朱祎國(guó),林會(huì)杰

(大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023)

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考慮循環(huán)效應(yīng)的鎳鈦合金超彈性細(xì)觀本構(gòu)模型

朱祎國(guó),林會(huì)杰

(大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023)

摘要：超彈性是形狀記憶合金最主要的特性之一，本文假設(shè)其在相變過(guò)程中具有層狀微結(jié)構(gòu)，利用理想界面條件推導(dǎo)出相變發(fā)展過(guò)程的單晶本構(gòu)關(guān)系，同時(shí)引入臨界應(yīng)力，累積殘余應(yīng)變和累積馬氏體體積分?jǐn)?shù)3個(gè)變量，利用臨界應(yīng)力，循環(huán)次數(shù)N構(gòu)造相變驅(qū)動(dòng)力隨循環(huán)次數(shù)N變化的表達(dá)式。在每一次加載中相變驅(qū)動(dòng)力作為一個(gè)材料參數(shù)控制正相變和逆相變的發(fā)生過(guò)程，聯(lián)合累積馬氏體體積分?jǐn)?shù)和累積殘余應(yīng)變就得到考慮循環(huán)效應(yīng)的單晶本構(gòu)模型。利用Taylor假設(shè)推廣到多晶模型。最后為證實(shí)本模型的可行性，進(jìn)行了數(shù)值模擬，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

關(guān)鍵詞：形狀記憶合金;循環(huán)效應(yīng);超彈性;層狀微結(jié)構(gòu);本構(gòu)模型

鎳鈦形狀記憶合金(shape memory alloys，SMAs)因其獨(dú)特的超彈性和形狀記憶效應(yīng)被廣泛地應(yīng)用在航空航天，交通運(yùn)輸和生物醫(yī)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域[1-3]。然而這些器件不可避免的就會(huì)受到循環(huán)載荷的影響，為了能完善的設(shè)計(jì)形狀記憶合金工作元件并且評(píng)估其可靠性，有必要深入地研究循環(huán)載荷條件下的形狀記憶合金超彈性變形特性和建立適合工程應(yīng)用的本構(gòu)模型。

近20年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)鎳鈦合金的循環(huán)變形進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)觀察，其中所得出來(lái)的主要共同特點(diǎn)有三個(gè)[4-5]: 1)隨著循環(huán)圈數(shù)的增加遲滯環(huán)變小，當(dāng)循環(huán)圈數(shù)到達(dá)特定的值時(shí)，遲滯環(huán)大小不變；2)殘余應(yīng)變(殘余塑性應(yīng)變)隨著循環(huán)圈數(shù)的增加逐漸減小，直至減小到0不變；3)相變臨界應(yīng)力或者相變驅(qū)動(dòng)力隨著循環(huán)圈數(shù)的增加逐漸減小，當(dāng)循環(huán)圈數(shù)到達(dá)一特定值后保持不變。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察所得到數(shù)據(jù)及現(xiàn)象，研究者建立了許多與循環(huán)圈數(shù)N有關(guān)的形狀記憶合金本構(gòu)關(guān)系，這些本構(gòu)關(guān)系大致可以分為兩類(lèi)，即宏觀唯象模型和細(xì)觀力學(xué)模型。比較有代表性的宏觀唯象模型有Tanaka模型，他通過(guò)引入三個(gè)內(nèi)變量殘余應(yīng)力，殘余應(yīng)變和馬氏體體積分?jǐn)?shù)來(lái)描述形狀記憶合金在一維情況下受到循環(huán)載荷的本構(gòu)關(guān)系[6]。其中循環(huán)載荷包括機(jī)械載荷和溫度熱載荷。Lexcellent等[7]在簡(jiǎn)單循環(huán)載荷下定義新的內(nèi)變量，引入瞬時(shí)殘余馬氏體的概念進(jìn)而改變自由能函數(shù)提出新的動(dòng)力學(xué)方程來(lái)描述本構(gòu)關(guān)系。Abeyaratne等[8]則是通過(guò)引入內(nèi)變量來(lái)控制相變驅(qū)動(dòng)力來(lái)影響多晶體的成核程度，使得相變改變的發(fā)生較為準(zhǔn)確。Auricchio[9]則考慮了溫度的影響，相變臨界應(yīng)力和殘余永久變形來(lái)建立了一個(gè)在循環(huán)加載下一維超彈性的本構(gòu)關(guān)系。Zaki等[10]定義了三個(gè)狀態(tài)變量?jī)?nèi)應(yīng)力，殘余應(yīng)變和累積馬氏體體積分?jǐn)?shù)來(lái)構(gòu)造循環(huán)相變方程和應(yīng)力屈服函數(shù)來(lái)進(jìn)行數(shù)值模擬和模型確認(rèn)。近年來(lái)也有學(xué)者通過(guò)唯象理論來(lái)構(gòu)造鎳鈦合金循環(huán)本構(gòu)關(guān)系[11]。這些模型形式相對(duì)簡(jiǎn)單便于計(jì)算和工程應(yīng)用及有限元分析，但是卻無(wú)法描述形狀記憶合金的微觀相變的機(jī)理。細(xì)觀力學(xué)模型考慮微結(jié)構(gòu)的物理機(jī)理，以熱力學(xué)和細(xì)觀力學(xué)等為原理出發(fā)，通過(guò)對(duì)相變轉(zhuǎn)變發(fā)生過(guò)程中的能量變化來(lái)建立模型，同時(shí)可以為唯象模型提供相應(yīng)的理論依據(jù)。典型的細(xì)觀力學(xué)模型有Bo and Lagoudas模型[12-14]，他們從熱力學(xué)原理出發(fā)定義了一個(gè)包含馬氏體、奧氏體和塑性應(yīng)變的代表性體積單元(RVE)，結(jié)合定義的幾個(gè)內(nèi)變量得到Gibbs自由能并給出馬氏體增量的能量增量形式，給出支配相變轉(zhuǎn)化中硬化效應(yīng)的四種基本機(jī)制。Patoor等[15-16]從晶體學(xué)出發(fā)給出了單晶相變的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述并利用自洽方法建立多晶模型。Thamburaja等[17]則考慮了馬氏體重定向和孿晶來(lái)建立單晶體模型通過(guò)Taylor方法和有限元程序來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)多晶體的模擬。Stupkiewicz等[18]則基于層狀微結(jié)構(gòu)的假設(shè)，通過(guò)孿晶和慣習(xí)面方程來(lái)得到由應(yīng)力加載本構(gòu)方程。Yu等[19]通過(guò)引入三個(gè)界面間的狀態(tài)變量來(lái)得到單晶的Helmholtz自由能和相變驅(qū)動(dòng)力，通過(guò)尺度變換得到可以描述多晶NiTi合金循環(huán)變形的本構(gòu)關(guān)系。

本文考慮奧氏體與馬氏體在相變過(guò)程中具有層狀微結(jié)構(gòu)，利用理想界面連續(xù)的條件并忽略界面的相互作用及局部熱效應(yīng)，推導(dǎo)出宏觀應(yīng)力應(yīng)變與微觀應(yīng)力應(yīng)變之間的變化和相變的控制方程[20-21]，并推廣到多晶體上[22]。本文在此基礎(chǔ)上，引入累積殘余應(yīng)變，累積殘余馬氏體體積分?jǐn)?shù)等狀態(tài)變量，通過(guò)構(gòu)造與循環(huán)次數(shù)N有關(guān)的表達(dá)式以及控制相變臨界驅(qū)動(dòng)力來(lái)構(gòu)造關(guān)于循環(huán)變形的本構(gòu)模型。最后通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)證明此模型的有效性。

1單晶本構(gòu)模型

1.1本構(gòu)關(guān)系

假設(shè)在相變過(guò)程中馬氏體與奧氏體是以層狀微結(jié)構(gòu)構(gòu)成。取體積為V的代表性體積單元，在相變過(guò)程中馬氏體的體積分?jǐn)?shù)為λ，其應(yīng)力應(yīng)變分別為σm和εm，奧氏體的體積分?jǐn)?shù)為1-λ，應(yīng)力應(yīng)變?yōu)棣襛和εa。通過(guò)體積平均的方法可以得到代表性體積單元的宏觀應(yīng)力和應(yīng)變：

(1)

(2)

相變應(yīng)變可以表述為

(3)

式中：g為相變變形量，m、 n分別為相變切變和慣習(xí)面法線(xiàn)方向。這些參數(shù)很容易通過(guò)相變唯象晶體學(xué)理論得到。為了便于計(jì)算，采用Kelvin矩陣的記法將應(yīng)力及應(yīng)變分為面內(nèi)及面外向量表示[19]。

理想界面條件可表示為

(4)

(5)

分別由馬氏體與奧氏體各相的本構(gòu)關(guān)系可得

(6)

(7)

代入理想界面條件可以得到

(8)

(9)

式中：Pm和Pa分別為馬氏體與奧氏體的應(yīng)力集中矩陣， Q為相變應(yīng)變集中矩陣：

Pm=

將σm和σa代入各相的本構(gòu)方程有

(10)

(11)

將σm，σσa，εm和εa分別代入式(1)、(2)有

(12)

以及宏觀總體應(yīng)力應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系：

(13)

式(12)為應(yīng)力與馬氏體體積分?jǐn)?shù)的表達(dá)式，取每一次循環(huán)加載后殘余馬氏體體積分?jǐn)?shù)累加在一起即為相應(yīng)循環(huán)次數(shù)的累積殘余馬氏體體積分?jǐn)?shù)。所以只需要把逆相變結(jié)束的應(yīng)力代入即可得到相應(yīng)循環(huán)加載圈數(shù)的累積殘余馬氏體體積分?jǐn)?shù)。式(13)即為代表性體積單元的本構(gòu)關(guān)系。

1.2相變驅(qū)動(dòng)力

在相變的過(guò)程中涉及到能量的變化，通過(guò)定義相變驅(qū)動(dòng)力fc來(lái)控制相變的改變，只有當(dāng)f=fc時(shí)正相變才發(fā)生，當(dāng)f=-fc時(shí)逆相變才會(huì)發(fā)生。

奧氏體與馬氏體兩相的Helmholtz自由能密度和為

(14)

其中ψa和ψm表示為

Gibbs自由能可以通過(guò)Helmholtz變換得到：

(15)

所以相變驅(qū)動(dòng)力的表達(dá)式為

(16)

1.3累積殘余應(yīng)變

材料的每一次加載卸載后都會(huì)存在一個(gè)殘余應(yīng)變，把第N次加載后殘余應(yīng)變與之前N-1次加載后殘余應(yīng)變相加即為N次加載后的累積殘余應(yīng)變。相應(yīng)的累積殘余應(yīng)變?cè)谘h(huán)加載到一定圈數(shù)時(shí)，其值維持在一定值不變。原因在于循環(huán)加載中奧氏體與馬氏體的界面產(chǎn)生了塑性滑移，隨圈數(shù)的增加而達(dá)到飽和。相應(yīng)的可取如下指數(shù)形式的演化方程[9]：

(17)

其中α、β為常數(shù)。

1.4臨界應(yīng)力

臨界應(yīng)力分為正相變的臨界應(yīng)力與逆相變的臨界應(yīng)力，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到正相變臨界應(yīng)力時(shí)發(fā)生正相變，同理有相應(yīng)逆相變臨界應(yīng)力。同累積殘余應(yīng)變類(lèi)似，隨循環(huán)加載次數(shù)的增加，趨于一個(gè)穩(wěn)定值。臨界應(yīng)力變化的原因在于循環(huán)加載中內(nèi)部位錯(cuò)密度的改變和馬氏體的重定向?qū)е庐a(chǎn)生了內(nèi)應(yīng)力，從而使得發(fā)生相變的應(yīng)力減小，最終趨于穩(wěn)定[9]。

由于在試驗(yàn)中所用形狀記憶合金常為多晶體，相應(yīng)的單晶體在工藝上是很難制備出來(lái)，所以對(duì)于單晶體的一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很難直接通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到，Thamburaja[16]證明得到多晶體的相變驅(qū)動(dòng)力近似與單晶體的相變驅(qū)動(dòng)力相等，由式(16)可以得到多晶體的臨界應(yīng)力近似與單晶體的臨界應(yīng)力相等。

同樣臨界應(yīng)力可取指數(shù)形式的如下表達(dá)式[9]：

(18)

將臨界應(yīng)力的表達(dá)式代入相變驅(qū)動(dòng)力表達(dá)式就可以得到相變驅(qū)動(dòng)力隨循環(huán)次數(shù)N變化的表達(dá)式：

(19)

2多晶模型

在眾多多晶體均勻化方法中，Taylor方法與有限元方法得到的結(jié)果較為接近，而且計(jì)算簡(jiǎn)便[23]。所以本文采用Taylor方法將單晶模型推廣到多晶模型。假設(shè)每個(gè)晶粒的局部和宏觀變形都是均勻的，且多晶體是由晶體體積相等的單晶體構(gòu)成，采用歐拉角(β,θ,φ)來(lái)表示每個(gè)晶粒的取向,相應(yīng)的轉(zhuǎn)換公式如下表示：

(20)

(21)

宏觀應(yīng)力可以由局部應(yīng)力進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到：

(22)

3數(shù)值模擬

本文所取得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取自Ren等[24]人所做30圈循環(huán)加載的實(shí)驗(yàn)，在計(jì)算單晶相變時(shí)馬氏體相的彈性常數(shù)取為母相的1/2，具體的單晶材料參數(shù)如表1所示[16]。

表 1　材料參數(shù)

實(shí)驗(yàn)溫度為室溫，所以在實(shí)驗(yàn)開(kāi)始時(shí)材料完全處在奧氏體相。通過(guò)累積殘余應(yīng)變的表達(dá)式對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合(圖1)，可以確定出參數(shù)α、β進(jìn)而得到累積殘余應(yīng)變數(shù)值表達(dá)式為

εr=0.006 24-0.006 24·exp(-N/7.405)

同理，可以得到臨界相變應(yīng)力的表達(dá)式。臨界應(yīng)力的表達(dá)式可以分為兩個(gè)部分。

正相變臨界應(yīng)力的表達(dá)式為

σ=476.328+166.398·exp(-N/6.10)

逆相變臨界應(yīng)力的表達(dá)式為

σ′=343.748+32·exp(-N/4.99)

相應(yīng)的臨界相變應(yīng)力實(shí)驗(yàn)結(jié)果與擬合曲線(xiàn)如圖2所示。利用式(12)、(16)可得到殘余馬氏體體積分?jǐn)?shù)與循環(huán)次數(shù)N的模擬圖(如圖3所示)。只需取實(shí)驗(yàn)中逆相變結(jié)束時(shí)的應(yīng)力代入其中就可得到相應(yīng)數(shù)據(jù)。

圖1　累積殘余應(yīng)變的實(shí)驗(yàn)與擬合結(jié)果Fig.1　Cumulative residual strain experiment and fitting results

圖2　臨界相變應(yīng)力的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合曲線(xiàn)Fig.2　The critical stress of experiment and simulation

圖3　累積殘余馬氏體體分比與循環(huán)次數(shù)關(guān)系Fig.3　The relationship of the Cumulative residual martensite volume and cycles

利用式(12)很難得到關(guān)于累積殘余馬氏體體

積分?jǐn)?shù)的顯示表達(dá)式，而累積殘余馬氏體體積分?jǐn)?shù)與逆相變結(jié)束的應(yīng)力有關(guān)，在循環(huán)加載中逆相變結(jié)束的應(yīng)力同逆相變開(kāi)始的應(yīng)力均與循環(huán)次數(shù)有關(guān)，所以可以利用指數(shù)函數(shù)來(lái)構(gòu)建累積殘余馬氏體體積分?jǐn)?shù)與循環(huán)次數(shù)N之間的關(guān)系，與通過(guò)實(shí)驗(yàn)計(jì)算得到的結(jié)果吻合較好。具體的表達(dá)式如下：

λ=0.09(1-exp(-N/5.53))

為了驗(yàn)證本模型對(duì)超彈性的預(yù)測(cè)能力，對(duì)應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系進(jìn)行了數(shù)值模擬，在對(duì)多晶的計(jì)算中選取2 000個(gè)晶粒，通過(guò)3個(gè)歐拉角在晶體學(xué)給定范圍中隨機(jī)取值來(lái)確定每一個(gè)晶粒的取向來(lái)進(jìn)行模擬并實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。取其中的四圈結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖4所示。

圖4　應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)的實(shí)驗(yàn)與模擬Fig.4　Stress strain curve of experiment and simulation

從圖4中可以看出，模擬的曲線(xiàn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為接近，可以很好的反映鎳鈦合金的超彈性演化規(guī)律。從應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)圖中可以得到當(dāng)循環(huán)圈數(shù)為20時(shí)累積殘余應(yīng)變趨于一個(gè)穩(wěn)定值，當(dāng)循環(huán)圈數(shù)為30時(shí)殘余應(yīng)變趨于0，而且遲滯環(huán)也趨于穩(wěn)定狀態(tài)。表明材料傾向于穩(wěn)定的超彈性狀態(tài)。

4結(jié)論

本文是基于SMA具有層狀微結(jié)構(gòu)的假設(shè)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)構(gòu)造累積殘余應(yīng)變和臨界應(yīng)力的表達(dá)式。利用熱力學(xué)原理推導(dǎo)出相變驅(qū)動(dòng)力隨循環(huán)次數(shù)N變化的表達(dá)式進(jìn)而來(lái)得到相變演化的控制方程。利用Taylor假設(shè)推廣到多晶體得到應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，得到如下結(jié)論：

1)本文構(gòu)造了指數(shù)形式的累積殘余應(yīng)變和臨界應(yīng)力的表達(dá)式，并推導(dǎo)出相變驅(qū)動(dòng)力隨循環(huán)圈數(shù)變化的表達(dá)式。通過(guò)數(shù)值模擬可知，累積殘余應(yīng)變、臨界應(yīng)力和殘余馬氏體都是隨循環(huán)圈數(shù)的增加趨于一個(gè)穩(wěn)定值，反應(yīng)出材料經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后可以得到穩(wěn)定的超彈性能力。

2)利用本模型進(jìn)行的數(shù)值模擬很好地表明材料在循環(huán)加載到一定的圈數(shù)后趨于穩(wěn)定的超彈性狀態(tài)。同時(shí)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果較為接近，說(shuō)明本模型能夠很好的預(yù)測(cè)SMA的穩(wěn)定超彈性。

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Micromechanical constitutive model of polycrystalline NiTi SMAs considering cyclic deformation effects

ZHU Yiguo, LIN Huijie

(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)

Abstract：Super elasticity is one of the main characteristics of shape memory alloys (SMAs). Assuming that the shape memory alloys have laminated microstructure during phase transformation process, perfect interfacial condition is used to deduce the single crystal constitutive model. At the same time, critical stress, cumulated residual strain, cumulated martensite volume fraction are introduced. Critical stress and cyclic number (N)is used to construct the expression of phase transformation driving force changing with cyclic number (N). In each loading process, phase transformation driving force is used as a material parameter that controls the generating process of forward phase transformation and reverses phase transformation in one load cycle. With combining cumulated martensite volume fraction and cumulated residual strain, single crystal constitutive model considering cyclic effect can be obtained. Taylor assumption is used to deduce polycrystalline model. The feasibility of this model is verified and numerical simulation is done. The results of simulation match the experimental results very well.

Keywords：shape memory alloy; cyclic effect; superelasticity; laminated microstructure; constitutive model

中圖分類(lèi)號(hào)：TG139.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-7043(2016)02-0291-06

doi:10.11990/jheu.201410009

作者簡(jiǎn)介：朱祎國(guó)(1972-)，男，副教授，博士.通信作者：朱祎國(guó)，E-mail: zhuyg@dlut.edu.cn.

基金項(xiàng)目：國(guó)家杰出青年基金資助項(xiàng)目(10925209)；國(guó)家重點(diǎn)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012CB619603).

收稿日期：2014-10-08.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2015-12-29.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151229.1711.008.html