柏黎平

立體圖形與平面圖形在某種情況下可以互相轉(zhuǎn)化，不僅多面體可由平面圖形圍成，而且立體圖形可按不同方式展開成平面圖形.

實(shí)驗(yàn)?zāi)茏屛覀兺ㄟ^觀察、思考和自己動(dòng)手操作，經(jīng)歷和體驗(yàn)圖形的變化過程，進(jìn)一步了解研究立體圖形的方法，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體幾何奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：《初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)（七上）》，剪刀、卡紙等工具.

實(shí)驗(yàn)重點(diǎn)：通過正方體表面的展開與折疊活動(dòng)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)立體圖形與平面圖形的關(guān)系.

實(shí)驗(yàn)方案：

方案一：正方體的表面展開圖.

方案二：立體圖形與其表面展開圖的對(duì)應(yīng).

方案三：展開與折疊的應(yīng)用.

探究活動(dòng)：

【活動(dòng)一】把一個(gè)正方體的表面沿棱剪開，可以展開成一個(gè)平面圖形，下面哪些圖形可以是正方形的表面展開圖？

這些問題比較抽象，只通過思考是很難完成的，我們可以動(dòng)手操作一下.

活動(dòng)指導(dǎo)：

1. 將正方體的表面展開比較麻煩，我們可以采用反向思考，用折疊的方法加以驗(yàn)證.

2. 初中《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)（七上）》為我們準(zhǔn)備了很多的對(duì)應(yīng)圖形，我們可以剪下來(lái)進(jìn)行嘗試，趕緊去試一下吧.

3. 有些圖形沒有，你可以自己畫一張圖，用剪刀剪下來(lái)，再進(jìn)行嘗試.

活動(dòng)小結(jié)：

1. 抽象的問題經(jīng)過我們的動(dòng)手操作，問題就變得簡(jiǎn)單了.

2. 數(shù)學(xué)研究不僅僅是計(jì)算與思考，還可以動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，這樣能增加我們對(duì)問題的感性認(rèn)識(shí)，既快又方便，何樂而不為呢？

3. 完成這些操作后，對(duì)于正方體的表面展開圖你是否有什么需要總結(jié)的呢，你可以把它寫下來(lái).

【活動(dòng)二】下面幾個(gè)圖形是一些常見幾何體的展開圖，你能正確說出這些幾何體的名稱嗎？

本題根據(jù)我們小學(xué)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該有點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)了，同學(xué)們可以先嘗試說一說解答本題，然后再結(jié)合圖形動(dòng)手驗(yàn)證.

活動(dòng)指導(dǎo)：

1. 《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)（七上）》也有部分的對(duì)應(yīng)圖形，我們可以剪下來(lái)進(jìn)行嘗試，趕緊去試一下吧.

2. 如果《手冊(cè)》上沒有，你可以自己畫一張圖，用剪刀剪下來(lái)，再進(jìn)行嘗試.

活動(dòng)小結(jié)：

1. 這些表面展開圖經(jīng)折疊后可以成為我們熟悉的立體圖形，但是立體圖形的表面由于展開方式不一樣，它的展開圖有多種可能哦.

2. 這些表面展開圖中有些含有長(zhǎng)方形，有些含有三角形；而圍成的圖形中有些是棱柱，有些是棱錐，你是否發(fā)現(xiàn)它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？

3. 通過本次實(shí)驗(yàn)操作，你還有哪些收獲呢，你可以把自己的想法寫下來(lái)哦.

【活動(dòng)三】如圖，一只螞蟻從封閉的正方體紙盒的表面的D點(diǎn)要到距它最遠(yuǎn)的B′點(diǎn)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條線路，讓其爬行路線最短.

我們知道一個(gè)基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間，線段是最短的. 但本題考慮到螞蟻只能在表面上爬行，因此尋找直接從D點(diǎn)到B′點(diǎn)的線段路線是行不通的.

活動(dòng)指導(dǎo)：

考慮到D點(diǎn)和B′點(diǎn)所在的平面不是同一個(gè)平面，因此螞蟻爬行的路線在正方體表面畫出來(lái)將是一條比較麻煩的曲線或者折線，我們很難研究. 是否可以把正方體表面展開，使得D點(diǎn)和B′點(diǎn)在同一個(gè)平面上呢？

于是我們可以將正方體的正面和右側(cè)面展開成如下圖的圖形.

此時(shí)D點(diǎn)和B′點(diǎn)就在同一個(gè)平面上了，最短路線當(dāng)然是線段DB′了，然后我們?cè)僮層疫厒?cè)面還原，這樣螞蟻的爬行按D→M→B′的路線就是符合要求的了.

同學(xué)們還可以思考，是否還有其他的路線也能符合要求呢？你可以自己繼續(xù)研究下去，拿起你的正方體的表面展開圖繼續(xù)實(shí)驗(yàn)吧.

活動(dòng)小結(jié)：

本題我們通過展開與折疊，將立體圖形的問題轉(zhuǎn)化到了平面圖形的問題，答案就顯而易見了.

活動(dòng)總結(jié)：

多面體可由平面圖形圍成，而且立體圖形可按不同方式展開成平面圖形，在需要的時(shí)候我們可以通過展開與折疊實(shí)現(xiàn)這兩種圖形的轉(zhuǎn)化，這樣就能讓我們比較輕松地研究問題.

另外，我們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)問題時(shí)，不但可以依靠計(jì)算和思考，我們還能通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助我們加深對(duì)問題的理解，而且在實(shí)驗(yàn)中我們還通過觀察、思考和自己動(dòng)手操作，經(jīng)歷和體驗(yàn)圖形的變化過程，從而進(jìn)一步了解研究立體圖形的方法，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體幾何打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市雙鳳中學(xué)）