謝寶昌

(上海交通大學 電子信息與電氣工程學院， 上海， 200240)

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電磁波極化的圖形化復數(shù)教學研究

謝寶昌

(上海交通大學 電子信息與電氣工程學院， 上海， 200240)

摘要：本文利用電磁波的基本特性，將空間任意方向傳播的電磁波變換到沿Z軸正方向傳播的形式，然后采用矢量空間和復平面重合的形式來描述電場強度矢量合成，從而將電磁波的極化問題轉換成正、反轉復數(shù)的分析，利用圖形直觀地展現(xiàn)電磁波的極化規(guī)律，實踐表明，圖形化復數(shù)教學方法有助于學生理解電磁波的極化，也為“電機學”課程空間磁勢分析方法打下基礎。

關鍵詞：電磁波; 極化; 圖形化; 復空間

0引言

電磁波的極化是“電磁場”課程的重要內容之一，極化是指空間固定點電磁波場強矢量端點的運動規(guī)律，它取決于場源的性質，與發(fā)射天線有關，同時影響接收天線的方向。電磁波的極化分為線極化、圓極化和橢圓極化，其中圓極化與橢圓極化又有左旋和右旋之分。如何在教學過程中，既強調基本概念，又能直觀地反映極化方式，同時充分利用學生已經掌握的知識，是課堂教學的關鍵。教材通常采用的場強矢端軌跡解析表達法難以達到上述要求[1-4]。

本文針對場強矢量只有垂直于傳播方向的兩個分量的特點，采用復平面表達場強矢量端點軌跡，用圖形化形式形象而直觀地展現(xiàn)電磁波的極化方式，解決此問題。該圖形化教學方法也為電氣工程專業(yè)“電機學”課程空間磁勢波形分析打下基礎。

1電場強度的一般表達式

均勻平面電磁波的特點是波矢量、電場強度矢量和磁場強度矢量相互正交，而且滿足右手螺旋關系。因此只要分析電場強度的極化方式，磁場強度具有類似的結論。

本文用粗體表示矢量，考慮一般形式的均勻平面電磁波，令θ=ωt-k·r，電場強度矢量表示為

E=axEmxcos(θ+φx)+

ayEmycos(θ+φy)+azEmzcos(θ+φz)

(1)

其中，ω為角頻率，波矢量k=axkx+ayky+azkz，ak為波矢量的單位矢量，r為空間位置矢徑，E的各分量幅值Emx，Emy和Emz不等于零，初始相位分別為φx，φy和φz。波矢量與電場強度矢量滿足正交約束關系

k·E=0

(2)

2空間坐標變換

由式(1)和(2)可以簡化電場強度矢量

E=A1cos(θ+φx)+A2cos(θ+φy)

(3)

其中，矢量A1和A2分別以各自的單位矢量和模的積表示。

(4)

式(4)中矢量A1和A2既不重合也不垂直，但它們都與波矢量垂直，兩矢量夾角β滿足

a1·a2=cosβ

(5)

a1×a2=cosksinβ

(6)

如圖1所示，將空間直角坐標系xyz變換為XYZ，使得Z軸正方向與波矢量方向一致，三個坐標軸單位矢量分別為

ax=a1，ay=ak×a1，aZ=ak

(7)

由式(4)和圖1可得，單位矢量a1位于zox平面且與波矢量k及其zox平面上的投影矢量kzx=axkx+azkz垂直。單位矢量a2位于yoz平面且與k及其yoz平面上的投影矢量kyz=ayky+azkz垂直。

3復平面內電場強度矢量的圖形描述

為了簡便起見，利用標量積不變性k·r=kZ，令θ=ωt-kZ，將式(4)代入式(3)后得到

E=a1A1cos(θ+φx)+a2A2cos(θ+φy)

(8)

式(8)表明電場強度在XYZ坐標系中只有兩個分量，分別沿單位矢量a1和a2變化且幅值分別為A1和A2，電場強度矢量端點軌跡是這兩個分量的合成。

現(xiàn)以X軸為實軸，Y軸為虛軸建立復平面，單

(a) xyz坐標系　　　 (b) XYZ坐標系圖1　波矢量與電場強度分量單位矢量

位矢量a1和a2的復數(shù)形式分別為1和ejβ，由式(5)得到β=cos-1(a1·a2)，電場強度表示為復數(shù)形式

E=A1cos(θ+φx)+ejβA2cos(θ+φy)

(9)

式(9)是電場強度矢量在復平面中的形式，與電磁場理論中時諧場復數(shù)形式是完全不同的[1-4]。

利用歐拉公式將正弦量表示為復數(shù)形式

2cos(θ+φ)=ej(θ+φ)+e-j(θ+φ)

(10)

式(10)表明一個正弦量可以看成是兩個共軛復數(shù)之和，由于角度θ是隨時間增長而增大的，因此這兩個共軛復數(shù)在復平面上是旋轉的，旋轉角速度等于時間變化角頻率ω，這里的φ表示φx或φy。

式(9)中電場強度的a1分量用式(10)表示為

(11)

式(11)表明沿X軸隨時間變化的正弦波可以表示為以X軸為對稱軸的兩個旋轉分量E1p、E1n之和，它們的幅值相等但大小等于正弦波幅值一半，旋轉角速度都等于時間角頻率而轉向相反的復數(shù)表示，如圖2(a)所示。

類似地，式(9)中電場強度的a2分量表示為

(12)

式(12)表明沿單位矢量a2方向隨時間變化的正弦量可以表示為以a2為對稱軸的兩個旋轉分量E2p、E2n之和，它們的幅值相等但大小等于正弦波幅值一半、旋轉角速度都等于時間角頻率而轉向相反，如圖2(b)所示。

圖2表明，一個線極化波由兩個幅值和轉速相同但轉向相反的圓極化波合成，線極化波矢量位置是這兩個圓極化波矢量的對稱軸。

復平面內電場強度有兩個逆時針正向旋轉的分量E1p和E2p，以及兩個順時針反向旋轉的分量E1n

(a) a1分量旋轉復數(shù)表示 (b) a2分量旋轉復數(shù)表示

和E2n，它們分別合成正向和反向旋轉分量，如圖3所示。合成后，電場強度正反轉復數(shù)形式分別為

(13)

(14)

4電磁波的極化方式

由幾何圖形可以知道，復平面上兩個旋轉角速度相同而旋轉方向相反的復數(shù)合成是橢圓，但當兩個復數(shù)的幅值相同時，橢圓退化為直線段，當其中一個復數(shù)的模等于零時，橢圓變?yōu)閳A。

4.1復數(shù)模相同

如圖4所示，兩個復數(shù)的模相同，那么可以得到

sin(φy-φx)=0

(15)

解得φy-φx=nπ，其中n為整數(shù)。這表明式(8)是兩個相位相同或相反的線極化波合成，于是得到

E=[a1A1+(-1)na2A2]cos(θ+φx)

(16)

式(16)表明電場強度矢量是方向固定而大小隨時間正弦規(guī)律變化的線極化波。兩個相位相同或相反的線極化波合成一個線極化波。

4.2復數(shù)模乘積等于零

若Ep=0，由式(13)得φy-φx+β=(2n-1)π且A1=A2，電場強度只有反轉復數(shù)，代入式(14)可得E=En=A2e-j(θ+φx-β-π/2)sin(φx-φy)

(17)

圖3　正、反轉復數(shù) 　　圖4 復數(shù)模相同的線極化波

反轉復數(shù)的模恒定，因此空間固定點的電場強度矢量端點軌跡在復平面上隨時間變化是順時針旋轉的圓，電磁波是左旋圓極化波，如圖5(a)所示。

若En=0，由式(14)得φy-φx-β=(2n-1)π且A1=A2，電場強度只有正轉復數(shù)，代入式(13)可得

E=Ep=A2ej(θ+φx+β-π/2)sin(φx-φy)

(18)

電場強度矢量端點軌跡在復平面上是逆時針旋轉的圓，電磁波是右旋圓極化波，如圖5(b)所示。

(a) 反轉左旋圓極化波 (b) 正轉右旋圓極化波圖5　復數(shù)模乘積為零的電磁波圓極化

4.3復數(shù)模不同且不等于零

將式(13)和(14)改寫為模和復角形式，再合成電場強度矢量得到

E=Ep+En=Apej(θ+φx+φp)+Ane-j(θ+φx+φn)

(19)

當2(θ+φx)+φp+φn=2nπ時，兩個復數(shù)旋轉到重合位置，電場強度最強，數(shù)值上等于Ap+An。

當2(θ+φx)+φp+φn=(2n-1)π時，兩個復數(shù)旋轉到相反方向的位置，電場強度最弱，數(shù)值上等于|Ap-An|，方向處在模大的復數(shù)位置。因此合成電場強度復數(shù)的轉向取決于模大的復數(shù)轉向。

令θe=θ+φx+(φp+φn)/2，將式(19)改寫為

E=(Apejθe+Ane-jθe)ej(φp-φn)/2

(20)

式(20)表明場強矢端軌跡是傾角等于(φp-φn)/2的橢圓。橢圓的旋轉方向取決于兩個旋轉復數(shù)的模。若Ap>An>0，則兩個幅值不同、旋轉角速度相同但轉向相反的復數(shù)合成一個逆時針旋轉的右旋橢圓極化波，如圖6(a)所示。若An>Ap>0，則合成一個左旋橢圓極化波，如圖6(b)所示。

(a) 正轉右旋橢圓極化波 (b) 反轉左旋橢圓極化波圖6　復數(shù)模非零且不同的電磁波橢圓極化

(謝寶昌文)

5結語

本文利用電磁波場矢量與傳播方向正交的特性，將任意方向傳播的電磁波變換到沿Z軸正方向傳播的形式，使得電場強度的兩個分量位于XY復平面內，從而將電磁波的極化問題轉換成分析兩個正、反轉復數(shù)合成的矢端軌跡的問題，利用圖形直觀地展現(xiàn)電磁波的極化規(guī)律，實踐表明，圖形化復數(shù)教學方法有助于學生理解電磁波的極化，也為“電機學”課程空間磁勢與磁場合成分析方法打下基礎。

參考文獻:

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[4]陳重，崔正勤，胡冰. 電磁場理論基礎. 北京：北京理工大學出版社，第2版，2010年

Research on Graphic Visualization Complex Teaching of Electromagnetic Wave Polarization

XIE Bao-chang

(SchoolofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShanghaiJiaoTongUniversity,Shanghai200240，China)

Abstract：Spatial coordinate transformation is firstly introduced to make the wave propagation align with the direction of Z-axis based on orthogonal property of field and wave vectors in this paper. Then combination of vector and complex space is adopted to describe the electric field waveform as rotating complex vectors in counterparts. Thus graphic visualization is illustrated to analyze the polarization of the electromagnetic wave, which helped students to deeply understand the concept of polarization and solidify foundation for further analyzing spatial magneto-motive force of Electric Machinery.

Keywords：electromagnetic wave; polarization; graphic visualization; complex space

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0686(2016)01-0046-04

中圖分類號：TM151

作者簡介：謝寶昌(1965-)，男，博士，副教授，主要從事電機與電器的教學與研究工作，E-mail：bcxie@sjtu.edu.cn

收稿日期:2015-02-08;修回日期:2015-09-21