-Lagrange系統(tǒng)有限時(shí)間一致性算法[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2014, 31(1): 93-99.

LIU Yuan, WANG Shicheng. Decentralized finite-time leaderless consensus algorithm for networked Euler-Lagrange systems[J]. Control theory and applications, 2014, 31(1):93-99.

[17]ALDANA C, NUNO E, BASANEZ L. Operational space consensus of multiple heterogeneous robots without velocity measurements[J]. Journal of the franklin institute, 2014, 351(3): 1517-1539.

[18]YU Shuanghe, YU Xinghuo, et al. Continuous finite-time control for robotic manipulators with terminal sliding mode[J]. Automatica, 2005, 41(6): 1957-1964.

[19]SU Yuxin, SWEVERS J. Finite-time tracking control for robot manipulators with actuator saturation[J]. Robotics and computer-integrated manufacturing, 2014, 30(2): 91-98.

[20]SLOTINE J, LI Weiping. Applied nonlinear control[M]. New York: Prentice Hall, 1991.

[21]MENG Ziyang, REN Wei, YOU Zheng. Distributed finite-time attitude containment control for multiple rigid bodies[J]. Automatica, 2010, 46(12): 2092-2099.

Finite-time consensus control for networked Euler-Lagrange systems with input saturations

YUAN Lihao1, LUO Liyong1,2, ZAN Yingfei1, LI Xinfei1

(1. School of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2. School of Mathematical Science, Heilongjiang University, Harbin 150001, China)

Abstract：This article focuses on the finite-time coordinated consensus problem for networked Euler-Lagrange systems with control torque constraints and the velocity is not available for feedback. Based on the finite-time control technology, by using hyperbolic tangent function, a velocity-free distributed finite-time consensus algorithm is designed for velocity is not measurable and the control inputs are regarded as a priori bounded. Rigorous proof shows that the positions and velocities of all agents can be achieved consensus in finite-time and the control scheme satisfies the control torque constraints requirement with the algebraic graph theory, homogeneous method and Lyapunov stability theory. Finally, numerical simulation validates the effectiveness and feasibility of the proposed method with control torque constraints and without velocity measurements.

Keywords：Euler-Lagrange systems; finite-time; without velocity measurements; consensus algorithm

中圖分類號(hào)：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-7043(2016)02-0157-06

doi:10.11990/jheu.201512037

作者簡(jiǎn)介：袁利毫(1982-), 男, 講師, 博士.通信作者：袁利毫, E-mail：yuanlihao82@163.com.

基金項(xiàng)目：國(guó)家科技重大專項(xiàng)資助項(xiàng)目(20112X05027).

收稿日期：2015-12-11.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-01-25.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160125.1638.002.html