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偽碼-線性調(diào)頻復(fù)合信號參數(shù)估計理論性能分析

王佩*祝俊唐斌
(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院成都611731)

摘要：針對偽碼-線性調(diào)頻復(fù)合信號參數(shù)估計的理論性能評價問題，該文分析了分步估計方法對參數(shù)估計的影響，給出了較高信噪比時分步估計方法的理論近似性能；推導(dǎo)了高斯白噪聲環(huán)境中偽碼-線性調(diào)頻信號參數(shù)無偏估計的修正克拉美-羅下限(MCRLB)的解析表達式。利用偽碼序列的統(tǒng)計特征推導(dǎo)出起始頻率、調(diào)制斜率、初始相位及碼元寬度參數(shù)聯(lián)合估計的修正Fisher信息矩陣，從而得到各參數(shù)估計的MCRLB。對結(jié)果進行了對比分析，并通過數(shù)值仿真實驗，證明了該理論下限的有效性。

關(guān)鍵詞：參數(shù)估計；偽碼-線性調(diào)頻復(fù)合信號；分步估計法；修正克拉美-羅限

1　引言

偽碼-線性調(diào)頻(PRBC-LFM)復(fù)合信號兼具偽碼信號和線性調(diào)頻信號兩種信號的優(yōu)點[1]，在雷達、通信及引信等領(lǐng)域中均有應(yīng)用[2-5]。研究非合作環(huán)境中PRBC-LFM復(fù)合信號的參數(shù)估計問題對電子偵察具有重要意義。

對PRBC-LFM復(fù)合信號的參數(shù)估計研究已有部分文獻提及[6-9]。該類復(fù)合信號參數(shù)估計常用一種分步估計方法：首先平方消除偽碼信息，進而估計線性調(diào)頻參數(shù)，然后解線性調(diào)頻得到相位編碼信號估計碼速率。不同算法之間的區(qū)別在于選取的常規(guī)信號參數(shù)估計算法不同[7-9]。然而在性能分析方面，現(xiàn)有文獻僅從仿真實驗的角度給出算法均方根誤差的大小以證明其算法的有效性，并未給出分步估計算法的理論性能，也未給出一種類似于克拉美-羅下限(CRLB)的理論評價工具。當信號中存在數(shù)字調(diào)制如二相編碼調(diào)制成分的時候，信號參數(shù)估計的CRLB難以解析推導(dǎo)，目前文獻中多使用均方根誤差來說明其性能[10，11]。

由于數(shù)字調(diào)制存在時，信號參數(shù)估計的CRLB難以解析推導(dǎo)。文獻[12]通過簡化CRLB推導(dǎo)過程中的一個條件概率密度計算，提出了單個參數(shù)估計的修正克拉美-羅下限(MCRLB)的概念，并將其用于合作通信中部分參數(shù)的估計；文獻[13]在此基礎(chǔ)上將MCRLB擴展為多個信號參數(shù)的聯(lián)合估計問題，通過Fisher信息矩陣的推導(dǎo)得到了各參數(shù)聯(lián)合估計的下限；文獻[14]給出了相位編碼信號在升余弦脈沖和矩形脈沖兩種情況下碼元寬度估計的MCRLB；文獻[15]討論了未知數(shù)字調(diào)制的連續(xù)相位調(diào)制信號參數(shù)估計的MCRLB，并對比了參數(shù)的單獨估計與聯(lián)合估計的區(qū)別；文獻[16]推導(dǎo)了基于全球移動通信系統(tǒng)的多基地被動雷達探測目標的參數(shù)誤差的MCRLB；文獻[17]將MCRLB用于PRBC-LFM復(fù)合調(diào)制雷達信號的參數(shù)估計，得到了各參數(shù)單獨估計時的MCRLB，但未考慮多調(diào)制參數(shù)的聯(lián)合估計問題。

本文針對高斯白噪聲環(huán)境中PRBC-LFM復(fù)合信號多參數(shù)聯(lián)合估計問題，首先分析了分步估計對信號參數(shù)估計的影響，然后通過合理假設(shè)推導(dǎo)了各參數(shù)估計的修正Fisher信息矩陣，從而得到參數(shù)聯(lián)合估計的MCRLB，并通過數(shù)值仿真與已有參數(shù)估計算法性能進行對比，驗證了理論下限的有效性。

2　PRBC-LFM分步估計方法性能

針對PRBC-LFM復(fù)合信號，文獻[7～9]選取的參數(shù)估計方法均基于一種分步估計方法。其框圖如圖1所示。

圖1　分步估計算法流程

從估計流程中可以看出，此類方法對起始頻率、調(diào)制斜率的估計受平方運算的影響，對碼速率的估計受到解線性調(diào)頻誤差的影響。

2.1 平方運算對參數(shù)估計的影響

設(shè)具有N點觀測樣本的離散數(shù)字信號模型為

其中，{w(n)}為方差σ2的獨立同分布復(fù)高斯白噪聲隨機變量；為待估計信號，A為信號幅度，φ(n)為n時刻的信號相位。信噪比為。對信號進行平方運算，得到

平方后的噪聲序列包含兩部分，分別設(shè)為v1(n)和v2(n)，則有

根據(jù)w(n)的性質(zhì)可知：

其中v1(n)服從高斯分布；v2(n)實部為兩個相互獨立的高斯隨機變量的平方差構(gòu)成的新隨機變量，虛部為這兩個獨立隨機變量的積，其總的概率密度分布較為復(fù)雜；v(n)為兩種不同分布噪聲序列的和。此時信號的信噪比為

由式(7)可以看出，相比于平方前的信噪比，平方后的信噪比至少有4倍也即6 dB的降低，該結(jié)論也可通過頻域方法得出[18]。

由文獻[7～9]的結(jié)論可知，分步估計算法通常在信噪比優(yōu)于2 dB時估計誤差才可能收斂。此時，平方后的噪聲序列中v1(n)為主要成分，其占據(jù)噪聲總功率的比例為

根據(jù)式(8)可知，當信噪比較高時，高斯分布的噪聲占據(jù)噪聲的主要成分。因此，在較高信噪比時，復(fù)合信號分步估計法對調(diào)頻參數(shù)的估計性能可以近似為高斯噪聲中的線性調(diào)頻參數(shù)估計。此時參數(shù)的估計下界分別為[19]

2.2 解線性調(diào)頻對參數(shù)估計的影響

解線性調(diào)頻運算的目的是將信號中的線性調(diào)頻成分通過重構(gòu)消除掉，以方便后續(xù)處理。此過程并不改變編碼信號的調(diào)制參數(shù)，且噪聲解線性調(diào)頻后依然是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲，因此從理論上講也不會對相位編碼信號的參數(shù)估計性能產(chǎn)生影響。

綜上，PRBC-LFM復(fù)合信號的分步估計對參數(shù)估計的影響主要由平方運算產(chǎn)生。平方導(dǎo)致了至少6 dB的信噪比損失；在較高信噪比時，平方后的噪聲序列可以假設(shè)為均值為0的高斯隨機序列。

3　PRBC-LFM信號估計的MCRLB

3.1 信號模型與基本假設(shè)

設(shè)I(u)為CRLB對應(yīng)的Fisher信息矩陣，則

由文獻[13]可知，如果干擾向量v中存在未知數(shù)字調(diào)制或者非高斯噪聲成分，則其概率密度函數(shù)

通常難以解析計算，從而I(u)難以解析計算。此時經(jīng)典的CRLB雖然存在，卻難以解析給出。

從而給出了修正克拉美-羅下限：

由于計算時對概率密度分布的簡化，導(dǎo)致了MCRLB通常要比CRLB松弛。也即

但文獻[13]指出，很多實際情況下，MCRLB與CRLB是非常接近的，當干擾向量v為確定已知參數(shù)且觀測時間充分長時，二者相等。因此在CRLB難以給出的情況下，利用MCRLB對算法的估計性能進行評價具有重要意義。

針對式(1)的離散模型，設(shè)其中復(fù)合信號模型為

式中幅度A為常數(shù)，則碼元寬度近似采樣點數(shù)D、初始相位θ0、起始頻率f0、和調(diào)制斜率α等調(diào)制參數(shù)構(gòu)成待估計參數(shù)向量；未知隨機離散調(diào)制序列及噪聲功率σ2構(gòu)成干擾參數(shù)向量; g(n)為偽碼信號一個子脈沖的矩形包絡(luò)。

3.2 修正的Fisher信息矩陣計算

根據(jù)信號模型，可知條件概率密度函數(shù)

因此，修正的Fisher信息矩陣IM(u)的元素為

3.2.1對角元素計算考慮p=q時，有

則通過計算和化簡可以得到

同理，當q =4，1，2，3

p =時，有

這表明，在基本假設(shè)成立情況下，碼元寬度的估計與起始頻率、調(diào)制斜率以及相位無關(guān)。

當p≠4且q≠4時，分別可以得到

第1行第3列和第3行第1列元素為

第2行第3列和第3行第2列元素為

綜上，參數(shù)聯(lián)合估計的修正Fisher信息矩陣為

式中的3階方陣Iup為

對矩陣求逆可以得到

則各參數(shù)聯(lián)合估計的MCRLB結(jié)果為

選用歸一化均方根誤差(NRMSE)表征算法性能，對各參數(shù)的MCRLB進行歸一化分析。由于要與文獻[7]估計性能進行對比，故只考慮起始頻率、調(diào)制斜率和碼元寬度等參數(shù)。

設(shè)樣本數(shù)據(jù)的真實起始頻率為fc，調(diào)制斜率為K，碼元寬度為Td，采樣頻率為fs，則有，，則真實值估計的下限為

記均方根誤差意義下的歸一化標準差為std，則有

4　數(shù)值仿真與分析

選取具有代表性的文獻[7]中的估計方法進行仿真，并與本文分析得到的分步估計得到的起始頻率、調(diào)制斜率的理論性能以及MCRLB的理論結(jié)果進行對比。

實驗采取與文獻[7]仿真實驗類似的參數(shù)設(shè)置，但為了體現(xiàn)偽碼特性，每次Monte Carlo試驗中將隨機產(chǎn)生一組偽碼序列。具體參數(shù)為：線性調(diào)頻初始頻率為16 MHz，信號脈寬10 μs，調(diào)制斜率1012Hz/s；偽碼速率為2 MHz，每次產(chǎn)生20個碼元長度的數(shù)據(jù)；信號采樣率為100 MHz，F(xiàn)FT點數(shù)為1024，滑動求和點數(shù)為20；噪聲環(huán)境為高斯白噪聲；Monte Carlo試驗次數(shù)為500。

起始頻率及調(diào)制斜率估計性能如圖2所示。由于分步估計算法在2 dB以上信噪比時估計誤差收斂，根據(jù)2.1節(jié)的分析可知，該理論界在噪聲收斂時可近似作為估計下限。

由圖2可知，在2～10 dB信噪比范圍內(nèi)，起始頻率估計的標準差約為5～12倍的MCRLB，調(diào)制斜率估計的NRMSE約為2～4倍的MCRLB。假設(shè)參數(shù)的CRLB可以得到，則根據(jù)式(16)，其應(yīng)位于分步估計近似下限曲線與MCRLB曲線之間，因此可以推測此時的起始頻率與調(diào)制斜率估計的MCRLB已經(jīng)接近CRLB。

圖 2　參數(shù)估計性能對比

碼元寬度估計結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，分步算法的碼元寬度估計的標準差約為10～20倍的MCRLB。同理，由于經(jīng)典的CRLB應(yīng)位于MCRLB與分步算法性能曲線之間，可以推測此時復(fù)合信號碼元寬度估計的MCRLB已經(jīng)接近于CRLB。

圖 3　碼元寬度估計性能

另一方面，也可以看出分步估計算法估計性能在信噪比高于2 dB時趨于穩(wěn)定。這和文獻[7]中分步估計算法選用的參數(shù)設(shè)置有關(guān)。在起始頻率和調(diào)制斜率估計時，使用了FFT系數(shù)迭代插值算法，其迭代終止條件導(dǎo)致了算法的固有誤差。而碼元寬度估計時使用了常規(guī)的自相關(guān)算法和求倒數(shù)運算，其估計精度也有一定誤差。故算法參數(shù)的設(shè)置和子算法的選取導(dǎo)致誤差下降到一定程度后，算法性能隨著信噪比的提升基本維持不變。

從理論分析和仿真實驗可以看出，復(fù)合信號參數(shù)估計的MCRLB作為估計算法的性能評價工具是合理和有效的。另一方面，目前PRBC-LFM復(fù)合信號參數(shù)的分步估計方法尚存在兩方面的問題：一方面在信噪比低于2 dB時如何使算法估計誤差快速收斂上沒有文獻涉及；另一方面，在高信噪比時分步估計方法的理論性能與白噪聲中參數(shù)無偏估計的修正理論下限仍有一定偏離。

5　結(jié)束語

針對PRBC-LFM復(fù)合信號參數(shù)估計的性能分析問題，從理論角度定量分析了分步估計方法的理論性能，并通過合理假設(shè)，首次導(dǎo)出了該復(fù)合信號參數(shù)聯(lián)合估計的修正Fisher信息矩陣，在此基礎(chǔ)上得到了各參數(shù)估計的修正的克拉美-羅下限，通過數(shù)值仿真試驗對比了已有文獻的估計結(jié)果，證明了所得理論下限的有效性和合理性，為偽碼-線性調(diào)頻復(fù)合信號的參數(shù)估計方法性能評價提供了一種理論工具。尋找更低信噪比下的參數(shù)有效估計方法及高信噪比時誤差更小的參數(shù)估計方法是后續(xù)有待開展的工作。

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王佩：男，1988年生，博士生，從事雷達信號偵察方面研究.

?？。耗?，1974年生，博士后，從事電子對抗方面研究.

唐斌：男，1963年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事電子對抗與雷達抗干擾技術(shù)方面研究.

Theoretical Performance Analysis for Parameter Estimation of Hybrid Modulated Signal Combining Pseudo-random Binary-phase Code and Linear Frequency Modulation

WANG PeiZHU JunTANG Bin
(School of Electronic Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China)

Abstract:According to the theoretical performance for parameter estimators of a signal combined Pseudo-Random Binary-phase Code(PRBC)and Linear Frequency Modulation(LFM)，this paper analyzes the impact of step-bystep method on the signal estimation problem and gives the analytical expressions of Modified Cramer-Rao Lower Bound(MCRLB)for parameter estimation of PRBC-LFM signal in white Gaussian noise.Using the statistical characteristics of PRBCs，the Fisher’s information matrix is derived for parameters including initial frequency，chirp rate，initial phase and code width.The MCRLBs are therefore calculated.The MCRLBs are analyzed by comparison and the validity is demonstrated by numerical simulation experiments.

Key words:Parameter estimation; Pseudo-Random Binary-phase Code and Linear Frequency Modulation(PRBCLFM)signal; Step-by-step estimation method; Modified Cramer-Rao Lower Bound(MCRLB)

基金項目：國家自然科學(xué)基金(61172116)

*通信作者：王佩wangpei1128@foxmail.com

收稿日期：2015-05-06；改回日期：2015-10-09；網(wǎng)絡(luò)出版：2015-11-18

中圖分類號：TN971.+1

文獻標識碼：A

文章編號：1009-5896(2016)02-0472-06

DOI:10.11999/JEIT150523

Foundation Item:The National Natural Science Foundation of China(61172116)