范一飛　　羅　豐　　李　明　　胡　沖　　陳帥霖(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室　西安　710071)

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海雜波AR譜多重分形特性及微弱目標(biāo)檢測方法

范一飛羅豐*李明胡沖陳帥霖
(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室西安710071)

摘要：該文研究了海雜波功率譜的多重分形特性。為了克服頻譜傅里葉分析的缺點(diǎn)，用現(xiàn)代譜估計(jì)的方法來計(jì)算海雜波的功率譜。AR模型是一個線性預(yù)測模型，它通過序列的自相關(guān)函數(shù)矩陣來估計(jì)功率譜，并且具有更精確的頻譜分辨率。該文主要分析基于AR譜估計(jì)的海雜波功率譜的多重分形特性，以及在微弱目標(biāo)檢測中的應(yīng)用。首先，以分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(FBM)模型為例，證明其功率譜具有多重分形特性。其次，根據(jù)X波段雷達(dá)的實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)，通過多重去趨勢分析法(MF-DFA)驗(yàn)證了海雜波AR譜的多重分形特性。最后，分析了海雜波AR譜的廣義Hurst指數(shù)以及影響參數(shù)，并提出一種基于局部AR譜廣義Hurst指數(shù)的目標(biāo)檢測方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該種檢測方法具有海雜波背景下微弱目標(biāo)檢測的能力。與現(xiàn)有的分形檢測方法和傳統(tǒng)的CFAR檢測方法對比，該算法在低信雜比情況下具有較好的檢測性能。

關(guān)鍵詞：目標(biāo)檢測；海雜波；多重分形；AR譜估計(jì)

1　引言

20世紀(jì)70年代文獻(xiàn)[1]首次提出了用分形理論來描述自然界中不光滑和不規(guī)則的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，它解釋了隨機(jī)信號中普遍存在的尺度不變性和自相似性。分形理論在雷達(dá)信號處理領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，文獻(xiàn)[2]首次計(jì)算了海雜波的單一分形維數(shù)，并應(yīng)用分形維數(shù)來檢測海雜波背景中的目標(biāo)，隨后分形理論在雷達(dá)信號處理領(lǐng)域開始有了較快的發(fā)展[3]。然而單一分形忽略了無標(biāo)度區(qū)間以外的海雜波信息，在高海情下，單一的分形維數(shù)難以有效地區(qū)分海雜波與目標(biāo)。由于單一分形的局限性，研究人員提出了多重分形理論，并且在微弱目標(biāo)檢測領(lǐng)域有了較好的應(yīng)用和發(fā)展。文獻(xiàn)[4]通過多重分形分析，提出了多重分形譜維數(shù)的概念，并應(yīng)用于海面中弱小目標(biāo)檢測。文獻(xiàn)[5]分析了X波段雷達(dá)的實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)，結(jié)果表明海雜波在時域具有長時相關(guān)特性，并且在一定范圍內(nèi)具有尺度不變特性，提出了一種基于小波多重分形的模型對海雜波進(jìn)行建模與仿真。文獻(xiàn)[6]對海雜波的多重分形關(guān)聯(lián)特性進(jìn)行了研究，并對多重分形關(guān)聯(lián)譜應(yīng)用了基于支持向量機(jī)的目標(biāo)檢測方法。文獻(xiàn)[7]提出了Q階混合矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法(Q-MMSPF)，利用Q-MMSPF法分析了海雜波時間序列的多重分形互相關(guān)特性并應(yīng)用于目標(biāo)檢測中。文獻(xiàn)[8]研究了一段時長約2 min的實(shí)測海雜波時間序列，通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)了海雜波數(shù)據(jù)在零點(diǎn)幾秒至幾秒的時間尺度范圍內(nèi)具有多重分形特性。文獻(xiàn)[9]研究了海雜波時域的多重分形譜，提出一種基于積分檢驗(yàn)量的海面弱小目標(biāo)檢測方法。文獻(xiàn)[10]分別采用小波模極大值法和多分形消趨勢波動分析法對實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過實(shí)驗(yàn)表明海雜波具有多重分形特性，并應(yīng)用廣義分形維偏差進(jìn)行微弱目標(biāo)檢測。

然而，以上的方法均只研究了海雜波在時域的分形或多重分形特性。文獻(xiàn)[11，12]研究了海雜波頻域的分形和多重分形特性，并提出一種基于頻域單一分形Hurst指數(shù)的檢測算法。文獻(xiàn)[13～15]研究了海雜波分?jǐn)?shù)階Fourier變換(FRFT)域的分形特性及目標(biāo)檢測方法。文獻(xiàn)[16]研究了海雜波FRFT域的多重分形特性，通過對FRFT域廣義Hurst指數(shù)的全局積分來進(jìn)行目標(biāo)檢測。然而，傅里葉分析隱含地采用了一個看來似乎很自然的假設(shè)，即除了能得到的觀測數(shù)據(jù)外，序列的其他值均被認(rèn)為是零，但序列或其自相關(guān)函數(shù)的那些我們未能觀測到或未估計(jì)出來的值，實(shí)際上并不全是零，并且通過傅里葉分析得到的頻譜分辨率較差。為了克服傅里葉分析的缺陷，該文首次將多重分形理論引入到現(xiàn)代譜估計(jì)理論中。現(xiàn)代譜估計(jì)方法不再認(rèn)為觀測序列以外的數(shù)據(jù)為零，通過計(jì)算較高譜分辨率的海雜波功率譜，提高多重分形特征參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[17]提出一個分形過程的功率譜具有1/fα的形式，并將這種過程稱為1/f噪聲。文獻(xiàn)[18，19]研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(FBM)的功率譜并應(yīng)用于分形參數(shù)的估計(jì)。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)[16～18]并未研究過通過現(xiàn)代譜估計(jì)法得到的功率譜的多重分形特性。由于AR模型是一個線性預(yù)測模型，它計(jì)算方便并且已經(jīng)被應(yīng)用于海雜波背景下目標(biāo)檢測方法當(dāng)中[20]。因此，本文采用AR譜估計(jì)法來計(jì)算海雜波的功率譜，并分析了海雜波AR譜的多重分形特性以及它在微弱目標(biāo)檢測中的應(yīng)用。

2　功率譜的多重分形特性分析

2.1 功率譜多重分形理論基礎(chǔ)

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(FBM)是典型的分形(自相似)數(shù)學(xué)模型，本節(jié)以FBM為例，證明它的功率譜仍然具有自相似性。FBM的定義為[21]

其中，Γ是Gamma函數(shù)，H是Hurst指數(shù)參數(shù)。FBM過程具有許多性質(zhì)，其中一條性質(zhì)就是FBM的增量過程是平穩(wěn)和自相似的。這就表明，在任意尺度α＞0和時間t，F(xiàn)BM過程具有式(2)的關(guān)系：

其中，

所以我們不能直接通過標(biāo)準(zhǔn)的功率譜密度函數(shù)來描述FBM的功率譜。我們可以用時頻分析方法來解決這個問題，這里我們采用維格-威爾譜(Wigner-Ville Spectrum，WVS)來分析FBM過程的功率譜。根據(jù)WVS的定義，一個非平穩(wěn)過程x(t)的WVS可表示為

由于WVS分析得到的是一個時-頻譜，因此我們可以推出它在時間T范圍內(nèi)的平均功率譜，具體方法為

通過計(jì)算WVS在時間上的平均功率譜，得出：FBM過程的功率譜具有的形式。根據(jù)式(9)，很容易可以得到尺度關(guān)系。可以看出，功率譜

2.2 AR譜估計(jì)方法

一個隨機(jī)過程X(n)的AR模型可以表示為

2.3 多重分形去波動趨勢分析法

多重分形去波動趨勢分析法(MF-DFA)是去波動分析法(DFA)的一種推廣，它可對一組具有非平穩(wěn)特性的序列在多個尺度下的多重分形特性進(jìn)行更可靠的表示。因此，本文將采用MF-DFA法對海雜波功率譜的多重分形特性進(jìn)行分析和驗(yàn)證。參照MF-DFA計(jì)算步驟[22]，最終可以得到不同q值下的波動函數(shù)。然而，波動函數(shù)還與MF-DFA的階數(shù)m有關(guān)，不同階數(shù)的MF-DFA在去除序列趨勢方面的能力少有差異，關(guān)于階數(shù)的選擇可參照文獻(xiàn)[22]。對于求得的波動函數(shù)，查看波動函數(shù)Fq(s)與尺度s是否存在冪律關(guān)系，即

對式(16)兩邊分別取對數(shù)可得

因此，可在雙對數(shù)坐標(biāo)系中對lgFq(s)～ lgs進(jìn)行最小二乘擬合，若它們存在線性關(guān)系，則該序列是分形的。同時，擬合的斜率即就是廣義Hurst指數(shù)H(q)。如果H(q)與q的變化無關(guān)，則判定該序列是單一分形的；如果H(q)是q的函數(shù)，則判定該序列是多重分形的，并且能夠反映不同尺度下的起伏特征。當(dāng)q＞0時，方差較大的序列在波動函數(shù)中占據(jù)主要作用，此時波動函數(shù)反映出大波動序列的尺度特征；當(dāng)q＜0時，方差較小的序列在波動函數(shù)中占主導(dǎo)作用，此時波動函數(shù)反映出小波動序列的尺度特征。

3　實(shí)測海雜波AR譜的多重分形特性分析與驗(yàn)證

3.1 實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)介紹

本節(jié)將采用的實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)來源于“Osborn Head Database”[23]，數(shù)據(jù)采集平臺基于X波段的IPIX雷達(dá)，雷達(dá)工作在駐留模式，脈沖重頻(PRF)為1 kHz。該組數(shù)據(jù)包含HH，VV，HV和VH 4種極化方式，本節(jié)采用CNR較高的HH和VV極化的兩組實(shí)測數(shù)據(jù)用于分析。第1組數(shù)據(jù)共有14個距離單元，目標(biāo)分布在6～8距離單元。其中目標(biāo)為被金屬網(wǎng)包裹的塑料球體，漂浮于海面上，SCR約為0～6 dB；第2組數(shù)據(jù)共有14個距離單元，目標(biāo)分布在7～10距離單元，SCR約為0～1 dB。圖1給出了兩組雷達(dá)數(shù)據(jù)的距離-時間-歸一化幅度3維圖形，每個距離單元的回波序列時間均為131 s左右。

3.2 海雜波AR譜多重分形特性分析

這一節(jié)，采用MF-DFA方法，對實(shí)測X波段海雜波數(shù)據(jù)AR譜的多重分形特性進(jìn)行分析和驗(yàn)證。圖2給出了不同q值條件下，海雜波AR譜序列的波動函數(shù)與尺度的變換關(guān)系。我們可以看到，在對數(shù)-對數(shù)坐標(biāo)下，起伏函數(shù)的線性擬合結(jié)果較好，為了定量地描述線性程度，我們計(jì)算AR譜序列的起伏函數(shù)與尺度的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表1所示。若兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)接近1或者-1，意味著它們具有較好的線性關(guān)系；若兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)接近0，意味著它們之間不存在線性關(guān)系。從表1可以看出，在q從-10～10的變化范圍內(nèi)，波動函數(shù)與尺度都有較好的線性關(guān)系，即存在式(12)的尺度關(guān)系。因此我們可以得出結(jié)論，海雜波的AR譜序列是分形的。為了進(jìn)一步驗(yàn)證海雜波AR譜序列的多重分形特性，我們根據(jù)式(13)，采用最小二乘法來計(jì)算各個序列的廣義Hurst指數(shù)H(q)。若H(q)隨q變化的函數(shù)，則該組序列是多重分形的；反之，該組序列就是單一分形的。

圖1　雷達(dá)實(shí)測數(shù)據(jù)歸一化圖形

圖2　海雜波AR譜序列的起伏函數(shù)與尺度的變化關(guān)系

表1　lgFq（ s）與lgs的相關(guān)系數(shù)

圖3給出了海雜波和目標(biāo)距離單元AR譜序列的廣義Hurst指數(shù)，從兩組數(shù)據(jù)的結(jié)果可以看出，不論是HH極化還是VV極化，AR譜序列的廣義Hurst指數(shù)HAR(q)均是隨q變化的函數(shù)，這就表明海雜波的AR譜序列是多重分形的。同時，我們還可以發(fā)現(xiàn)，海雜波距離單元和目標(biāo)距離單元的廣義Hurst指數(shù)有所不同，且差別集中表現(xiàn)在q＞0的區(qū)間范圍內(nèi)。由于q＞0時，海雜波AR譜中具有大波動特性的序列占主導(dǎo)作用；q＜0時，海雜波AR譜中具有小波動特性的序列占主導(dǎo)作用。然而目標(biāo)的出現(xiàn)會影響原海雜波AR譜序列中具有較大波動序列的分布情況，導(dǎo)致q＞0范圍內(nèi)AR譜序列的廣義Hurst指數(shù)減小。相反，海雜波與目標(biāo)的AR譜序列在q＜0范圍內(nèi)的差別較小。針對這一特性，我們可以將海雜波AR譜序列的Hurst指數(shù)應(yīng)用于目標(biāo)檢測方法當(dāng)中。

3.3 海雜波AR譜廣義Hurst指數(shù)的影響參數(shù)分析

在本小節(jié)中，我們主要討論海雜波AR譜序列的廣義Hurst指數(shù)HAR(q)的影響因素。在計(jì)算海雜波AR譜的廣義Hurst指數(shù)時，我們首先采用AR譜估計(jì)法計(jì)算海雜波序列的AR譜序列，再采用MF-DFA分析法計(jì)算海雜波AR譜序列的廣義Hurst指數(shù)。因此，這里我們主要分析影響海雜波AR譜序列的兩個重要因素，即序列長度L和AR階數(shù)p。

圖4給出了不同AR階數(shù)p的情況下，海雜波單元和目標(biāo)單元AR譜序列的廣義Hurst指數(shù)(HAR(q))隨q的變化關(guān)系，其中時間序列長度L =2048。我們可以看到，當(dāng)q＜0時，海雜波單元與目標(biāo)單元的HAR(q)差別較?。划?dāng)q＞0時，海雜波單元與目標(biāo)單元HAR(q)的差別較為明顯，兩組數(shù)據(jù)的結(jié)果均與第3.2小節(jié)分析的結(jié)果一致。從圖4可以看出，隨著AR階數(shù)p的增大，海雜波單元與目標(biāo)單元的HAR(q)差異更為明顯。這是由于較高AR階數(shù)p對應(yīng)較高譜分辨率的AR譜，精確的AR譜可以計(jì)算出更準(zhǔn)確的HAR(q)，增強(qiáng)了目標(biāo)單元AR譜序列中大幅度序列的主導(dǎo)作用，使得海雜波單元與目標(biāo)單元HAR(q)的差別更加明顯。但AR階數(shù)p不能無限的增大，階數(shù)太大會產(chǎn)生虛假譜峰，影響HAR(q)的真實(shí)結(jié)果。綜上分析，在計(jì)算HAR(q)時，我們選取AR階數(shù)p在768～ 1024之間，即選取階數(shù)p在時域序列長度L的1/3～ 1/2之間。

圖5給出了不同序列長度L的情況下，海雜波單元和目標(biāo)單元AR譜序列的廣義Hurst指數(shù)(HAR(q))隨q的變化關(guān)系，其中AR階數(shù)p =1024。我們同樣從兩組數(shù)據(jù)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)q＜0時，海雜波單元與目標(biāo)單元的HAR(q)差別較?。划?dāng)q＞0時，海雜波單元與目標(biāo)單元HAR(q)的差別較為明顯。隨著序列長度L的增加，HAR(q)的結(jié)果更加平滑且趨于穩(wěn)定。然而較長的序列長度L意味著較大的計(jì)算量，并且隨著序列長度L的增加，海雜波單元和目標(biāo)單元HAR(q)值的差異有減小的趨勢。其中，第2組數(shù)據(jù)的SCR較第1組更低，這種減小的趨勢更為明顯。這是由于隨著序列長度L增加，固定的AR階數(shù)p相對于序列長度較小，得到的AR譜序列分辨率降低導(dǎo)致HAR(q)的準(zhǔn)確度降低引起的。根據(jù)圖5可以看出，序列長度L =2048時已經(jīng)能夠明顯地區(qū)分出目標(biāo)單元。因此，綜合考慮到計(jì)算量和階數(shù)p的影響，我們選取計(jì)算HAR(q)的最優(yōu)序列長度L =2048。

圖3　海雜波AR譜序列的廣義Hurst指數(shù)

圖4　不同p情況下海雜波AR譜序列的廣義Hurst指數(shù)

圖5　不同L情況下海雜波AR譜序列的廣義Hurst指數(shù)

4　基于局部AR譜廣義Hurst指數(shù)的目標(biāo)檢測方法

該節(jié)以AR譜的廣義Hurst指數(shù)為特征，設(shè)計(jì)海雜波背景中目標(biāo)CFAR檢測方法，并分析該算法的檢測性能。文獻(xiàn)[16]通過對海雜波FRFT譜的廣義Hurst指數(shù)的全局積分來進(jìn)行目標(biāo)檢測。然而，該文采用了超分辨的AR譜估計(jì)法來計(jì)算海雜波的功率譜，發(fā)現(xiàn)在q＞0的區(qū)間范圍內(nèi)，HAR(q)對分目標(biāo)單元和海雜波單元的區(qū)分更加明顯。因此，為了將HAR(q)在q＞0區(qū)域中的信息充分應(yīng)用到目標(biāo)檢測當(dāng)中，我們設(shè)計(jì)了一種基于局部AR譜廣義Hurst指數(shù)的目標(biāo)檢測方法，即對HAR(q)做如式(14)的局部積分處理，將積分結(jié)果作為統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量用于目標(biāo)檢測。

下面通過實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)對該檢測算法的性能進(jìn)行分析，計(jì)算局部AR譜廣義Hurst指數(shù)的參數(shù)設(shè)定如下：序列長度L設(shè)為2048，AR階數(shù)p設(shè)為1024，qmin設(shè)為10，qmax設(shè)為30。將實(shí)測海雜波14個距離單元的數(shù)據(jù)按時間分組，每個小組包含2048個數(shù)據(jù)，組與組之間有1024點(diǎn)重疊。在虛警概率和10-5時，表2給出了圖6所示檢測算法對應(yīng)的檢測概率。為了方便對比，表2同時給出了傳統(tǒng)CFAR檢測算法和基于FRFT譜的廣義Hurst指數(shù)[16]的檢測概率。對比結(jié)果可知，基于多重分形的目標(biāo)檢測方法的檢測性能均優(yōu)于傳統(tǒng)的CFAR檢測方法。而基于局部AR譜的廣義Hurst指數(shù)方法優(yōu)于基于FRFT域廣義Hurst指數(shù)方法，在虛警概率為10-4時，第1組數(shù)據(jù)檢測概率提升了4.3%(HH極化)和5.1%(VV極化)；第2組數(shù)據(jù)檢測概率提升了3.9%(HH極化)和4.3%(VV極化)。該檢測方法的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在以下2個方面：第一，AR譜估計(jì)法克服了傳統(tǒng)傅里葉分析的缺陷，采用線性預(yù)測模型來外推觀測序列以外的值，提高了功率譜分辨率；第二，用AR譜計(jì)算出的廣義Hurst指數(shù)，在局部區(qū)間對海雜波和目標(biāo)具有更好的區(qū)分性。該方法對靜止和低速運(yùn)動的目標(biāo)具有較好的檢測性能，而對于具有一定加速度的目標(biāo)，基于FRFT譜廣義Hurst指數(shù)的檢測性能較好。

圖6　基于局部AR譜廣義Hurst指數(shù)的目標(biāo)檢測方法

表2　不同檢測方法的檢測概率對比（%）

5　結(jié)束語

本文將多重分形理論引入到了現(xiàn)代譜估計(jì)理論中，研究了海雜波AR譜的多重分形特性。首先，以FBM模型為例，分析了功率譜的自相似性，奠定了對功率譜作分形及多重分形分析的理論基礎(chǔ)，并采用AR譜估計(jì)方法估計(jì)海雜波的功率譜；其次，根據(jù)X波段實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)，通過MF-DFA法驗(yàn)證了海雜波AR譜的多重分形特性，計(jì)算出海雜波AR譜的廣義Hurst指數(shù)，并分析了其影響因素；最后，本文提出了一種基于局部AR譜廣義Hurst指數(shù)的目標(biāo)檢測方法，并分析了檢測性能。通過與傳統(tǒng)CFAR檢測方法和FRFT譜廣義Hurst指數(shù)方法[16]做出對比，該算法在低信雜比情況下具有較好的檢測性能。

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范一飛：男，1989年生，博士生，研究方向?yàn)楹ｋs波特性分析與建模、海雜波背景下的目標(biāo)檢測等.

羅豐：男，1971年生，博士，教授，研究方向?yàn)槔走_(dá)信號與信息處理、海雜波特性分析與建模、雜波背景下的目標(biāo)檢測、跟蹤與航跡關(guān)聯(lián)等.

李明：男，1965年生，博士，教授，研究方向?yàn)閷拵盘柼幚砼c微弱目標(biāo)檢測、雷達(dá)圖像處理與分析、高速并行信號處理、高性能DSP應(yīng)用系統(tǒng)設(shè)計(jì)等.

胡沖：男，1987年生，博士生，研究方向?yàn)楹ｋs波特性分析與建模、海雜波背景下的目標(biāo)檢測等.

陳帥霖：男，1986年生，博士生，研究方向?yàn)殡s波背景下的目標(biāo)檢測、跟蹤及航跡關(guān)聯(lián)等.

The Multifractal Properties of AR Spectrum and Weak Target Detection in Sea Clutter Background

FAN YifeiLUO FengLI MingHU ChongCHEN Shuailin
(National Laboratory of Radar Signal Processing，Xidian University，Xi’an 710071，China)

Abstract:This paper focuses on the multifractal properties of sea clutter in power spectrum domain.To overcome the deficiencies of Fourier transform analysis，the power spectrum of the sea clutter is obtained by AutoRegressive(AR)spectrum estimation.The AR model is a linear predictive model，which estimates the power spectrum of sea clutter from its autocorrelation matrix and has a higher frequency resolution than Fourier analysis.This paper concentrates on analyzing the multifractal property of the power spectrum based on AR spectral estimation and its application to weak target detection.Firstly，F(xiàn)ractional Brownian Motion(FBM)is taken as an example to prove the multifractal property of the power spectrum.Then，real measured X-band data is used to verify the multifractal property of the AR spectrum of sea clutter by MultiFractal Detrended Fluctuation Analysis(MF-DFA)method.Finally，the generalized Hurst exponent of AR spectrum and its influence factors are analyzed，and a novel detection method based on local AR generalized Hurst exponent is proposed.The results show that the proposed method is effective for weak target detection in sea clutter background.Compared to the existing fractal method and the traditional CFAR method，the proposed method has a better detection performance in low SCR condition.

Key words:Target detection; Sea clutter; Multifractal; AR spectral estimation

基金項(xiàng)目：國家部委基金(4010101030101)

*通信作者：羅豐 luofeng@xidian.edu.cn

收稿日期：2015-05-15；改回日期：2015-10-13；網(wǎng)絡(luò)出版：2015-11-19

DOI:10.11999/JEIT150581

中圖分類號：TN959.72

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-5896(2016)02-0455-09

Foundation Item:The National Ministries Fund(4010101030101)