喬　興，馬　丹，包樹新，劉　榮，郭　爽

（大慶師范學(xué)院　教師教育學(xué)院，黑龍江　大慶　163712）

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冗余機器人安全系統(tǒng)的算子譜分析

喬興，馬丹，包樹新，劉榮，郭爽

（大慶師范學(xué)院教師教育學(xué)院，黑龍江大慶163712）

摘要：本文提出了一個由兩個冗余機器人和一個安全裝置構(gòu)成的冗余機器人安全系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，運用泛函分析理論和強連續(xù)半群理論討論了冗余機器人安全系統(tǒng)主算子A所對應(yīng)的特征值0的性質(zhì)及正則點、點譜，進而得到了系統(tǒng)算子的譜特征.

關(guān)鍵詞：冗余；機器人；安全系統(tǒng)；譜分析

目前，國內(nèi)機器人的設(shè)計往往只注重機器人的性能指標(biāo)，而忽略對其可靠性﹑安全性的審核，結(jié)果造成機器人使用過程中的不可靠.由于機器人是一個包括機械﹑電子﹑電氣﹑液壓氣動﹑計算機等多種類型的元部件和控制軟件在內(nèi)的復(fù)雜系統(tǒng)，因此，其可靠性﹑安全性的研究相對來說比較復(fù)雜[1-2].B.S.Dhillon and N.Yang等人運用增補變量和概率分析的方法建立了人-機系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并運用拉普拉斯變換的方法給出了系統(tǒng)的可靠性與可用性分析[3].喬興﹑常悅等人運用泛函分析中的積分算子理論和純分析的方法給出了一個包含兩冗余機器人和一個安全裝置的機器人安全系統(tǒng)的適定性分析和系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)[4-5].本文在此基礎(chǔ)上進一步運用泛函分析中的譜理論和強連續(xù)半群理論從理論上給出了系統(tǒng)算子的譜分析.

1　模型描述

根據(jù)文獻[4]，可以得到一組描述冗余機器人安全系統(tǒng)模型的積分-微分方程組：

其中a0=2λ+λs,a1=λ+λs+μ1,a2=2λ+μ2，(x,t)∈[0,∞]×[0,∞)；Pi(t)—整個機器人安全系統(tǒng)t時刻處于狀態(tài)i的概率（i=0,1,2,3）；Pi(x,t)Δx—機器人安全系統(tǒng)t時刻處于狀態(tài)i且已逝去的修理時間處于區(qū)間[x,x+Δx]的概率（i=4,5）；λ—機器人的故障率（常數(shù)）；λs—伴有機器人的安全系統(tǒng)的故障率（常數(shù)）；μ1—機器人的修復(fù)率（常數(shù)）；μ2—機器人安全系統(tǒng)的修復(fù)率（常數(shù)）；μi(x)—機器人安全系統(tǒng)處于狀態(tài)i時的依賴于時間的修復(fù)率且滿足

我們把描述系統(tǒng)模型的方程（1）-（7）轉(zhuǎn)化為巴拿赫空間中的一個抽象Cauchy問題，取狀態(tài)空間如下：P5(x)).顯然(X,||·||)是巴拿赫格.定義算子A如下：

則描述機器人安全系統(tǒng)的模型方程（1）-（7）可改寫成Banach空間中的一個抽象Cauchy[6]問題：

2　系統(tǒng)算子A譜的性質(zhì)

記σ(A)為算子A的譜集，A的點譜﹑剩余譜﹑近似點譜﹑本質(zhì)譜分別記作σp(A)﹑σr(A)﹑σap(A)﹑σess(A).

命題2對任一的r∈{r∈C|Rer>0或r=ia,a∈R,a≠0}，

定理1{r∈C|Rer>0,or r=ia,a∈R,a≠0}?ρ(A).

證明對任一的G=(g0,g1,g2,g3,g4(x),g5(x))∈X，且P滿足條件（6）-（7）.解方程[rI-A]P=G，得

解式（14）可得：

③新員工彼此之間，比較隔離，沒有充分發(fā)揮集中培訓(xùn)的優(yōu)勢。培訓(xùn)結(jié)束時，筆者除了座位周圍的四、五人，叫不出其他同事姓名?？赡苓@也與筆者偏內(nèi)向的性格有關(guān)。

因為gi(x)∈L1[0,∞)，結(jié)合命題1，故有Pi(x)∈L1[0,∞),i=4,5.由此可知映射[rI-A]是滿射.

下面證明方程[rI-A]P=1有唯一零解.取G=0，可得方程組系數(shù)矩陣為

當(dāng)Rer>0或r=ia,a∈R{0}時，由命題2，有

|r+a0|=|r+2λ+λs|>|2λ+λs|，|r+λ|>|λW4|,|r+a1|=|r+λ+λs+μ1|> |λ+λs+μ1|>|λW5+λs+μ1|，|r+a2|=|r+2λ+μ2|>|2λ+μ2|，那么，矩陣（15）是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，所以映射[rI-A]是滿射.又因為[rI-A]是閉算子且其定義域在X中是稠的，由閉圖像和逆算子定理可知[rI-A]-1存在且有界，即{r∈C|Rer>0或r=ia,a∈R,a≠0}?ρ(A).

定理2算子A的簡單特征值是0.

證明在定理1的證明過程中，我們令r=0和G=0可得：

其中P0是任一實數(shù).取P0>0，則Pi(x)>0,i=4,5,?x∈[0,∞).因此向量（其中由式（16）給定.）是算子A的特征值0所對應(yīng)的非負(fù)特征向量，也是系統(tǒng)方程的穩(wěn)態(tài)解.由此可知，特征值0在X中的幾何重數(shù)是1.

取Q=(1,1,1,1,1,1)，則Q∈X*.易知Q是伴隨算子A*的特征值0所對應(yīng)的特征向量.參見[7]可知，我們只需證明特征值0的代數(shù)指標(biāo)是1.運用反證法，不妨我們假設(shè)特征值0的代數(shù)指標(biāo)是1，則存在U∈X，有AU=P*，故有，=<矛盾！因此，在X中0的代數(shù)指標(biāo)是1.所以在X中0的代數(shù)重數(shù)是1.

定理3{r∈C|Rer≤-μ}?σ(A)，若Rer>-μ時，detF(r) =0，則r∈σp(A)且?guī)缀沃財?shù)mg=dimker(rI-A)至多為2；若Rer>-μ時，detF(r)≠0，則r∈ρ(A).

證明在定理1的證明過程中，我們可得

將式（18）代入式（9），并聯(lián)立（10）-（12）和（17）得

其中Brgi(x)=

參考文獻：

〔1〕龔振邦,等.機器人機械設(shè)計[M].北京:電子工業(yè)出版社,1995.

〔2〕談世哲,楊汝清.機器人可靠性設(shè)計的管理與規(guī)劃[J].機器人技術(shù)與應(yīng)用,2000(5):27-29.

〔3〕Dhillon B S and Yang N.Formulas for analyzing a redundant robot configuration with a built-in safety system[J].Microelectron.Reliab.,1997,37(4):557-563.

〔4〕喬興,馬丹,劉國清,包樹新,郭銳.具有冗余機器人安全系統(tǒng)的適定性分析[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報,2013,29(2):70-73.

〔5〕常悅,喬興.機器人安全系統(tǒng)的數(shù)值模擬研究[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報,2014,30(3):45-47.

〔6〕黃發(fā)倫,鄭權(quán).線性算子半群及對偏微分方程的應(yīng)用[M].成都:四川大學(xué)出版社,1988.

〔7〕Dunford N,Schwartz J T.Linear Operators and Application to Partial Differential Equations [M].New York:Springer–Verlag,1983.

基金項目：黑龍江省自然科學(xué)基金項目（A201313），大慶市科學(xué)技術(shù)指導(dǎo)項目（szdfy-2015-62）

收稿日期：2015-11-28

中圖分類號：0177.7

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）03-0007-02

通迅作者：喬興（1978-），男，蒙古族，吉林松原人，副教授，博士，主要從事分布參數(shù)系統(tǒng)研究